Треугольная черепица - Triangular tiling

Треугольная черепица

Тип	Обычная черепица
Конфигурация вершины	3.3.3.3.3.3 (или 3⁶)
Конфигурация лица	V6.6.6 (или V6³)
Символ (ы) Шлефли	{3,6} {3^[3]}
Символ (ы) Wythoff	6 \| 3 2 3 \| 3 3 \| 3 3 3
Диаграмма (ы) Кокстера	=
Симметрия	p6m, [6,3], (*632)
Симметрия вращения	p6, [6,3]⁺, (632) p3, [3^[3]]⁺, (333)
Двойной	Шестиугольная черепица
Характеристики	Вершинно-транзитивный, реберно-транзитивный, лицо переходный

В геометрия, то треугольная черепица или же треугольная мозаика один из трех регулярных мозаики из Евклидова плоскость, и является единственной такой плиткой, в которой составляющие фигуры не параллелогоны. Поскольку внутренний угол равностороннего треугольник составляет 60 градусов, шесть треугольников в точке занимают полные 360 градусов. Треугольная плитка имеет Символ Шлефли из {3,6}.

Конвей называет это дельтиль, названный от треугольной формы греческой буквы дельта (Δ). Треугольную мозаику также можно назвать кишекстиль по поцелуй операция, которая добавляет центральную точку и треугольники для замены граней гексилль.

Это один из три правильных мозаики плоскости. Два других - это квадратная черепица и шестиугольная черепица.

Равномерная окраска

2-однородная треугольная мозаика, 4 цветных треугольника, связанных с геодезический многогранник как {3,6+}_2,0.

Есть 9 различных равномерные раскраски треугольной черепицы. (Назовите цвета индексами на 6 треугольниках вокруг вершины: 111111, 111112, 111212, 111213, 111222, 112122, 121212, 121213, 121314) Три из них могут быть получены из других, повторяя цвета: 111212 и 111112 из 121213 по объединение 1 и 3, а 111213 уменьшено с 121314.^[1]

Есть один класс Архимедовы раскраски, 111112, (отмечен знаком *), который не является 1-однородным, содержит чередующиеся ряды треугольников, где каждая треть окрашена. Показанный пример является 2-однородным, но существует бесконечно много таких архимедовых раскрасок, которые можно создать произвольным горизонтальным смещением строк.

111111	121212	111222	112122	111112(*)

p6m (* 632)	p3m1 (* 333)	см (2 * 22)	p2 (2222)	p2 (2222)

121213	111212	111112	121314	111213

p31m (3 * 3)			п3 (333)

Решетчатые и круглые упаковки А2

А^*
₂ решетка в виде трех треугольных мозаик:

+

В расположение вершин треугольной мозаики называется А₂ решетка.^[2] Это двумерный случай простые соты.

А^*
₂ решетка (также называемая A³
₂) можно построить объединением всех трех A₂ решеток и эквивалентны A₂ решетка.

+

= двойной

=

Вершины треугольной мозаики являются центрами максимально плотных упаковка круга.^[3] Каждый круг находится в контакте с 6 другими кругами в упаковке (номер поцелуя ). Плотность упаковки составляет^$π$⁄_√12 или 90,69%. В клетка Вороного треугольной мозаики является шестиугольник, и поэтому мозаика Вороного шестиугольная мозаика напрямую соответствует упаковкам окружностей.

Геометрические вариации

Треугольные мозаики могут быть построены с такой же топологией {3,6}, что и обычные мозаики (6 треугольников вокруг каждой вершины). С одинаковыми лицами (лицо-транзитивность ) и вершинная транзитивность, существует 5 вариантов. Приведенная симметрия предполагает, что все грани одного цвета.^[4]

Неравносторонний треугольник
симметрия p2
Неравносторонний треугольник
симметрия pmg
Равнобедренный треугольник
симметрия cmm
Прямоугольный треугольник
симметрия cmm
Равносторонний треугольник
симметрия p6m

Связанные многогранники и мозаики

Плоские мозаики связаны с многогранники. Помещение меньшего количества треугольников в вершину оставляет зазор и позволяет сложить его в пирамида. Их можно расширить до Платоновы тела: пять, четыре и три треугольника на вершине определяют икосаэдр, октаэдр, и тетраэдр соответственно.

Это разбиение топологически связано как часть последовательности правильных многогранников с Символы Шлефли {3, n}, переходя в гиперболическая плоскость.

*п32 изменения симметрии правильных мозаик: {3,п} v т е
Сферический				Евклид.	Компактный гипер.		Paraco.	Некомпактный гиперболический

3.3	3³	3⁴	3⁵	3⁶	3⁷	3⁸	3^∞	3¹²ⁱ	3⁹ⁱ	3⁶ⁱ	3³ⁱ

Он также топологически связан как часть последовательности Каталонские твердые вещества с конфигурация лица Vn.6.6, а также в гиперболическую плоскость.

V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6

Конструкции Wythoff из шестиугольных и треугольных мозаик

Словно равномерные многогранники есть восемь однородные мозаики это может быть основано на правильном шестиугольном замощении (или двойном треугольном замощении).

Нарисовывая плитки красного цвета на исходных гранях, желтого цвета в исходных вершинах и синего цвета вдоль исходных краев, можно получить 8 форм, 7 из которых топологически различны. (The усеченная треугольная мозаика топологически идентична шестиугольной мозаике.)

Однородные шестиугольные / треугольные мозаики
Фундаментальный домены	Симметрия: [6,3], (*632)							[6,3]⁺, (632)
	{6,3}	т {6,3}	г {6,3}	т {3,6}	{3,6}	рр {6,3}	tr {6,3}	sr {6,3}


Конфиг.	6³	3.12.12	(6.3)²	6.6.6	3⁶	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Треугольные мозаики симметрии v т е
Wythoff	3 \| 3 3	3 3 \| 3	3 \| 3 3	3 3 \| 3	3 \| 3 3	3 3 \| 3	3 3 3 \|	\| 3 3 3
Coxeter
Изображение Фигура вершины	(3.3)³	3.6.3.6	(3.3)³	3.6.3.6	(3.3)³	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

Связанные регулярные сложные апейрогоны

Есть 4 регулярные сложные апейрогоны, разделяющие вершины треугольной мозаики. Регулярные сложные апейрогоны имеют вершины и ребра, причем ребра могут содержать 2 и более вершины. Обычные апейрогоны п{q}р ограничены: 1 /п + 2/q + 1/р = 1. Ребра имеют п вершины, а фигуры вершин - р-гональный.^[5]

Первый состоит из двух ребер, следующие два - треугольные, а последний имеет перекрывающиеся шестиугольные ребра.

2 {6} 6 или	3 {4} 6 или	3 {6} 3 или	6 {3} 6 или

Другие треугольные мозаики

Также есть три Лавес плитки состоит из однотипных треугольников:

Kisrhombille 30 ° -60 ° -90 ° прямоугольные треугольники	Kisquadrille 45 ° -45 ° -90 ° прямоугольные треугольники	Кисделтиле 30 ° -30 ° -120 ° равнобедренные треугольники

Смотрите также

Треугольная черепица сотовая
Простые соты
Замощения правильных многоугольников
Список однородных мозаик
Изогрид (структурное проектирование с использованием треугольной черепицы)

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Треугольная сетка». MathWorld.
- Вайсштейн, Эрик В. «Обычная тесселяция». MathWorld.
- Вайсштейн, Эрик В. «Равномерная тесселяция». MathWorld.
Клитцинг, Ричард. «2D евклидовы мозаики x3o6o - trat - O2».

v т е Фундаментальный выпуклый обычный и однородные соты в размерах 2-9
Космос	Семья	${ displaystyle { tilde {A}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {C}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {B}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {D}} _ {n-1}}$	${ displaystyle { tilde {G}} _ {2}}$ / ${ displaystyle { tilde {F}} _ {4}}$ / ${ displaystyle { tilde {E}} _ {n-1}}$
E²	Равномерная черепица	{3^[3]}	δ₃	hδ₃	qδ₃	Шестиугольный
E³	Равномерно выпуклые соты	{3^[4]}	δ₄	hδ₄	qδ₄
E⁴	Равномерные 4-соты	{3^[5]}	δ₅	hδ₅	qδ₅	24-ячеечные соты
E⁵	Равномерные 5-соты	{3^[6]}	δ₆	hδ₆	qδ₆
E⁶	Равномерные 6-соты	{3^[7]}	δ₇	hδ₇	qδ₇	2₂₂
E⁷	Равномерные 7-соты	{3^[8]}	δ₈	hδ₈	qδ₈	1₃₃ • 3₃₁
E⁸	Равномерные 8-соты	{3^[9]}	δ₉	hδ₉	qδ₉	1₅₂ • 2₅₁ • 5₂₁
E⁹	Равномерные 9-соты	{3^[10]}	δ₁₀	hδ₁₀	qδ₁₀
E^п-1	Униформа (п-1)-соты	{3^[n]}	δ_п	hδ_п	qδ_п	1_k2 • 2_k1 • k₂₁

[1] Плитки и узоры, стр.102-107

[2] ttp://www.math.rwth-aachen.de/~Gabriele.Nebe/LATTICES/A2.html

[Critchlow-3] Порядок в космосе: справочник по дизайну, Кейт Кричлоу, стр.74-75, образец 1

[4] Мозаики и узоры, из списка 107 равногранных мозаик, стр.473-481

[5] Кокстер, Регулярные комплексные многогранники, с. 111-112, с. 136.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]