Символ Wythoff - Wythoff symbol

Пример построения треугольников Wythoff с 7 образующими точками. Линии к активным зеркалам окрашены в красный, желтый и синий цвета, а 3 узла напротив них связаны символом Wythoff.

Восемь форм для конструкций Витхоффа из общего треугольника (p q r).

В геометрия, то Символ Wythoff обозначение, представляющее Строительство Wythoff из равномерный многогранник или плоская мозаика внутри Треугольник Шварца. Впервые он был использован Coxeter, Лонге-Хиггинс и Миллер в перечислении однородных многогранников. Позже Диаграмма Кокстера был разработан для обозначения однородных многогранников и сот в n-мерном пространстве внутри фундаментального симплекса.

Символ Wythoff состоит из трех цифр и вертикальной черты. Он представляет собой один однородный многогранник или мозаику, хотя одна и та же мозаика / многогранник может иметь разные символы Wythoff от разных генераторов симметрии. Например, обычный куб можно представить как 3 | 2 4 с О_час симметрия, и 2 4 | 2 в виде квадрата призма с 2 цветами и D_4ч симметрия, а также 2 2 2 | с 3 цветами и D_2ч симметрия.

С небольшим расширением символ Wythoff можно применить ко всем однородным многогранникам. Однако методы построения не приводят ко всем однородным мозаикам в евклидовом или гиперболическом пространстве.

Описание

Конструкция Wythoff начинается с выбора генераторная точка на фундаментальном треугольнике. Если расстояние от этой точки до каждой из сторон не равно нулю, точка должна быть выбрана на равном расстоянии от каждого края. Затем проводится перпендикулярная линия между точкой образующей и каждой гранью, на которой она не лежит.

Три числа в символе Уайтхоффа, п, q, и р, представляют собой углы треугольника Шварца, используемые в конструкции, которые^π⁄_п, ​^π⁄_q, и^π⁄_р радианы соответственно. Треугольник также представлен такими же числами, записанными (п q р). Вертикальная черта в символе указывает категориальное положение точки генератора в фундаментальном треугольнике в соответствии со следующим:

• п | q р указывает, что генератор лежит на углу п,
• п q | р указывает, что генератор находится на границе между п и q,
• п q р | указывает, что образующая находится внутри треугольника.

В этих обозначениях зеркала обозначаются порядком отражения противоположной вершины. В п, q, р значения перечислены перед полоса, если соответствующее зеркало активно.

Специальное использование - символ | п q р который предназначен для случая, когда все зеркала активны, но отраженные изображения с нечетными номерами игнорируются. Полученная фигура имеет только вращательную симметрию.

Точка генератора может быть включена или выключена для каждого зеркала, активирована она или нет. Это различие создает 8 (2³) возможных форм, игнорируя ту, где точка генератора находится на всех зеркалах.

Символ Wythoff функционально похож на более общий Диаграмма Кокстера-Дынкина, в котором каждый узел представляет собой зеркало, а дуги между ними - отмеченные цифрами - углы между зеркалами. (Дуга, представляющая прямой угол, опускается.) Узел обводится кружком, если образующая точка не находится на зеркале.

Примеры сферических, евклидовых и гиперболических мозаик на прямоугольных треугольниках

Основные треугольники нарисованы чередующимися цветами как зеркальные изображения. Последовательность треугольников (п 3 2) переход от сферического (п = 3, 4, 5), в евклидову (п = 6) до гиперболического (п ≥ 7). Гиперболические мозаики показаны как Диск Пуанкаре проекция.

Символ Wythoff	q | п 2	2 q | п	2 | п q	2 п | q	п | q 2	п q | 2	п q 2 |	| п q 2
Диаграмма Кокстера
Фигура вершины	пq	q.2п.2п	п.q.п.q	п.2q.2q	qп	п.4.q.4	4.2п.2q	3.3.п.3.q
Фонд. треугольники	7 форм и пренебрежение
(4 3 2)	3 | 4 2 4^3	2 3 | 4 3.8.8	2 | 4 3 3.4.3.4	2 4 | 3 4.6.6	4 | 3 2 3^4	4 3 | 2 3.4.4.4	4 3 2 | 4.6.8	| 4 3 2 3.3.3.3.4
(5 3 2)	3 | 5 2 5^3	2 3 | 5 3.10.10	2 | 5 3 3.5.3.5	2 5 | 3 5.6.6	5 | 3 2 3^5	5 3 | 2 3.4.5.4	5 3 2 | 4.6.10	| 5 3 2 3.3.3.3.5
(6 3 2)	3 | 6 2 6^3	2 3 | 6 3.12.12	2 | 6 3 3.6.3.6	2 6 | 3 6.6.6	6 | 3 2 3^6	6 3 | 2 3.4.6.4	6 3 2 | 4.6.12	| 6 3 2 3.3.3.3.6
(7 3 2)	3 | 7 2 7^3	2 3 | 7 3.14.14	2 | 7 3 3.7.3.7	2 7 | 3 7.6.6	7 | 3 2 3^7	7 3 | 2 3.4.7.4	7 3 2 | 4.6.14	| 7 3 2 3.3.3.3.7
(8 3 2)	3 | 8 2 8^3	2 3 | 8 3.16.16	2 | 8 3 3.8.3.8	2 8 | 3 8.6.6	8 | 3 2 3^8	8 3 | 2 3.4.8.4	8 3 2 | 4.6.16	| 8 3 2 3.3.3.3.8
(∞ 3 2)	3 | ∞ 2 ∞^3	2 3 | ∞ 3.∞.∞	2 | ∞ 3 3.∞.3.∞	2 ∞ | 3 ∞.6.6	∞ | 3 2 3^∞	∞ 3 | 2 3.4.∞.4	∞ 3 2 | 4.6.∞	| ∞ 3 2 3.3.3.3.∞

Смотрите также

• Правильный многогранник
• Правильный многогранник
• Список однородных мозаик
• Равномерные мозаики в гиперболической плоскости
• Список равномерных многогранников
• Список равномерных многогранников треугольником Шварца
• Списки равномерных мозаик на сфере, плоскости и гиперболической плоскости

Рекомендации

• Coxeter Правильные многогранники, Третье издание, (1973), Дуврское издание, ISBN  0-486-61480-8 (Глава V: Калейдоскоп, Раздел: 5.7 Конструкция Витхоффа)
• Coxeter Красота геометрии: двенадцать эссе, Dover Publications, 1999 г., ISBN  0-486-40919-8 (Глава 3: Конструкция Витхоффа для однородных многогранников)
• Coxeter, Лонге-Хиггинс, Миллер, Равномерные многогранники, Фил. Пер. 1954, 246 А, 401–50.
• Веннингер, Магнус (1974). Модели многогранников. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-09859-9. С. 9–10.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Символ Wythoff". MathWorld.
• Символ Wythoff
• Символ Wythoff
• Апплет Грега Игана для отображения однородных многогранников с использованием метода построения Уайтхоффа
• Рендеринг Shadertoy метода построения Wythoff
• KaleidoTile 3 Бесплатное образовательное программное обеспечение для Windows от Джеффри Уикс это привело к появлению многих изображений на странице.
• Люк, Дон. «Гиперболические плоские мозаики».