Символ Wythoff - Wythoff symbol

Пример построения треугольников Wythoff с 7 образующими точками. Линии к активным зеркалам окрашены в красный, желтый и синий цвета, а 3 узла напротив них связаны символом Wythoff.
Восемь форм для конструкций Витхоффа из общего треугольника (p q r).

В геометрия, то Символ Wythoff обозначение, представляющее Строительство Wythoff из равномерный многогранник или плоская мозаика внутри Треугольник Шварца. Впервые он был использован Coxeter, Лонге-Хиггинс и Миллер в перечислении однородных многогранников. Позже Диаграмма Кокстера был разработан для обозначения однородных многогранников и сот в n-мерном пространстве внутри фундаментального симплекса.

Символ Wythoff состоит из трех цифр и вертикальной черты. Он представляет собой один однородный многогранник или мозаику, хотя одна и та же мозаика / многогранник может иметь разные символы Wythoff от разных генераторов симметрии. Например, обычный куб можно представить как 3 | 2 4 с Очас симметрия, и 2 4 | 2 в виде квадрата призма с 2 цветами и D симметрия, а также 2 2 2 | с 3 цветами и D симметрия.

С небольшим расширением символ Wythoff можно применить ко всем однородным многогранникам. Однако методы построения не приводят ко всем однородным мозаикам в евклидовом или гиперболическом пространстве.

Описание

Конструкция Wythoff начинается с выбора генераторная точка на фундаментальном треугольнике. Если расстояние от этой точки до каждой из сторон не равно нулю, точка должна быть выбрана на равном расстоянии от каждого края. Затем проводится перпендикулярная линия между точкой образующей и каждой гранью, на которой она не лежит.

Три числа в символе Уайтхоффа, п, q, и р, представляют собой углы треугольника Шварца, используемые в конструкции, которыеπп, ​πq, иπр радианы соответственно. Треугольник также представлен такими же числами, записанными (п q р). Вертикальная черта в символе указывает категориальное положение точки генератора в фундаментальном треугольнике в соответствии со следующим:

  • п | q р указывает, что генератор лежит на углу п,
  • п q | р указывает, что генератор находится на границе между п и q,
  • п q р | указывает, что образующая находится внутри треугольника.

В этих обозначениях зеркала обозначаются порядком отражения противоположной вершины. В п, q, р значения перечислены перед полоса, если соответствующее зеркало активно.

Специальное использование - символ | п q р который предназначен для случая, когда все зеркала активны, но отраженные изображения с нечетными номерами игнорируются. Полученная фигура имеет только вращательную симметрию.

Точка генератора может быть включена или выключена для каждого зеркала, активирована она или нет. Это различие создает 8 (2³) возможных форм, игнорируя ту, где точка генератора находится на всех зеркалах.

Символ Wythoff функционально похож на более общий Диаграмма Кокстера-Дынкина, в котором каждый узел представляет собой зеркало, а дуги между ними - отмеченные цифрами - углы между зеркалами. (Дуга, представляющая прямой угол, опускается.) Узел обводится кружком, если образующая точка не находится на зеркале.

Примеры сферических, евклидовых и гиперболических мозаик на прямоугольных треугольниках

Основные треугольники нарисованы чередующимися цветами как зеркальные изображения. Последовательность треугольников (п 3 2) переход от сферического (п = 3, 4, 5), в евклидову (п = 6) до гиперболического (п ≥ 7). Гиперболические мозаики показаны как Диск Пуанкаре проекция.

Символ Wythoffq | п 22 q | п2 | п q2 п | qп | q 2п q | 2п q 2 || п q 2
Диаграмма КокстераCDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel node.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel node 1.pngCDel p.pngCDel node.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel node 1.pngCDel p.pngCDel node 1.pngCDel q.pngCDel node 1.pngCDel узел h.pngCDel p.pngCDel узел h.pngCDel q.pngCDel узел h.png
Фигура вершиныпqq.2п.2пп.q.п.qп.2q.2qqпп.4.q.44.2п.2q3.3.п.3.q
Фонд. треугольники7 форм и пренебрежение
(4 3 2)
Октаэдрические области отражения.png
3 | 4 2
Равномерная черепица 432-t0.png
43
2 3 | 4
Равномерная черепица 432-t01.png
3.8.8
2 | 4 3
Равномерная черепица 432-t1.png
3.4.3.4
2 4 | 3
Равномерная черепица 432-t12.png
4.6.6
4 | 3 2
Равномерная черепица 432-t2.png
34
4 3 | 2
Равномерная черепица 432-t02.png
3.4.4.4
4 3 2 |
Равномерная черепица 432-t012.png
4.6.8
| 4 3 2
Spherical snub cube.png
3.3.3.3.4
(5 3 2)
Икосаэдрические области отражения.png
3 | 5 2
Равномерная черепица 532-t0.png
53
2 3 | 5
Равномерная черепица 532-t01.png
3.10.10
2 | 5 3
Равномерная черепица 532-t1.png
3.5.3.5
2 5 | 3
Равномерная черепица 532-t12.png
5.6.6
5 | 3 2
Равномерная черепица 532-t2.png
35
5 3 | 2
Равномерная черепица 532-t02.png
3.4.5.4
5 3 2 |
Равномерная черепица 532-t012.png
4.6.10
| 5 3 2
Сферический курносый додекаэдр.png
3.3.3.3.5
(6 3 2)
Плитка V46b.svg
3 | 6 2
Равномерная черепица 63-t0.png
63
2 3 | 6
Равномерная черепица 63-t01.png
3.12.12
2 | 6 3
Равномерная черепица 63-t1.png
3.6.3.6
2 6 | 3
Равномерная черепица 63-t12.png
6.6.6
6 | 3 2
Равномерная треугольная плитка 111111.png
36
6 3 | 2
Равномерная черепица 63-t02.png
3.4.6.4
6 3 2 |
Равномерная черепица 63-t012.svg
4.6.12
| 6 3 2
Равномерная черепица 63-snub.png
3.3.3.3.6
(7 3 2)
H2checkers 237.png
3 | 7 2
Шестиугольная черепица.svg
73
2 3 | 7
Усеченный семиугольный tiling.svg
3.14.14
2 | 7 3
Тригептагональный тайлинг.svg
3.7.3.7
2 7 | 3
Усеченный треугольный tiling.svg
7.6.6
7 | 3 2
Заказ-7 треугольный tiling.svg
37
7 3 | 2
Ромбитригептагональная плитка.svg
3.4.7.4
7 3 2 |
Усеченный трехгептагональный тайлинг.svg
4.6.14
| 7 3 2
Курносый трехгептагональный кафель.svg
3.3.3.3.7
(8 3 2)
H2checkers 238.png
3 | 8 2
H2-8-3-dual.svg
83
2 3 | 8
H2-8-3-trunc-dual.svg
3.16.16
2 | 8 3
H2-8-3-rectified.svg
3.8.3.8
2 8 | 3
H2-8-3-trunc-primal.svg
8.6.6
8 | 3 2
H2-8-3-primal.svg
38
8 3 | 2
H2-8-3-cantellated.svg
3.4.8.4
8 3 2 |
H2-8-3-omnitruncated.svg
4.6.16
| 8 3 2
H2-8-3-snub.svg
3.3.3.3.8
(∞ 3 2)
H2checkers 23i.png
3 | ∞ 2
H2-I-3-dual.svg
3
2 3 | ∞
Плитка H2 23i-3.png
3.∞.∞
2 | ∞ 3
H2 мозаика 23i-2.png
3.∞.3.∞
2 ∞ | 3
H2 мозаика 23i-6.png
∞.6.6
∞ | 3 2
Плитка H2 23i-4.png
3
∞ 3 | 2
H2 мозаика 23i-5.png
3.4.∞.4
∞ 3 2 |
H2 мозаика 23i-7.png
4.6.∞
| ∞ 3 2
Равномерная черепица i32-snub.png
3.3.3.3.∞

Смотрите также

Рекомендации

  • Coxeter Правильные многогранники, Третье издание, (1973), Дуврское издание, ISBN  0-486-61480-8 (Глава V: Калейдоскоп, Раздел: 5.7 Конструкция Витхоффа)
  • Coxeter Красота геометрии: двенадцать эссе, Dover Publications, 1999 г., ISBN  0-486-40919-8 (Глава 3: Конструкция Витхоффа для однородных многогранников)
  • Coxeter, Лонге-Хиггинс, Миллер, Равномерные многогранники, Фил. Пер. 1954, 246 А, 401–50.
  • Веннингер, Магнус (1974). Модели многогранников. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-09859-9. С. 9–10.

внешняя ссылка