Правильный многогранник - Regular polyhedron

А правильный многогранник это многогранник чей группа симметрии действует транзитивно флаги. Правильный многогранник очень симметричен, так как все реберно-транзитивный, вершинно-транзитивный и лицо переходный. В классическом контексте используется много различных эквивалентных определений; распространенным является то, что лица конгруэнтный правильные многоугольники которые собираются одинаково вокруг каждого вершина.

Правильный многогранник обозначается Символ Шлефли формы {п, м}, куда п это количество сторон каждой грани и м количество граней, встречающихся в каждой вершине. Имеется 5 конечных выпуклых правильных многогранников ( Платоновы тела ) и четыре обычных звездные многогранники (в Многогранники Кеплера – Пуансо ), что всего составляет девять правильных многогранников. Кроме того, есть пять правильных соединений правильных многогранников.

Правильные многогранники

Есть пять выпуклый правильные многогранники, известные как Платоновы тела, четыре обычных звездные многогранники, то Многогранники Кеплера – Пуансо, и пять правильных соединений правильных многогранников:

Платоновы тела


Тетраэдр {3, 3}	Куб {4, 3}	Октаэдр {3, 4}	Додекаэдр {5, 3}	Икосаэдр {3, 5}
χ = 2	χ = 2	χ = 2	χ = 2	χ = 2

Многогранники Кеплера – Пуансо


Малый звездчатый додекаэдр {5/2, 5}	Большой додекаэдр {5, 5/2}	Большой звездчатый додекаэдр {5/2, 3}	Большой икосаэдр {3, 5/2}
χ = −6	χ = −6	χ = 2	χ = 2

Обычные соединения


Два тетраэдра 2 {3, 3}	Пять тетраэдров 5 {3, 3}	Десять тетраэдров 10 {3, 3}	Пять кубиков 5 {4, 3}	Пять октаэдров 5 {3, 4}
χ = 4	χ = 10

Характеристики

Эквивалентные свойства

Свойство иметь подобное расположение граней вокруг каждой вершины можно заменить любым из следующих эквивалентных условий в определении:

Все вершины многогранника лежат на сфера.
Все двугранные углы многогранника равны
Все фигуры вершин многогранника правильные многоугольники.
Все телесные углы многогранника конгруэнтны.^[1]

Концентрические сферы

У правильного многогранника есть все три связанные сферы (у других многогранников нет хотя бы одного вида), которые имеют общий центр:

An вдохновлять по касательной ко всем граням.
Интерсфера или средняя сфера, касательная ко всем ребрам.
А окружающая сфера, касательная ко всем вершинам.

Симметрия

Правильные многогранники - самые симметричный всех многогранников. Они лежат всего в трех группы симметрии, которые названы в честь Платоновых тел:

Тетраэдр
Октаэдрический (или кубический)
Икосаэдр (или додекаэдр)

Любые формы с икосаэдрической или октаэдрической симметрией также будут иметь тетраэдрическую симметрию.

Эйлерова характеристика

Пять Платоновых тел имеют Эйлерова характеристика из 2. Это просто отражает то, что поверхность является топологической двумерной сферой, и то же самое верно, например, для любого многогранника, имеющего звездообразную форму относительно некоторой внутренней точки.

Внутренние точки

Сумма расстояний от любой точки внутри правильного многогранника до сторон не зависит от положения точки (это продолжение Теорема Вивиани.) Однако обратное неверно даже для тетраэдры.^[2]

Двойственность правильных многогранников

В двойной В паре многогранников вершины одного многогранника соответствуют граням другого, и наоборот.

Правильные многогранники показывают эту двойственность следующим образом:

В тетраэдр самодвойственен, т.е. спарен сам с собой.
В куб и октаэдр двойственны друг другу.
В икосаэдр и додекаэдр двойственны друг другу.
В малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр двойственны друг другу.
В большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр двойственны друг другу.

Символ Шлефли двойного - это просто оригинал, записанный в обратном порядке, например, двойственное к {5, 3} - это {3, 5}.

История

Предыстория

Камни, вырезанные в форме, напоминающей группы сфер или шишек, были найдены в Шотландия и может быть возрастом до 4000 лет. Некоторые из этих камней демонстрируют не только симметрии пяти Платоновых тел, но также некоторые из отношений дуальности между ними (то есть, центры граней куба дают вершины октаэдра). Примеры этих камней выставлены в зале Джона Эванса Ашмоловский музей в Оксфордский университет. Почему были созданы эти предметы и как их создатели черпали вдохновение для них, остается загадкой. Есть сомнения относительно математической интерпретации этих объектов, поскольку многие из них имеют неплатонические формы, и, возможно, только один из них оказался истинным икосаэдром, в отличие от повторной интерпретации дуального икосаэдра, додекаэдра.^[3]

Также возможно, что Этруски предшествовали грекам в их понимании по крайней мере некоторых правильных многогранников, о чем свидетельствует открытие около Падуя (в Северной Италия ) в конце 19 века додекаэдр сделано из мыльный камень и возрастом более 2500 лет (Lindemann, 1987).

Греки

Самый ранний из известных написано записи о правильных выпуклых телах происходят из Классической Греции. Когда все эти твердые тела были открыты и кем неизвестно, но Theaetetus (ан Афинский ) был первым, кто дал математическое описание всех пяти (Ван дер Варден, 1954), (Евклид, книга XIII). H.S.M. Coxeter (Coxeter, 1948, раздел 1.9) кредиты Платон (400 г. до н.э.), сделав их модели, и упоминает, что одна из более ранних Пифагорейцы, Тимей Локровский, использовал все пять в соответствии между многогранниками и природой вселенной, как она тогда воспринималась - это соответствие записано в диалоге Платона Тимей. Ссылка Евклида на Платона привела к их обычному описанию как Платоновы тела.

Греческое определение можно охарактеризовать следующим образом:

Правильный многоугольник - это (выпуклый ) плоская фигура со всеми равными краями и равными углами.
Правильный многогранник - это сплошная (выпуклая) фигура, все грани которой являются конгруэнтными правильными многоугольниками, причем одинаковые числа расположены одинаково вокруг каждой вершины.

Это определение исключает, например, квадратная пирамида (поскольку, хотя все грани правильные, квадратное основание не соответствует треугольным сторонам), или форма, образованная соединением двух тетраэдров вместе (поскольку, хотя все грани этого треугольная бипирамида были бы равносторонними треугольниками, то есть конгруэнтными и правильными, одни вершины имеют 3 треугольника, а другие 4).

Эта концепция правильного многогранника останется неизменной почти 2000 лет.

Правильные звездные многогранники

Правильные звездчатые многоугольники, такие как пентаграмма (звездный пятиугольник) были известны еще древним грекам - пентаграмма использовался Пифагорейцы как их тайный знак, но они не использовали их для построения многогранников. Только в начале 17 века Иоганн Кеплер понял, что пентаграммы могут использоваться как грани регулярных звездные многогранники. Некоторые из этих звездных многогранников, возможно, были открыты другими до времени Кеплера, но Кеплер был первым, кто осознал, что их можно считать «правильными», если снять ограничение на то, что правильные многогранники будут выпуклыми. Двести лет спустя Луи Пуансо также позволила звезда фигуры вершин (обходят каждый угол), что позволяет ему обнаружить два новых правильных звездных многогранника, а также заново открыть многогранник Кеплера. Эти четыре - единственные правильные звездные многогранники, получившие название Многогранники Кеплера – Пуансо. Лишь в середине 19 века, через несколько десятилетий после публикации «Пуансо», Кэли дал им их современные английские имена: (Kepler's) малый звездчатый додекаэдр и большой звездчатый додекаэдр, и (Пуансо) большой икосаэдр и большой додекаэдр.

Многогранники Кеплера – Пуансо могут быть построены из платоновых тел с помощью процесса, называемого звездчатость. Обратный процесс звездчатости называется огранка (или огранка). Каждая звездчатая форма одного многогранника равна двойной, или обратная некоторой огранке двойного многогранника. Правильные звездчатые многогранники также могут быть получены путем огранки Платоновых тел. Впервые это сделал Бертран примерно в то же время, когда Кэли дал им имя.

К концу XIX века было девять правильных многогранников - пять выпуклых и четыре звездных.

Правильные многогранники в природе

Каждое из Платоновых тел встречается в природе в той или иной форме.

Тетраэдр, куб и октаэдр встречаются как кристаллы. Этим ни в коем случае не исчерпывается количество возможных форм кристаллов (Smith, 1982, p. 212), которых насчитывается 48. Ни правильный икосаэдр ни правильный додекаэдр среди них, но кристаллы могут иметь форму пиритоэдр, который визуально практически неотличим от правильного додекаэдра. Истинно икосаэдрические кристаллы могут быть образованы квазикристаллические материалы которые очень редки в природе, но могут быть произведены в лаборатории.

Более недавнее открытие относится к серии новых типов углерод молекула, известная как фуллерены (см. Curl, 1991). Хотя C₆₀, наиболее легко производимый фуллерен, выглядит более или менее сферически, некоторые из более крупных разновидностей (например, C₂₄₀, С₄₈₀ и C₉₆₀) предположительно принимают форму слегка закругленных икосаэдров, несколько нанометров в поперечнике.

Circogonia icosahedra, вид Радиолярии.

Многогранники появляются и в биологии. В начале 20 века Эрнст Геккель описал ряд видов Радиолярии, некоторые из которых скелеты имеют форму различных правильных многогранников (Haeckel, 1904). Примеры включают Circoporus octahedrus, Икосаэдры Circogonia, Геометрический литокуб и Circorrhegma dodecahedra; формы этих существ обозначены их именами. Внешние белковые оболочки многих вирусы образуют правильные многогранники. Например, ВИЧ заключен в правильный икосаэдр.

В древности Пифагорейцы считал, что существует гармония между правильными многогранниками и орбитами планеты. В 17 веке Иоганн Кеплер изучил данные о движении планет, составленные Тихо Браге и в течение десятилетия пытался установить пифагорейский идеал, находя соответствие между размерами многогранников и размерами орбит планет. Его поиски не достигли своей первоначальной цели, но из этого исследования явились открытия Кеплера тел Кеплера как правильных многогранников, осознание того, что орбиты планет не являются кругами, и законы движения планет чем он сейчас известен. Во времена Кеплера было известно только пять планет (не считая Земли), что точно соответствовало количеству Платоновых тел. Кеплера и открытие с тех пор Уран и Нептун, опровергли идею Пифагора.

Примерно в то же время, что и пифагорейцы, Платон описал теорию материи, в которой каждый из пяти элементов (земля, воздух, огонь, вода и дух) составлял крошечные копии одного из пяти обычных твердых тел. Материя была составлена из смеси этих многогранников, причем каждое вещество имело разные пропорции в смеси. Две тысячи лет спустя Атомная теория Дальтона покажет, что эта идея правильная, хотя и не связана напрямую с обычными твердыми телами.

Дальнейшие обобщения

В ХХ веке последовала череда обобщений идеи правильного многогранника, что привело к появлению нескольких новых классов.

Правильные косые апейроэдры

В первые десятилетия Кокстер и Петри разрешили "седловые" вершины с чередующимися гребнями и впадинами, что позволило им построить три бесконечные складчатые поверхности, которые они назвали правильные косые многогранники.^[4] Кокстер предложил модифицированный Символ Шлефли {l, m | n} для этих фигур, причем {l, m} подразумевает вершина фигуры, с м обычный л-угольники вокруг вершины. В п определяет п-гональный дыры. Их вершинные фигуры правильные косые многоугольники, вершины зигзагообразны между двумя плоскостями.

Бесконечные правильные косые многогранники в 3-м пространстве (частично нарисованы)
{4,6\|4}	{6,4\|4}	{6,6\|3}

Правильные косые многогранники

Конечные правильные косые многогранники существуют в 4-пространстве. Эти конечные правильные косые многогранники в 4-пространстве можно рассматривать как подмножество граней многогранника равномерные 4-многогранники. У них плоские правильный многоугольник лица, но правильный косой многоугольник фигуры вершин.

Два двойственных решения связаны с 5-элементный, два двойственных решения связаны с 24-элементный, и бесконечное множество самодуальных дуопризма порождают правильные косые многогранники как {4, 4 | n}. В бесконечном пределе эти приближения a дуоцилиндр и выглядишь как тор в их стереографические проекции в 3-х пространстве.

Конечные правильные косые многогранники в 4-пространстве
Ортогональный Самолет Кокстера прогнозы				Стереографическая проекция
А₄		F₄		Стереографическая проекция

{4, 6 \| 3}	{6, 4 \| 3}	{4, 8 \| 3}	{8, 4 \| 3}	{4, 4 \| n}
30 {4} лица 60 край 20 вершин	20 {6} лица 60 граней 30 вершин	288 {4} лиц 576 граней 144 вершины	144 {8} лица 576 граней 288 вершин	п² {4} лица 2п² края п² вершины

Правильные многогранники в неевклидовом и других пространствах

Исследования неевклидов (гиперболический и эллиптический ) и другие пространства, такие как сложные пространства, открытый в предыдущем столетии, привел к открытию новых многогранников, таких как сложные многогранники которые могли принимать только правильную геометрическую форму в этих пространствах.

Правильные многогранники в гиперболическом пространстве

В шестиугольная черепичная сотовая конструкция, {6,3,3}, имеет шестиугольная черепица, {6,3}, фасеты с вершинами на горосфера. Один из таких аспектов показан на этом рисунке. Модель диска Пуанкаре.

В H³ гиперболическое пространство, паракомпактные обычные соты иметь евклидову мозаику грани и фигуры вершин которые действуют как конечные многогранники. Такие мозаики имеют угловой дефект которые можно закрыть, согнув в ту или иную сторону. Если мозаика правильно масштабирована, она будет Закрыть как асимптический предел на одном идеальная точка. Эти евклидовы мозаики вписаны в горосфера так же, как многогранники вписаны в сферу (в которой нет идеальных точек). Последовательность расширяется, когда гиперболические мозаики сами используются как грани некомпактных гиперболических мозаик, как в гептагональная черепичная сотовая конструкция {7,3,3}; они вписаны в эквидистантную поверхность (2-гиперцикл ), имеющий две идеальные точки.

Регулярные мозаики вещественной проективной плоскости

Еще одну группу правильных многогранников составляют мозаики множества реальная проективная плоскость. К ним относятся полукуб, полуоктаэдр, полудодекаэдр, и полуикосаэдр. Они (глобально) проективные многогранники, и являются проективными аналогами Платоновы тела. Тетраэдр не имеет проективного аналога, так как у него нет пар параллельных граней, которые можно идентифицировать, как у других четырех Платоновых тел.

Hemi-cube {4,3}	Полуоктаэдр {3,4}	Полудодекаэдр {3,5}	Полуикосаэдр {5,3}

Они возникают как двойные пары так же, как и исходные Платоновы тела. Все их эйлеровы характеристики равны 1.

Абстрактные правильные многогранники

К настоящему времени многогранники прочно считались трехмерными примерами более общих многогранники в любом количестве измерений. Вторая половина века ознаменовалась развитием абстрактных алгебраических идей, таких как Многогранная комбинаторика, завершившейся идеей абстрактный многогранник как частично заказанный набор (посеть) элементов. Элементами абстрактного многогранника являются его тело (максимальный элемент), его грани, ребра, вершины и нулевой многогранник или пустой набор. Эти абстрактные элементы могут быть отображены в обычном пространстве или осуществленный как геометрические фигуры. Некоторые абстрактные многогранники имеют правильную форму или форму. верный реализации, другие нет. А флаг представляет собой связный набор элементов каждого измерения - для многогранника, который является телом, гранью, ребром грани, вершиной ребра и нулевым многогранником. Абстрактный многогранник называется обычный если его комбинаторные симметрии транзитивны на его флагах, т. е. что любой флаг может быть отображен на любой другой при симметрии многогранника. Абстрактные правильные многогранники остаются активной областью исследований.

Пять таких правильных абстрактных многогранников, которые невозможно точно реализовать, были идентифицированы Х. С. М. Коксетер в его книге Правильные многогранники (1977) и снова Дж. М. Уиллс в его статье «Комбинаторно правильные многогранники индекса 2» (1987). Все пять имеют C₂× S₅ симметрия, но может быть реализована только с половиной симметрии, то есть C₂× А₅ или икосаэдрическая симметрия.^[5]^[6]^[7] Все они топологически эквивалентны тороиды. Их строительство, устроив п грани вокруг каждой вершины, могут повторяться бесконечно как мозаики гиперболическая плоскость. На диаграммах ниже изображения гиперболических мозаик имеют цвета, соответствующие цветам изображений многогранников.

Многогранник	Средний ромбический триаконтаэдр	Додекадодекаэдр	Медиальный триамбический икосаэдр	Дитригональный додекадодекаэдр	Раскопанный додекаэдр
Тип	Двойной {5,4}₆	{5,4}₆	Двойной из {5,6}₄	{5,6}₄	{6,6}₆
(v,е,ж)	(24,60,30)	(30,60,24)	(24,60,20)	(20,60,24)	(20,60,20)
Фигура вершины	{5}, {5/2}	(5.5/2)²	{5}, {5/2}	(5.5/3)³
Лица	30 ромбов	12 пятиугольников 12 пентаграмм	20 шестиугольников	12 пятиугольников 12 пентаграмм	20 гексаграмм
Плитка	{4, 5}	{5, 4}	{6, 5}	{5, 6}	{6, 6}
χ	−6	−6	−16	−16	−20

Петри двойной

В Петри двойной правильного многогранника есть обычная карта чьи вершины и ребра соответствуют вершинам и ребрам исходного многогранника, а грани являются множеством перекос Полигоны Петри.^[8]

Обычные лепестки
Имя	Петриальный тетраэдр	Петриальный куб	Петриальный октаэдр	Петриальный додекаэдр	Петриальный икосаэдр
Символ	{3,3}^$π$	{4,3}^$π$	{3,4}^$π$	{5,3}^$π$	{3,5}^$π$
(v,е,ж), χ	(4,6,3), χ = 1	(8,12,4), χ = 0	(6,12,4), χ = −2	(20,30,6), χ = −4	(12,30,6), χ = −12
Лица	3 скошенных квадрата	4 косых шестиугольника		6 косых декагонов
Лица	3 скошенных квадрата
Изображение
Анимация
Связанный цифры	{4,3}₃ = {4,3}/2 = {4,3}_(2,0)	{6,3}₃ = {6,3}_(2,0)	{6,4}₃ = {6,4}_(4,0)	{10,3}₅	{10,5}₃

Сферические многогранники

Обычные девять правильных многогранников также можно представить в виде сферических мозаик (мозаик сфера ):

Тетраэдр {3,3}	Куб {4,3}	Октаэдр {3,4}	Додекаэдр {5,3}	Икосаэдр {3,5}

Малый звездчатый додекаэдр {5/2,5}	Большой додекаэдр {5,5/2}	Большой звездчатый додекаэдр {5/2,3}	Большой икосаэдр {3,5/2}

Правильные многогранники, которые могут существовать только как сферические многогранники

Для правильного многогранника с символом Шлефли {м, п} количество полигональных граней можно определить по:

{ displaystyle N_ {2} = { frac {4n} {2m + 2n-mn}}}

В Платоновы тела известны древности единственные целочисленные решения для м ≥ 3 и п ≥ 3. Ограничение м ≥ 3 означает, что многоугольные грани должны иметь как минимум три стороны.

Рассматривая многогранники как сферическая черепица, это ограничение можно ослабить, так как дигоны (2-угольники) можно представить в виде сферических лунок, имеющих ненулевые площадь. Разрешение м = 2 допускает новый бесконечный класс правильных многогранников: Hosohedra. На сферической поверхности правильный многогранник {2,п} представлен как п примыкающие луны, с внутренним углом 2 $π$ /п. Все эти лунки имеют две общие вершины.^[9]

Обычный диэдр, {п, 2}^[9] (2-гранник) в трехмерном Евклидово пространство можно считать выродиться призма состоящий из двух (плоских) п-сторонний полигоны соединены «спина к спине», так что полученный объект не имеет глубины, аналогично тому, как двуугольник может быть построен с двумя отрезки линии. Однако как сферическая черепица, диэдр может существовать в невырожденной форме с двумя п-сторонние грани, покрывающие сферу, каждая грань полушарие, а вершины вокруг большой круг. это обычный если вершины расположены на одинаковом расстоянии.

Дигональный диэдр {2,2}	Тригональный диэдр {3,2}	Квадрат диэдр {4,2}	Пятиугольный диэдр {5,2}	Шестиугольный диэдр {6,2}	...	{п,2}
Дигональный осоэдр {2,2}	Тригональный осоэдр {2,3}	Квадратный осоэдр {2,4}	Пятиугольный осоэдр {2,5}	Шестиугольный осоэдр {2,6}	...	{2,п}

Осоэдр {2,п} двойственен диэдру {п, 2}. Обратите внимание, что когда п = 2, получаем многогранник {2,2}, который одновременно является осоэдром и диэдром. Все они имеют эйлерову характеристику 2.

Смотрите также

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Правильный многогранник». MathWorld.

[1] Кромвель, Питер Р. (1997). Многогранники. Издательство Кембриджского университета. п. 77. ISBN 0-521-66405-5.

[2] Чен, Чжибо, и Лян, Тянь. «Обратное к теореме Вивиани», Математический журнал колледжа 37 (5), 2006, стр. 390–391.

[3] Шотландская мистификация Solids,

[4] Coxeter, Красота геометрии: двенадцать эссе, Dover Publications, 1999 г., ISBN 0-486-40919-8 (Глава 5: Правильные косые многогранники в трех и четырех измерениях и их топологические аналоги, Труды Лондонского математического общества, сер. 2, том 43, 1937.)

[5] Правильные многогранники (индекса два), Дэвид А. Рихтер

[6] Правильные многогранники индекса два, I Энтони М. Катлер, Эгон Шульте, 2010 г.

[7] Правильные многогранники индекса два, II Beitrage zur Algebra und Geometrie 52 (2): 357–387 · ноябрь 2010 г., таблица 3, стр. 27

[8] Макмаллен, Питер; Шульте, Эгон (2002), Абстрактные правильные многогранники, Энциклопедия математики и ее приложений, 92, Cambridge University Press, стр. 192, ISBN 9780521814966

[cox-9] а ^б Кокстер, Правильные многогранники, п. 12

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]