Отрезок - Line segment

Геометрическое определение замкнутого отрезка прямой: пересечение всех точек на или справа от А со всеми точками на или слева от B

исторический образ - создать отрезок (1699)

В геометрия, а отрезок является частью линия который ограничен двумя различными концами точки, и содержит каждую точку на линии между его конечными точками. А замкнутый линейный сегмент включает обе конечные точки, а открытый сегмент линии исключает обе конечные точки; а полуоткрытый отрезок линии включает ровно одну из конечных точек. В геометрия, сегмент линии часто обозначается с помощью линии над символами для двух конечных точек (например, ${ displaystyle { overline {AB}}}$ ).^[1]^[2]

Примеры сегментов линии включают стороны треугольника или квадрата. В более общем смысле, когда обе конечные точки сегмента являются вершинами многоугольник или же многогранник, линейный сегмент является либо край (этого многоугольника или многогранника), если они являются смежными вершинами, или диагональ. Когда обе конечные точки лежат на изгиб (например, круг ) отрезок называется отрезком аккорд (этой кривой).

В реальных или сложных векторных пространствах

Если V это векторное пространство над ${ Displaystyle mathbb {R}}$ или же ${ Displaystyle mathbb {C}}$ , и L это подмножество из V, тогда L это отрезок если L можно параметризовать как

{ Displaystyle L = { mathbf {u} + t mathbf {v} mid t in [0,1] }}

для некоторых векторов ${ Displaystyle mathbf {u}, mathbf {v} в V , !}$ . В этом случае векторы ты и ты + v называются конечными точками L.

Иногда нужно различать «открытые» и «закрытые» отрезки линии. В этом случае можно было бы определить замкнутый линейный сегмент как указано выше, и открытый сегмент линии как подмножество L который может быть параметризован как

{ Displaystyle L = { mathbf {u} + t mathbf {v} mid t in (0,1) }}

для некоторых векторов ${ Displaystyle mathbf {u}, mathbf {v} в V , !}$ .

Эквивалентно отрезок линии - это выпуклый корпус из двух точек. Таким образом, отрезок линии можно выразить как выпуклое сочетание двух конечных точек сегмента.

В геометрия, можно определить точку B быть между двумя другими точками А и C, если расстояние AB добавлено к расстоянию до н.э равно расстоянию AC. Таким образом, в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ , отрезок прямой с конечными точками А = (а_Икс, а_у) и C = (c_Икс, c_у) это следующий набор точек:

{ displaystyle {(x, y) | { sqrt {(x-c_ {x}) ^ {2} + (y-c_ {y}) ^ {2}}} + { sqrt {(x- a_ {x}) ^ {2} + (y-a_ {y}) ^ {2}}} = { sqrt {(c_ {x} -a_ {x}) ^ {2} + (c_ {y} -a_ {y}) ^ {2}}} }}

.

Характеристики

Отрезок линии - это связаны, непустой набор.
Если V это топологическое векторное пространство, то замкнутый отрезок закрытый набор в V. Однако открытый отрезок линии открытый набор в V если и только если V является одномерный.
В более общем плане, чем указано выше, понятие линейного сегмента может быть определено в упорядоченная геометрия.
Пара сегментов линии может быть любой из следующих: пересекающийся, параллельно, перекос, или ни одного из них. Последняя возможность - это то, чем отрезки прямых отличаются от отрезков: если две непараллельные прямые находятся в одной евклидовой плоскости, то они должны пересекать друг друга, но это не обязательно верно для отрезков.

В доказательствах

В аксиоматической трактовке геометрии понятие промежуточности либо предполагается, что удовлетворяет определенному количеству аксиом, либо определяется в терминах изометрия линии (используется как система координат).

Сегменты играют важную роль в других теориях. Например, набор является выпуклым, если сегмент, соединяющий любые две точки набора, содержится в наборе. Это важно, поскольку при этом часть анализа выпуклых множеств преобразуется в анализ отрезка прямой. В постулат сложения сегментов может использоваться для добавления конгруэнтного сегмента или сегментов одинаковой длины и, следовательно, для замены других сегментов в другой оператор, чтобы сделать сегменты конгруэнтными.

Как вырожденный эллипс

Отрезок линии можно рассматривать как вырожденный случай из эллипс, в котором малая полуось стремится к нулю, фокусы перейти к конечным точкам, а эксцентриситет перейдет к единице. Стандартное определение эллипса - это набор точек, для которых сумма расстояний от точки до двух фокусы постоянная; если эта константа равна расстоянию между фокусами, результатом будет отрезок линии. Полная орбита этого эллипса дважды пересекает отрезок прямой. Как вырожденная орбита, это радиально-эллиптическая траектория.

В других геометрических формах

В дополнение к появлению краев и диагонали из полигоны и многогранники, сегменты линии также появляются во многих других местах относительно других геометрические фигуры.

Треугольники

Некоторые очень часто рассматриваемые сегменты в треугольник включить три высоты (каждый перпендикулярно соединяя сторону или ее расширение к противоположному вершина ), три медианы (каждый соединяет стороны середина в противоположную вершину), перпендикулярные биссектрисы сторон (перпендикулярно соединяющей середину стороны с одной из других сторон), и биссектриса внутреннего угла (каждый соединяет вершину с противоположной стороной). В каждом случае есть разные равенства соотнесение длин этих сегментов с другими (обсуждается в статьях о различных типах сегментов), а также различные неравенства.

Другие интересующие сегменты треугольника включают в себя те, которые соединяют различные центры треугольников друг к другу, в первую очередь стимулятор, то центр окружности, то центр девяти точек, то центроид и ортоцентр.

Четырехугольники

Помимо сторон и диагоналей четырехугольник, важными сегментами являются два бимедианцы (соединяя середины противоположных сторон) и четыре солодовые привычки (каждый перпендикулярно соединяет одну сторону с серединой противоположной стороны).

Круги и эллипсы

Любой отрезок прямой, соединяющий две точки на круг или же эллипс называется аккорд. Любой аккорд в круге, который больше не имеет хорды, называется диаметр, и любой отрезок, соединяющий центр (середина диаметра) до точки на окружности называется радиус.

В эллипсе самый длинный аккорд, который одновременно является самым длинным диаметр, называется большая ось, а отрезок от середины большой оси (центра эллипса) до любой конечной точки большой оси называется большая полуось. Точно так же самый короткий диаметр эллипса называется диаметром малая ось, а отрезок от его средней точки (центра эллипса) до любой из его конечных точек называется малая полуось. Аккорды эллипса, перпендикуляр к большой оси и пройти через одну из ее фокусы называются латера прямая кишка эллипса. В межфокальный сегмент соединяет два очага.

Направленный линейный сегмент

Когда сегменту линии дается ориентация (направление) он предлагает перевод или, возможно, сила стремится сделать перевод. Величина и направление указывают на возможное изменение. Это предложение было учтено в математическая физика через концепцию Евклидов вектор.^[3]^[4] Совокупность всех направленных сегментов линии обычно сокращается путем создания «эквивалентной» любой пары, имеющей одинаковую длину и ориентацию.^[5] Это приложение отношение эквивалентности датируется Джусто Беллавитис Введение концепции равноправие направленных отрезков в 1835 г.

Обобщения

Аналогично прямая линия сегментов выше, можно также определить дуги как сегменты изгиб.

Смотрите также

Пунктирная линия
Интервал (математика)
Линия (геометрия)
Пересечение отрезка прямой, алгоритмическая задача поиска пересекающихся пар в наборе отрезков прямых
Spirangle
Постулат добавления сегмента

Примечания

^ «Список символов геометрии и тригонометрии». Математическое хранилище. 2020-04-17. Получено 2020-09-01.
^ «Определение отрезка линии - открытый справочник по математике». www.mathopenref.com. Получено 2020-09-01.
^ Гарри Ф. Дэвис и Артур Дэвид Снайдер (1988) Введение в векторный анализ, 5-е издание, стр. 1, Wm. C. Brown Publishers ISBN 0-697-06814-5
^ Матюр Рахман и Исаак Малолани (2001) Прикладной векторный анализ, страницы 9 и 10, CRC Press ISBN 0-8493-1088-1
^ Эутикио К. Янг (1978) Векторный и тензорный анализ, страницы 2 и 3, Марсель Деккер ISBN 0-8247-6671-7

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. "Отрезок". MathWorld.
Отрезок линии на PlanetMath
Копирование отрезка линии с помощью циркуля и линейки
Разделение отрезка на N равных частей с помощью циркуля и линейки Анимированная демонстрация

В этой статье используется материал из раздела «Линия» на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.

[1] «Список символов геометрии и тригонометрии». Математическое хранилище. 2020-04-17. Получено 2020-09-01.

[2] «Определение отрезка линии - открытый справочник по математике». www.mathopenref.com. Получено 2020-09-01.

[3] Гарри Ф. Дэвис и Артур Дэвид Снайдер (1988) Введение в векторный анализ, 5-е издание, стр. 1, Wm. C. Brown Publishers ISBN 0-697-06814-5

[4] Матюр Рахман и Исаак Малолани (2001) Прикладной векторный анализ, страницы 9 и 10, CRC Press ISBN 0-8493-1088-1

[5] Эутикио К. Янг (1978) Векторный и тензорный анализ, страницы 2 и 3, Марсель Деккер ISBN 0-8247-6671-7

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]