Выпуклая комбинация - Convex combination

Учитывая три очка ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ в плоскости, как показано на рисунке, точка ${\displaystyle P}$ является выпуклая комбинация трех точек, а ${\displaystyle Q}$ является нет.

(${\displaystyle Q}$ однако является аффинной комбинацией трех точек, поскольку их аффинная оболочка это весь самолет.)

В выпуклая геометрия, а выпуклое сочетание это линейная комбинация из точки (который может быть векторов, скаляры, или, в более общем смысле, указывает на аффинное пространство ) где все коэффициенты находятся неотрицательный и сумма к 1.^[1]

Более формально, учитывая конечное число точек ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ в реальное векторное пространство, выпуклая комбинация этих точек представляет собой точку вида

${\displaystyle \alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}$

где реальные числа ${\displaystyle \alpha _{i}}$ удовлетворить ${\displaystyle \alpha _{i}\geq 0}$ и ${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}=1.}$^[1]

В качестве частного примера каждая выпуклая комбинация двух точек лежит на отрезок между точками.^[1]

Набор есть выпуклый если он содержит все выпуклые комбинации своих точек. выпуклый корпус данного набора точек совпадает с набором всех их выпуклых комбинаций.^[1]

Существуют подмножества векторного пространства, которые не замкнуты относительно линейных комбинаций, но замкнуты относительно выпуклых комбинаций. Например, интервал ${\displaystyle [0,1]}$ является выпуклым, но при линейных комбинациях образует прямую действительных чисел. Другой пример - выпуклый набор распределения вероятностей, поскольку линейные комбинации не сохраняют ни неотрицательности, ни сродства (т. е. имеют полную целую).

Другие объекты

• Аналогично выпуклая комбинация ${\displaystyle X}$ из случайные переменные ${\displaystyle Y_{i}}$ - взвешенная сумма (где ${\displaystyle \alpha _{i}}$ удовлетворяют тем же ограничениям, что и выше) его компонентных распределений вероятностей, часто называемых распределение конечной смеси, с функция плотности вероятности:

${\displaystyle f_{X}(x)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}f_{Y_{i}}(x)}$

Связанные конструкции

Дальнейшая информация: Линейная комбинация § Аффинные, конические и выпуклые комбинации

• А коническая комбинация является линейной комбинацией с неотрицательными коэффициентами. Когда точка ${\displaystyle x}$ должен использоваться в качестве исходной точки для определения векторы смещения, тогда ${\displaystyle x}$ выпуклая комбинация ${\displaystyle n}$ точки ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ тогда и только тогда, когда нулевое смещение является нетривиальным коническая комбинация от их ${\displaystyle n}$ соответствующие векторы смещения относительно ${\displaystyle x}$.
• Средневзвешенные функционально такие же, как выпуклые комбинации, но используют другие обозначения. Коэффициенты (веса ) средневзвешенное значение не требуется суммировать до 1; вместо этого взвешенная линейная комбинация явно делится на количество весов.
• Аффинные комбинации похожи на выпуклые комбинации, но коэффициенты не обязательно должны быть неотрицательными. Следовательно, аффинные комбинации определены в векторных пространствах над любыми поле.

Смотрите также

• Аффинная оболочка
• Теорема Каратеодори (выпуклая оболочка)
• Симплекс
• Барицентрическая система координат

Рекомендации

1. Рокафеллар, Р. Тиррелл (1970), Выпуклый анализ, Принстонская математическая серия, 28, Princeton University Press, Princeton, N.J., pp. 11–12, МИСТЕР  0274683