Девятиточечный центр - Nine-point center

Треугольник с описанной окружностью и центром описанной окружности (черный), высотой и ортоцентром (красный), а также окружностью из девяти точек и центром из девяти точек (синий)

В геометрия, то центр девяти точек это центр треугольника, точка, определенная из заданного треугольник таким образом, который не зависит от расположения или масштаба треугольника. Он называется так, потому что он является центром круг из девяти точек, круг, который проходит через девять значимых точек треугольника: середины трех ребер, основания трех высоты, а точки на полпути между ортоцентр и каждая из трех вершин. Центр из девяти точек указан как точка X (5) в Кларк Кимберлинг с Энциклопедия центров треугольников.^[1][2]

Характеристики

Девятиточечный центр N лежит на Линия Эйлера своего треугольника, на середина между этим треугольником ортоцентр ЧАС и центр окружности О. В центроид г также лежит на той же прямой, 2/3 пути от ортоцентра до центра описанной окружности,^[2][3] так

${displaystyle NO=NH=3NG.}$

Таким образом, если известны любые два из этих четырех треугольных центров, положения двух других могут быть определены по ним.

Эндрю Гинанд доказал в 1984 году, что это часть того, что сейчас известно как Задача определения треугольника Эйлера, что если положения этих центров заданы для неизвестного треугольника, то стимулятор треугольника лежит внутри ортоцентроидный круг (круг, имеющий отрезок от центра тяжести до ортоцентра в качестве диаметра). Единственная точка внутри этого круга, которая не может быть центром, - это центр из девяти точек, а каждая другая внутренняя точка круга является центром уникального треугольника.^[4][5][6][7]

Расстояние от девятибалльного центра до стимулятор я удовлетворяет

${displaystyle IN<{ frac {1}{2}}IO,}$

${displaystyle IN={ frac {1}{2}}(R-2r)<{frac {R}{2}},}$

${displaystyle 2Rcdot IN=OI^{2},}$

где р и р являются по окружности и inradius соответственно.

Девятиточечный центр - это центр окружности из средний треугольник данного треугольника, центр описанной ортический треугольник данного треугольника и центр описанной окружности треугольника Эйлера.^[3] В более общем смысле это центр описанной окружности любого треугольника, определяемый тремя из девяти точек, определяющих окружность из девяти точек.

Центр из девяти точек находится в центроид четырех точек: трех вершин треугольника и его ортоцентр.^[8]

В Линии Эйлера четырех треугольников, образованных ортоцентрическая система (набор из четырех точек, каждая из которых является ортоцентр треугольника с вершинами в трех других точках) равны одновременный в центре, состоящем из девяти точек, общем для всех треугольников.^{[9]:стр.111}

Из девяти точек, определяющих окружность с девятью точками, три середины отрезков прямой между вершинами и ортоцентром являются отражениями середин треугольника относительно его центра из девяти точек. Таким образом, центр из девяти точек образует центр точечное отражение который отображает средний треугольник в треугольник Эйлера, и наоборот.^[3]

Согласно с Теорема Лестера, центр из девяти точек лежит на общем круге с тремя другими точками: двумя Точки Ферма и центр окружности.^[10]

В Косница точка треугольника, центр треугольника, связанный с Теорема Косницы, это изогональный конъюгат девятиточечного центра.^[11]

Координаты

Трилинейные координаты для девятиточечного центра^[1][2]

${displaystyle {egin{aligned}&cos(B-C):cos(C-A):cos(A-B)={}&cos A+2cos Bcos C:cos B+2cos Ccos A:cos C+2cos Acos B={}&cos A-2sin Bsin C:cos B-2sin Csin A:cos C-2sin Asin B={}&bc[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}]:ca[b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}]:ab[c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}].end{aligned}}}$

В барицентрические координаты девятиточечного центра^[2]

${displaystyle {egin{aligned}&acos(B-C):bcos(C-A):ccos(A-B)={}&a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}:b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}:c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}.end{aligned}}}$

Таким образом, если и только если два из углов при вершине отличаются друг от друга более чем на 90 掳, одна из барицентрических координат отрицательна, и поэтому центр из девяти точек находится вне треугольника.

Рекомендации

1. Кимберлинг, Кларк (1994), "Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника", Математический журнал, 67 (3): 163–187, Дои:10.2307/2690608, JSTOR  2690608, Г-Н  1573021.
2. Энциклопедия центров треугольников, дата обращения 23.10.2014.
3. Деков, Деко (2007), «Девятиточечный центр» (PDF), Журнал компьютерной евклидовой геометрии.
4. Стерн, Джозеф (2007), "Задача определения треугольника Эйлера" (PDF), Форум Geometricorum, 7: 1–9.
5. Эйлер, Леонард (1767), "Solutio facilis problematum quorundam geometryorum difficillimorum", Новые комментарии academiae scientiarum Petropolitanae (на латыни), 11: 103–123.
6. Guinand, Эндрю П. (1984), "Прямые Эйлера, тритангенциальные центры и их треугольники", Американский математический ежемесячный журнал, 91 (5): 290–300, Дои:10.2307/2322671, JSTOR  2322671.
7. Францсен, Уильям Н. "Расстояние от центра до линии Эйлера", Форум Geometricorum 11, 2011, 231-236. http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201126index.html
8. Энциклопедия треугольных центров приписывает это наблюдение Рэнди Хатсону, 2011 г.
9. Альтшиллер-Корт, Натан, Колледж Геометрия, Dover Publications, 2007 (ориг. Barnes & Noble, 1952).
10. Ю, Пол (2010), «Круги Лестера, Эванса, Парри и их обобщения», Форум Geometricorum, 10: 175–209, Г-Н  2868943.
11. Ригби, Джон (1997), "Краткие заметки о некоторых забытых геометрических теоремах", Математика и информатика Ежеквартально, 7: 156–158.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Девятиточечный центр». MathWorld.