Средняя точка - Midpoint

Для использования в других целях см. Середина (значения).

Середина отрезка (Икс₁, у₁) к (Икс₂, у₂)

В геометрия, то середина это середина точка из отрезок. это равноудаленный с обеих конечных точек, и это центроид как сегмента, так и конечных точек. Это делит пополам сегмент.

Формулы

Середина сегмента в п-мерное пространство, концы которого ${\displaystyle A=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})}$ и ${\displaystyle B=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})}$ дан кем-то

${\displaystyle {\frac {A+B}{2}}.}$

Это я^th координата средней точки (я = 1, 2, ..., п) является

${\displaystyle {\frac {a_{i}+b_{i}}{2}}.}$

Строительство

Учитывая две точки интереса, найти среднюю точку отрезка, который они определяют, можно с помощью компас и линейка. Середина линейного сегмента, встроенного в самолет, можно найти, сначала построив линза используя дуги окружности равного (и достаточно большого) радиуса с центрами в двух конечных точках, затем соединяя куспиды линзы (две точки, где дуги пересекаются). Точка, в которой линия, соединяющая куспиды, пересекает сегмент, тогда является средней точкой сегмента. Сложнее определить среднюю точку, используя только компас, но, если судить по Теорема Мора-Машерони.^[1]

Геометрические свойства, включающие средние точки

Круг

Середина любого диаметр из круг это центр круга.

Любая линия перпендикуляр любому аккорд круга и проходя через его середину, также проходит через центр круга.

В теорема бабочка заявляет, что если M это середина аккорда PQ круга, через который две другие хорды AB и CD нарисованы, то ОБЪЯВЛЕНИЕ и до н.э пересечение хорды PQ в Икс и Y соответственно такие, что M это середина XY.

Эллипс

Середина любого сегмента, который является площадь биссектриса или же периметр биссектриса эллипс центр эллипса.

Центр эллипса - это также середина отрезка, соединяющего два фокусы эллипса.

Гипербола

Середина отрезка, соединяющего гипербола вершины - центр гиперболы.

Треугольник

В серединный перпендикуляр к стороне из треугольник это линия, которая перпендикулярна этой стороне и проходит через ее середину. Три серединных перпендикуляра трех сторон треугольника пересекаются в точках центр окружности (центр круга через три вершины).

В медиана стороны треугольника проходит как через середину стороны, так и через противоположную точку треугольника. вершина. Три медианы треугольника пересекаются в точках треугольника. центроид (точка, в которой треугольник балансировал бы, если бы он был сделан из тонкого листа металла однородной плотности).

В центр девяти точек треугольника лежит в середине между центром описанной окружности и ортоцентр. Все эти точки находятся на Линия Эйлера.

А средний сегмент (или же средняя линия) треугольника - это отрезок прямой, соединяющий середины двух сторон треугольника. Он параллелен третьей стороне и имеет длину, равную половине этой третьей стороны.

В средний треугольник данного треугольника имеет вершины в серединах сторон данного треугольника, поэтому его стороны являются тремя средними сегментами данного треугольника. Он имеет тот же центр тяжести и медианы с данным треугольником. В периметр медиального треугольника равна полупериметр (половина периметра) исходного треугольника, а его площадь составляет четверть площади исходного треугольника. В ортоцентр (пересечение высоты ) среднего треугольника совпадает с центр окружности (центр круга через вершины) исходного треугольника.

Каждый треугольник имеет вписанный эллипс, назвал его Штайнер инеллипс, которая касается треугольника изнутри в серединах всех его сторон. Этот эллипс находится в центре тяжести треугольника, и он имеет наибольшую площадь из всех эллипсов, вписанных в треугольник.

В прямоугольный треугольник, центр описанной окружности - это середина гипотенуза.

В равнобедренный треугольник, медиана, высота, и серединный перпендикуляр из основание сторона и биссектриса угла из вершина совпадают с линией Эйлера и ось симметрии, и эти совпадающие линии проходят через середину основной стороны.

Четырехугольник

Два бимедианцы из выпуклый четырехугольник - это отрезки, которые соединяют середины противоположных сторон, следовательно, каждый из них делит две стороны пополам. Две бимедианы и отрезок, соединяющий середины диагоналей, представляют собой одновременный в (все пересекаются в) точке, называемой «центроид вершины», которая является средней точкой всех трех этих сегментов.^{[2]:стр.125}

Четыре «солодости» выпуклого четырехугольника - это перпендикуляры к стороне, проходящей через середину противоположной стороны, следовательно, делят последнюю пополам. Если четырехугольник циклический (обведены кружком), все эти солодовые вкусы встречаются в общей точке, называемой «антицентром».

Теорема Брахмагупты утверждает, что если вписанный четырехугольник ортодиагональный (то есть имеет перпендикуляр диагонали ), то перпендикуляр к стороне от точки пересечения диагоналей всегда проходит через середину противоположной стороны.

Теорема Вариньона утверждает, что середины сторон произвольного четырехугольника образуют вершины параллелограмм, а если четырехугольник не самопересекающийся, то площадь параллелограмма равна половине площади четырехугольника.

В Линия Ньютона - это линия, соединяющая середины двух диагоналей в выпуклый четырехугольник, который не является параллелограммом. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, пересекаются в точке, лежащей на линии Ньютона.

Общие многоугольники

А правильный многоугольник имеет вписанный круг который касательная с каждой стороны многоугольника в его средней точке.

В правильном многоугольнике с четным числом сторон средняя точка диагональ между противоположными вершинами находится центр многоугольника.

В многоугольник растяжения средней точки из циклический многоугольник п (а многоугольник все вершины которого лежат в одной окружности) - это еще один циклический многоугольник, вписанный в ту же окружность, многоугольник, вершины которого являются серединами дуги окружности между вершинами п.^[3] Итерация операции растяжения средней точки на произвольном начальном многоугольнике приводит к последовательности многоугольников, формы которых сходятся к форме правильный многоугольник.^[3][4]

Обобщения

В вышеупомянутый формулы для средней точки сегмента неявно используют длины сегментов. Однако в обобщении к аффинная геометрия, где длины сегментов не определены,^[5] середину все еще можно определить, так как это аффинная инвариантный. В синтетический аффинное определение середины M сегмента AB это проективное гармоническое сопряжение из точка в бесконечности, п, линии AB. То есть суть M такой, что ЧАС[А,B; п,M].^[6] Когда координаты могут быть введены в аффинную геометрию, два определения средней точки будут совпадать.^[7]

Середина не определяется естественным образом в проективная геометрия поскольку нет выделенной точки, которая могла бы играть роль бесконечно удаленной точки (любой точки в проективный диапазон может быть проективно отображен в любую другую точку (того же или другого) проективного диапазона). Однако фиксация бесконечно удаленной точки определяет аффинную структуру на проективная линия в вопросе, и может быть применено приведенное выше определение.

Определение средней точки сегмента может быть расширено до геодезический дуги на Риманово многообразие. Отметим, что, в отличие от аффинного случая, середина между двумя точками не может быть однозначно определено.

Смотрите также

• Полигон средней точки
• Биссектриса § Биссектриса отрезка прямой
• Численное интегрирование § Квадратурные правила на основе интерполирующих функций

Рекомендации

1. "Вольфрам математический мир". 29 сентября 2010 г.
2. Альтшиллер-Корт, Натан, Колледж Геометрия, Dover Publ., 2007.
3. Дин, Джиу; Хитт, Л. Ричард; Чжан, Синь-Минь (1 июля 2003 г.), «Цепи Маркова и динамическая геометрия многоугольников» (PDF), Линейная алгебра и ее приложения, 367: 255–270, Дои:10.1016 / S0024-3795 (02) 00634-1, получено 19 октября 2011.
4. Гомес-Мартин, Франциско; Таслакян, Перуз; Туссен, Годфрид Т. (2008), «Сходимость теневой последовательности вписанных многоугольников», 18-й осенний семинар по вычислительной геометрии
5. Фишбэк, W.T. (1969), Проективная и евклидова геометрия (2-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 214, г. ISBN  0-471-26053-3
6. Месерв, Брюс Э. (1983) [1955], Основные понятия геометрии, Дувр, стр. 156, ISBN  0-486-63415-9
7. Янг, Джон Уэсли (1930), Проективная геометрия, Carus Mathematical Monographs # 4, Mathematical Association of America, стр. 84–85.

внешняя ссылка

• Анимация - отображение характеристик средней точки отрезка линии
• Что такое формула средней точки