Полупериметр - Semiperimeter

В геометрия, то полупериметр из многоугольник половина его периметр. Хотя полупериметр очень просто выводится из периметра, он достаточно часто встречается в формулах для треугольники и другие цифры, что ему дано отдельное название. Когда полупериметр входит в состав формулы, он обычно обозначается буквой s.

Треугольники

В любом треугольнике расстояние вдоль границы треугольника от вершины до точки на противоположном крае, которой коснется внеокружность равен полупериметру.

Полупериметр чаще всего используется для треугольников; формула полупериметра треугольника с длинами сторон а, б, и c является

{ displaystyle s = { frac {a + b + c} {2}}.}

Характеристики

В любом треугольнике, любой вершине и точке, где противоположное внеокружность касается треугольника, разделяющего периметр треугольника на две равные длины, таким образом образуя два пути, каждый из которых имеет длину, равную полупериметру. Если A, B, C, A ', B' и C 'такие, как показано на рисунке, то сегменты, соединяющие вершину с противоположным касанием вневписанной окружности (AA', BB 'и CC', показаны красным на рисунке диаграмма) известны как разветвители, и

${ Displaystyle s = | AB | + | A'B | = | AB | + | AB '| = | AC | + | A'C |}$

{ Displaystyle = | AC | + | AC '| = | BC | + | B'C | = | BC | + | BC' |.}

Три сплиттера соглашаться на Точка Нагеля треугольника.

А тесак Треугольника - это отрезок прямой, который делит пополам периметр треугольника и имеет одну конечную точку в середине одной из трех сторон. Таким образом, любой нож, как и любой разделитель, делит треугольник на две дорожки, длина каждой из которых равна полупериметру. Три тесака сходятся во мнении центр круга Шпикера, какой окружать из средний треугольник; центр Spieker - это центр массы всех точек на краях треугольника.

Линия через треугольник стимулятор делит пополам периметр тогда и только тогда, когда он также делит площадь пополам.

Полупериметр треугольника равен периметру его средний треугольник.

Посредством неравенство треугольника, длина самой длинной стороны треугольника меньше полупериметра.

Формулы, использующие полупериметр

Площадь А любого треугольника является произведением его inradius (радиус вписанной окружности) и ее полупериметр:

{ displaystyle A = rs.}

Площадь треугольника также можно рассчитать по его полупериметру и длинам сторон. а, б, в с помощью Формула Герона:

{ Displaystyle A = { sqrt {s left (s-a right) left (s-b right) left (s-c right)}}.}

В по окружности р треугольника также можно рассчитать по полупериметру и длинам сторон:

{ displaystyle R = { frac {abc} {4 { sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)}}}}.}

Эта формула может быть получена из закон синуса.

Радиус

{ displaystyle r = { sqrt { frac {(s-a) (s-b) (s-c)} {s}}}.}

В закон котангенсов дает котангенсы полууглов в вершинах треугольника через полупериметр, стороны и внутренний радиус.

Длина внутренняя биссектриса угла противоположная сторона длины а является^[1]

{ displaystyle t_ {a} = { frac {2 { sqrt {bcs (s-a)}}} {b + c}}.}

В прямоугольный треугольник, радиус внеокружность на гипотенуза равен полупериметру. Полупериметр - это сумма внутреннего радиуса и двойного радиуса описанной окружности. Площадь прямоугольного треугольника равна ${ Displaystyle (s-a) (s-b)}$ куда а и б ноги.

Четырехугольники

Формула полупериметра четырехугольник с боковыми длинами а, б, c и d является

{ displaystyle s = { frac {a + b + c + d} {2}}.}

Одна из формул площади треугольника, включающая полупериметр, также применима к касательные четырехугольники, которые имеют вписанную окружность и в которых (согласно Теорема Пито ) пары противоположных сторон имеют длины, суммируемые с полупериметром, а именно площадь является произведением внутреннего радиуса и полупериметра: