Выпуклый многоугольник - Convex polygon

Пример выпуклого многоугольника: a регулярный пятиугольник.

А выпуклый многоугольник это простой многоугольник (не самопересекающийся ), в котором ни один отрезок линии между двумя точками границы никогда не выходит за пределы многоугольника. Эквивалентно, это простой многоугольник, интерьер это выпуклый набор.[1] В выпуклом многоугольнике все внутренние углы меньше или равны 180 градусам, тогда как в строго выпуклом многоугольнике все внутренние углы строго меньше 180 градусов.

Свойства

Следующие свойства простого многоугольника эквивалентны выпуклости:

  • Каждые внутренний угол строго меньше 180 градусы.
  • Каждая точка на каждом отрезок между двумя точками внутри или на границе многоугольника остается внутри или на границе.
  • Многоугольник полностью содержится в замкнутой полуплоскости, определяемой каждым из его ребер.
  • Для каждого края все внутренние точки находятся на той же стороне линии, которую определяет край.
  • Угол в каждой вершине содержит все остальные вершины по краям и внутри.
  • Многоугольник - это выпуклая оболочка его краев.

Дополнительные свойства выпуклых многоугольников:

  • Пересечение двух выпуклых многоугольников образует выпуклый многоугольник.
  • Выпуклый многоугольник может быть триангулированный в линейное время через веерная триангуляция, состоящий в добавлении диагоналей от одной вершины ко всем остальным вершинам.
  • Теорема Хелли: Для каждого набора по крайней мере из трех выпуклых многоугольников: если пересечение любых трех из них непусто, то весь набор имеет непустое пересечение.
  • Теорема Крейна – Мильмана: Выпуклый многоугольник - это выпуклая оболочка его вершин. Таким образом, он полностью определяется набором своих вершин, и для восстановления всей формы многоугольника нужны только углы многоугольника.
  • Теорема о разделении гиперплоскостей: Любые два выпуклых многоугольника, не имеющих общих точек, имеют разделительную линию. Если многоугольники замкнуты и хотя бы один из них компактный, то есть даже две параллельные разделительные линии (с промежутком между ними).
  • Вписанный треугольник Свойство: Из всех треугольников, содержащихся в выпуклом многоугольнике, существует треугольник с максимальной площадью, все вершины которого являются вершинами многоугольника.[2]
  • Вписывающий треугольник свойство: каждый выпуклый многоугольник с площадью А можно вписать в треугольник площадью не более 2А. Равенство имеет место (исключительно) для параллелограмм.[3]
  • Надписанные / вписывающие прямоугольники свойство: для каждого выпуклого тела C на плоскости мы можем вписать прямоугольник r в C такой, что a гомотетичный копия R кольца r описана вокруг C, и положительное отношение гомотетии не превосходит 2 и .[4]
  • В средняя ширина выпуклого многоугольника равен периметру его, деленному на пи. Таким образом, его ширина равна диаметру круга с таким же периметром, что и у многоугольника.[5]

Каждый многоугольник, вписанный в круг (такой, что все вершины многоугольника касаются круга), если не самопересекающийся, выпуклый. Однако не каждый выпуклый многоугольник можно вписать в круг.

Строгая выпуклость

Следующие свойства простого многоугольника эквивалентны строгой выпуклости:

  • Каждый внутренний угол строго меньше 180 градусов.
  • Каждый линейный сегмент между двумя точками внутри или между двумя точками на границе, но не на одном и том же ребре, является строго внутренним по отношению к многоугольнику (за исключением его конечных точек, если они находятся на краях).
  • Для каждого ребра внутренние точки и граничные точки, не содержащиеся в ребре, находятся на той же стороне линии, которую определяет край.
  • Угол в каждой вершине содержит все остальные вершины внутри (кроме данной вершины и двух смежных вершин).

Каждый невырожденный треугольник строго выпуклый.

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ Определение и свойства выпуклых многоугольников с интерактивной анимацией.
  2. ^ - Христос. «Всегда ли область пересечения выпуклых многоугольников выпуклая?». Обмен математическим стеком.CS1 maint: числовые имена: список авторов (ссылка на сайт)
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Треугольник, описывающий". Мир математики Wolfram.
  4. ^ Лассак, М. (1993). «Аппроксимация выпуклых тел прямоугольниками». Geometriae Dedicata. 47: 111. Дои:10.1007 / BF01263495.
  5. ^ Джим Белк. "Какая средняя ширина выпуклого многоугольника?". Обмен математическим стеком.

внешние ссылки