Четырехугольник Саккери - Saccheri quadrilateral

Четырехугольники Саккери

А Четырехугольник Саккери (также известный как Четырехугольник Хайяма – Саккери) это четырехугольник с двух равных сторон, перпендикулярных основанию. Он назван в честь Джованни Джероламо Саккери, который широко использовал его в своей книге Евклид ab omni naevo vindicatus (буквально Евклид, свободный от всех изъянов), впервые опубликованный в 1733 году, попытка доказать параллельный постулат используя метод Reductio ad absurdum.

Первое известное рассмотрение четырехугольника Саккери было сделано Омар Хайям в конце 11 века, и иногда его можно назвать четырехугольником Хайяма – Саккери.^[1]

У четырехугольника Саккери ABCD стороны AD и BC (также называемые катетами) равны по длине и также перпендикулярны основанию AB. Верхний CD - это вершина или верхнее основание, а углы в C и D называются вершинами.

Преимущество использования четырехугольников Саккери при рассмотрении параллельный постулат в том, что они очень четко описывают взаимоисключающие варианты:

Углы вершины прямые, тупые или острые?

Как выясняется из:

• когда углы вершины прямые, существование этого четырехугольника эквивалентно утверждению, сформулированному в пятом постулате Евклида.
• Когда углы вершины острые, этот четырехугольник ведет к гиперболическая геометрия, и
• когда вершины тупые, четырехугольник ведет к эллиптический или же сферическая геометрия (при условии, что в постулаты^[2]).

Сам Саккери, однако, считал, что как тупые, так и острые случаи могут быть показаны как противоречивый. Он действительно показал, что тупой случай противоречив, но не смог должным образом рассмотреть острый случай.^[3]

История

Четырехугольники Саккери впервые были рассмотрены Омар Хайям (1048-1131) в конце 11 века в книге I Объяснение трудностей постулатов Евклида.^[1] В отличие от многих комментаторов Евклида до и после него (включая, конечно, Саккери), Хайям не пытался доказать параллельный постулат как таковой, но чтобы вывести его из эквивалентного постулата, он сформулировал его из «принципов Философа» (Аристотель ):

Две сходящиеся прямые линии пересекаются, и две сходящиеся прямые линии не могут расходиться в направлении, в котором они сходятся.^[4]

Затем Хайям рассмотрел три случая правильных, тупых и острых, которые могут принимать вершины четырехугольника Саккери, и после доказательства ряда теорем о них, он (правильно) опроверг эти тупые и острые случаи на основе своего постулата и, следовательно, вывел классический постулат Евклида.

Только 600 лет спустя Джордано Витале сделал успех Хайяму в своей книге Евклид реституо (1680, 1686), когда он использовал четырехугольник, чтобы доказать, что если три точки равноудалены на основании AB и вершине CD, то AB и CD везде равноудалены.

Саккери Сам он основывал все свое длинное и в конечном итоге ошибочное доказательство постулата параллельности вокруг четырехугольника и его трех случаев, доказывая множество теорем о его свойствах.

Четырехугольники Саккери в гиперболической геометрии

Позволять ABCD быть четырехугольником Саккери, имеющим AB в качестве основание, CD в качестве саммит и CA и БД равными сторонами, перпендикулярными основанию. Следующие свойства действительны в любом четырехугольнике Саккери в гиперболическая геометрия:^[5]

• В углы вершины (углы при C и D) равны и остры.
• В саммит длиннее, чем основание.
• Два четырехугольника Саккери равны, если:
  • базовые сегменты и вершинные углы совпадают
  • сегменты вершины и углы вершины совпадают.
• Отрезок линии, соединяющий середину основания и середину вершины:
  • Перпендикулярно основанию и вершине,
  • единственный линия симметрии четырехугольника,
  • - самый короткий отрезок, соединяющий базу и вершину,
  • перпендикулярна линии, соединяющей середины сторон,
  • делит четырехугольник Саккери на два Четырехугольники Ламберта.
• Отрезок линии, соединяющий середины сторон, не перпендикулярен ни одной из сторон.

Уравнения

В гиперболической плоскости постоянной кривизна ${\displaystyle -1}$, саммит ${\displaystyle s}$ четырехугольника Саккери можно рассчитать из ноги ${\displaystyle l}$ и база ${\displaystyle b}$ используя формулу

${\displaystyle \cosh s=(\cosh b-1)\cosh ^{2}l+1=\cosh b\cdot \cosh ^{2}l-\sinh ^{2}l}$^[6]

${\displaystyle \sinh \left({\frac {s}{2}}\right)=\cosh \left(l\right)\sinh \left({\frac {b}{2}}\right)}$^[7]

Тайлинги в модели диска Пуанкаре

Плитки Модель диска Пуанкаре гиперболической плоскости существуют четырехугольники Саккери в виде фундаментальные области. Помимо двух прямых углов, у этих четырехугольников есть острые вершины. Тайлинги обладают симметрией a * nn22 (орбифолдная запись ) и включают:

* 3322 симметрия

* ∞∞22 симметрия

Смотрите также

• Четырехугольник Ламберта

Примечания

1. Борис Абрамович Розенфельд (1988). История неевклидовой геометрии: эволюция концепции геометрического пространства (Перевод под ред. Эйба Шеницера). Springer. п. 65. ISBN  0-387-96458-4.
2. Кокстер 1998, стр. 11
3. Faber 1983, стр. 145
4. Борис Розенфельд и Адольф Ющкевич (1996), Геометрия, стр. 467 в Рошди Рашед, Регис Морелон (1996), Энциклопедия истории арабской науки, Рутледж, ISBN  0-415-12411-5.
5. Faber 1983, стр. 146 - 147
6. П. Бузер и Х. Керхер. Почти плоские многообразия Громова. Звездочка 81 (1981), стр. 104.
7. Гринберг, Марвин Джей (2003). Евклидовы и неевклидовы геометрии: развитие и история (3-е изд.). Нью-Йорк: Фриман. п. 411. ISBN  9780716724469.

Рекомендации

• Кокстер, H.S.M. (1998), Неевклидова геометрия (6-е изд.), Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN  0-88385-522-4
• Фабер, Ричард Л. (1983), Основы евклидовой и неевклидовой геометрии, Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN  0-8247-1748-1
• М. Дж. Гринберг, Евклидова и неевклидова геометрии: развитие и история, 4-е издание, W. H. Freeman, 2008.
• Джордж Э. Мартин, Основы геометрии и неевклидовой плоскости, Springer-Verlag, 1975 г.