Тангенциальный четырехугольник - Tangential quadrilateral

Тангенциальный четырехугольник с вписанной окружностью

В Евклидова геометрия, а тангенциальный четырехугольник (иногда просто касательный четырехугольник) или же описанный четырехугольник это выпуклый четырехугольник чьи стороны все могут быть касательная к одному круг внутри четырехугольника. Этот круг называется окружать четырехугольника или вписанной в него окружности, его центром является стимулятор а его радиус называется inradius. Поскольку эти четырехугольники можно нарисовать, окружая или описывая их вписанные окружности, их также называют описываемые четырехугольники, описывающие четырехугольники, и описываемые четырехугольники.^[1] Касательные четырехугольники - частный случай касательные многоугольники.

Другие, менее часто используемые названия этого класса четырехугольников: непознаваемый четырехугольник, незаписанный четырехугольник, вписываемый четырехугольник, околциклический четырехугольник, и социклический четырехугольник.^[1][2] Из-за риска перепутать с четырехугольником, имеющим описанную окружность, который называется циклический четырехугольник или вписанный четырехугольник, предпочтительно не использовать ни одно из последних пяти имен.^[1]

Все треугольники может иметь вписанную окружность, но не все четырехугольники. Примером четырехугольника, который не может быть касательным, является неквадратный прямоугольник. Секция характеристики ниже указано, что необходимые и достаточные условия четырехугольник должен удовлетворять, чтобы иметь возможность вписать окружность.

Особые случаи

Примеры касательных четырехугольников: воздушные змеи, которые включают ромбовидные, которые, в свою очередь, включают квадраты. Воздушные змеи - это в точности тангенциальные четырехугольники, которые также ортодиагональный.^[3] А правый змей змей с описанный круг. Если четырехугольник одновременно и касательный, и циклический, это называется двухцентровый четырехугольник, и если он одновременно тангенциальный и трапеция, это называется тангенциальная трапеция.

Характеристики

В тангенциальном четырехугольнике четыре биссектриса угла встречаются в центре вписанного круга. И наоборот, выпуклый четырехугольник, в котором четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, должен быть касательным, а общая точка - центром.^[4]

Согласно Теорема Пито, две пары противоположных сторон тангенциального четырехугольника в сумме составляют одну и ту же общую длину, которая равна полупериметр s четырехугольника:

${displaystyle a+c=b+d={frac {a+b+c+d}{2}}=s.}$

Обратно выпуклый четырехугольник, в котором а + c = б + d должно быть касательным.^{[1]:стр.65[4]}

Если противоположные стороны в выпуклом четырехугольнике ABCD (это не трапеция ) пересекаются в E и F, то тангенциально если и только если любой из^[4]

${displaystyle displaystyle BE+BF=DE+DF}$

или же

${displaystyle displaystyle AE-EC=AF-FC.}$

Второе из них почти такое же, как одно из равенств в Теорема Уркарта. Единственное отличие - знаки с обеих сторон; в теореме Уркарта есть суммы, а не разности.

Еще одно необходимое и достаточное условие - выпуклый четырехугольник ABCD является касательным тогда и только тогда, когда вписанные окружности в два треугольника ABC и АЦП находятся касательная друг другу.^{[1]:стр.66}

Характеристика углов, образованных диагональю BD и четыре стороны четырехугольника ABCD принадлежит Иосифеску. В 1954 году он доказал, что выпуклый четырехугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда^[5]

${displaystyle an {frac {angle ABD}{2}}cdot an {frac {angle BDC}{2}}= an {frac {angle ADB}{2}}cdot an {frac {angle DBC}{2}}.}$

Далее выпуклый четырехугольник с последовательными сторонами а, б, c, d является касательным тогда и только тогда, когда

${displaystyle R_{a}R_{c}=R_{b}R_{d}}$

куда р_а, р_б, р_c, р_d радиусы окружностей, касательные снаружи к сторонам а, б, c, d соответственно и продолжения двух смежных сторон для каждой стороны.^{[6]:стр.72}

Несколько больше характеристик известны в четырех подтреугольниках, образованных диагоналями.

Специальные линейные сегменты

Длины касательной и хорды касательной

Восемь касательные длины (е, ж, грамм, час на рисунке справа) касательного четырехугольника - это отрезки прямых из вершина к точкам касания вписанной окружности к сторонам. Из каждой вершины по два конгруэнтный касательные длины.

Два касательные аккорды (k и л на рисунке) касательного четырехугольника - это отрезки прямых, соединяющие точки на противоположных сторонах, где вписанная окружность касается этих сторон. Это также диагонали из контактный четырехугольник.

Площадь

Нетригонометрические формулы

В площадь K касательного четырехугольника задается формулой

${displaystyle displaystyle K=rcdot s,}$

куда s это полупериметр и р это inradius. Другая формула^[7]

${displaystyle displaystyle K={ frac {1}{2}}{sqrt {p^{2}q^{2}-(ac-bd)^{2}}}}$

что дает площадь по диагоналям п, q и стороны а, б, c, d касательного четырехугольника.

Площадь также можно выразить четырьмя касательные длины. Если это е, ж, грамм, час, то касательный четырехугольник имеет площадь^[3]

${displaystyle displaystyle K={sqrt {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}}.}$

Кроме того, площадь тангенциального четырехугольника можно выразить через стороны а, б, в, г и последовательные длины касательной e, f, g, h в качестве^{[3]:стр.128}

${displaystyle K={sqrt {abcd-(eg-fh)^{2}}}.}$

С например = fh тогда и только тогда, когда касательный четырехугольник также является вписанным и, следовательно, бицентрическим,^[8] это показывает, что максимальная площадь ${displaystyle {sqrt {abcd}}}$ возникает тогда и только тогда, когда касательный четырехугольник бицентрический.

Тригонометрические формулы

А тригонометрический формула для площади по сторонам а, б, c, d и два противоположных угла^{[7][9][10][11]}

${displaystyle displaystyle K={sqrt {abcd}}sin {frac {A+C}{2}}={sqrt {abcd}}sin {frac {B+D}{2}}.}$

Для данной длины стороны площадь равна максимум когда четырехугольник также циклический и, следовательно, двухцентровый четырехугольник. потом ${displaystyle K={sqrt {abcd}}}$ поскольку противоположные углы дополнительные углы. Это можно доказать другим способом, используя исчисление.^[12]

Другая формула для площади касательного четырехугольника ABCD который включает два противоположных угла,^{[10]:стр.19}

${displaystyle K=left(IAcdot IC+IBcdot IDight)sin {frac {A+C}{2}}}$

куда я это стимулятор.

Фактически, площадь может быть выражена двумя соседними сторонами и двумя противоположными углами как^[7]

${displaystyle K=absin {frac {B}{2}}csc {frac {D}{2}}sin {frac {B+D}{2}}.}$

Еще одна формула площади:^[7]

${displaystyle K={ frac {1}{2}}|(ac-bd) an { heta }|,}$

куда θ - это любой из углов между диагоналями. Эту формулу нельзя использовать, если тангенциальный четырехугольник является воздушным змеем, поскольку тогда θ составляет 90 °, а касательная функция не определена.

Неравенства

Как косвенно отмечено выше, площадь тангенциального четырехугольника со сторонами а, б, c, d удовлетворяет

${displaystyle Kleq {sqrt {abcd}}}$

с равенством тогда и только тогда, когда это двухцентровый четырехугольник.

По данным Т.А.Ивановой (1976 г.), полупериметр s касательного четырехугольника удовлетворяет

${displaystyle sgeq 4r}$

куда р это внутренний радиус. Равенство существует тогда и только тогда, когда четырехугольник квадрат.^[13] Это означает, что для области K = RS, Здесь неравенство

${displaystyle Kgeq 4r^{2}}$

с равенством тогда и только тогда, когда касательный четырехугольник является квадратом.

Свойства раздела

Тангенциальный четырехугольник с внутренним радиусом р

Четыре отрезка прямых между центром вписанной окружности и точками касательной к четырехугольнику делят четырехугольник на четыре части. правильные воздушные змеи.

Если прямая разрезает тангенциальный четырехугольник на два полигоны с равным области и равный периметры, то эта линия проходит через стимулятор.^[4]

Inradius

Внутренний радиус тангенциального четырехугольника с последовательными сторонами а, б, c, d дан кем-то^[7]

${displaystyle r={frac {K}{s}}={frac {K}{a+c}}={frac {K}{b+d}}}$

куда K площадь четырехугольника и s его полупериметр. Для тангенциального четырехугольника с заданными сторонами внутренний радиус равен максимум когда четырехугольник также циклический (и, следовательно, двухцентровый четырехугольник ).

Что касается касательные длины, вписанная окружность имеет радиус^{[8]:Лемма 2.[14]}

${displaystyle displaystyle r={sqrt {frac {efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}}.}$

Inradius также может быть выражен через расстояния от центра. я к вершинам касательного четырехугольника ABCD. Если u = AI, v = BI, x = CI и у = DI, тогда

${displaystyle r=2{sqrt {frac {(sigma -uvx)(sigma -vxy)(sigma -xyu)(sigma -yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}}}$

куда ${displaystyle sigma ={ frac {1}{2}}(uvx+vxy+xyu+yuv)}$.^[15]

Если вписаны в треугольники ABC, BCD, CDA, DAB иметь радиусы ${displaystyle r_{1},r_{2},r_{3},r_{4}}$ соответственно, то внутренний радиус касательного четырехугольника ABCD дан кем-то

${displaystyle r={frac {G+{sqrt {G^{2}-4r_{1}r_{2}r_{3}r_{4}(r_{1}r_{3}+r_{2}r_{4})}}}{2(r_{1}r_{3}+r_{2}r_{4})}}}$

куда ${displaystyle G=r_{1}r_{2}r_{3}+r_{2}r_{3}r_{4}+r_{3}r_{4}r_{1}+r_{4}r_{1}r_{2}}$.^[16]

Формулы углов

Если е, ж, грамм и час являются касательные длины из вершин А, B, C и D соответственно точкам, в которых вписанная окружность касается сторон касательного четырехугольника ABCD, то углы четырехугольника можно вычислить из^[3]

${displaystyle sin {frac {A}{2}}={sqrt {frac {efg+fgh+ghe+hef}{(e+f)(e+g)(e+h)}}},}$

${displaystyle sin {frac {B}{2}}={sqrt {frac {efg+fgh+ghe+hef}{(f+e)(f+g)(f+h)}}},}$

${displaystyle sin {frac {C}{2}}={sqrt {frac {efg+fgh+ghe+hef}{(g+e)(g+f)(g+h)}}},}$

${displaystyle sin {frac {D}{2}}={sqrt {frac {efg+fgh+ghe+hef}{(h+e)(h+f)(h+g)}}}.}$

Угол между касательные аккорды k и л дан кем-то^[3]

${displaystyle sin {varphi }={sqrt {frac {(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}{(e+f)(f+g)(g+h)(h+e)}}}.}$

Диагонали

Если е, ж, грамм и час являются касательные длины из А, B, C и D соответственно точкам, в которых вписанная окружность касается сторон касательного четырехугольника ABCD, то длины диагоналей p = AC и q = BD находятся^{[8]:Лемма 3.}

${displaystyle displaystyle p={sqrt {{frac {e+g}{f+h}}{Big (}(e+g)(f+h)+4fh{Big )}}},}$

${displaystyle displaystyle q={sqrt {{frac {f+h}{e+g}}{Big (}(e+g)(f+h)+4eg{Big )}}}.}$

Аккорды касательности

Если е, ж, грамм и час являются касательные длины тангенциального четырехугольника, то длины касательные аккорды находятся^[3]

${displaystyle displaystyle k={frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{sqrt {(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}}},}$

${displaystyle displaystyle l={frac {2(efg+fgh+ghe+hef)}{sqrt {(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}}}$

где хорда касания длины k соединяет стороны длин а = е + ж и c = грамм + час, а длина л соединяет стороны длин б = ж + грамм и d = час + е. Квадрат отношения хорд касания удовлетворяет^[3]

${displaystyle {frac {k^{2}}{l^{2}}}={frac {bd}{ac}}.}$

Два аккорда касания

• находятся перпендикуляр тогда и только тогда, когда касательный четырехугольник также имеет описанный круг (это бицентрический ).^{[3]:стр.124}
• имеют равную длину тогда и только тогда, когда касательный четырехугольник летающий змей.^{[17]:стр.166}

Хорда касания между сторонами AB и CD в касательном четырехугольнике ABCD длиннее, чем между сторонами до н.э и DA если и только если бимедиан между сторонами AB и CD короче, чем между сторонами до н.э и DA.^{[18]:стр.162}

Если тангенциальный четырехугольник ABCD имеет точки касания W на AB и Y на CD, а если аккорд касания WY пересекает диагональ BD в M, то отношение длин касательных ${displaystyle { frac {BW}{DY}}}$ равен отношению ${displaystyle { frac {BM}{DM}}}$ отрезков диагонали BD.^[19]

Коллинеарные точки

Если M₁ и M₂ являются средние точки диагоналей AC и BD соответственно в касательном четырехугольнике ABCD с курком я, и если пары противоположных сторон встречаются в J и K с M₃ быть серединой JK, то точки M₃, M₁, я, и M₂ находятся коллинеарен.^{[4]:стр.42} Строка, содержащая их, - это Линия Ньютона четырехугольника.

Если продолжения противоположных сторон касательного четырехугольника пересекаются в точках J и K, а продолжения противоположных сторон в его контактном четырехугольнике пересекаются в точках L и M, то четыре точки J, L, K и M коллинеарны.^{[20]:Кор.3}

Если вписанная окружность касается сторон AB, до н.э, CD, DA в Т₁, Т₂, Т₃, Т₄ соответственно, а если N₁, N₂, N₃, N₄ являются изотомические конъюгаты этих точек относительно соответствующих сторон (т. е. В₁ = BN₁ и так далее), то Точка Нагеля касательного четырехугольника определяется как пересечение прямых N₁N₃ и N₂N₄. Обе эти строки делят периметр четырехугольника на две равные части. Что еще более важно, точка Нагеля N, то "центроид площади" грамм, и стимулятор я коллинеарны в этом порядке, и NG = 2GI. Эта линия называется Линия Нагеля касательного четырехугольника.^[21]

В касательном четырехугольнике ABCD с курком я и где диагонали пересекаются в п, позволять ЧАС_Икс, ЧАС_Y, ЧАС_Z, ЧАС_W быть ортоцентры треугольников AIB, BIC, CID, DIA. Тогда точки п, ЧАС_Икс, ЧАС_Y, ЧАС_Z, ЧАС_W коллинеарны.^{[10]:стр.28}

Параллельные и перпендикулярные линии

Две диагонали и две хорды касания одновременный.^{[11][10]:стр.11} Один из способов увидеть это как предельный случай Теорема Брианшона, который утверждает, что шестиугольник, все стороны которого касаются одного коническая секция имеет три диагонали, которые пересекаются в одной точке. Из тангенциального четырехугольника можно образовать шестиугольник с двумя углами 180 °, поместив две новые вершины в две противоположные точки касания; все шесть сторон этого шестиугольника лежат на прямых, касающихся вписанной окружности, поэтому его диагонали пересекаются в одной точке. Но две из этих диагоналей совпадают с диагоналями касательного четырехугольника, а третья диагональ шестиугольника - это линия, проходящая через две противоположные точки касания. Повторение того же аргумента с двумя другими точками касания завершает доказательство результата.

Если продолжения противоположных сторон касательного четырехугольника пересекаются в точках J и K, а диагонали пересекаются в п, тогда JK перпендикулярно продолжению IP куда я это стимулятор.^{[20]:Кор.4}

Incenter

Центр тангенциального четырехугольника лежит на его Линия Ньютона (который соединяет середины диагоналей).^{[22]:Thm. 3}

Отношение двух противоположных сторон в тангенциальном четырехугольнике можно выразить через расстояния между центрами. я а вершины согласно^{[10]:стр.15}

${displaystyle {frac {AB}{CD}}={frac {IAcdot IB}{ICcdot ID}},quad quad {frac {BC}{DA}}={frac {IBcdot IC}{IDcdot IA}}.}$

Произведение двух смежных сторон в касательный четырехугольник ABCD с курком я удовлетворяет^[23]

${displaystyle ABcdot BC=IB^{2}+{frac {IAcdot IBcdot IC}{ID}}.}$

Если я центр тангенциального четырехугольника ABCD, тогда^{[10]:стр.16}

${displaystyle IAcdot IC+IBcdot ID={sqrt {ABcdot BCcdot CDcdot DA}}.}$

Стимулятор я в касательном четырехугольнике ABCD совпадает с "центроид вершины" четырехугольника если и только если^{[10]:стр.22}

${displaystyle IAcdot IC=IBcdot ID.}$

Если M_п и M_q являются средние точки диагоналей AC и BD соответственно в касательном четырехугольнике ABCD с курком я, тогда ^{[10]:стр.19[24]}

${displaystyle {frac {IM_{p}}{IM_{q}}}={frac {IAcdot IC}{IBcdot ID}}={frac {e+g}{f+h}}}$

куда е, ж, грамм и час касательные длины в А, B, C и D соответственно. Объединяя первое равенство с предыдущим свойством, «центр тяжести вершины» касательного четырехугольника совпадает с центром в том и только том случае, если центр является средней точкой отрезка прямой, соединяющего середины диагоналей.

Если четырехзвенная навеска выполнен в форме тангенциального четырехугольника, то он останется касательным независимо от того, как изгибается рычажный механизм, при условии, что четырехугольник останется выпуклым.^[25][26] (Так, например, если квадрат деформируется в ромб, он остается касательным, хотя и к меньшей вписанной окружности). Если одна сторона удерживается в фиксированном положении, тогда, когда четырехугольник изгибается, центр центра образует круг радиуса ${displaystyle {sqrt {abcd}}/s}$ куда а, б, в, г стороны в порядке и s - полупериметр.

Характеристики в четырех подтреугольниках

Характеристика Чао и Симеонова в терминах радиусов окружностей внутри каждого из четырех треугольников

В неперекрывающихся треугольниках APB, BPC, CPD, DPA образованный диагоналями в выпуклом четырехугольнике ABCD, где диагонали пересекаются в п, существуют следующие характеристики касательных четырехугольников.

Позволять р₁, р₂, р₃, и р₄ обозначим радиусы вписанных окружностей в четырех треугольниках APB, BPC, CPD, и DPA соответственно. Чао и Симеонов доказали, что четырехугольник касательный. если и только если^[27]

${displaystyle {frac {1}{r_{1}}}+{frac {1}{r_{3}}}={frac {1}{r_{2}}}+{frac {1}{r_{4}}}.}$

Эта характеристика была доказана пятью годами ранее Вайнштейном.^{[17]:стр.169[28]}Аналогичную характеристику при решении его проблемы дали Васильев и Сендеров. Если час₁, час₂, час₃, и час₄ обозначить высоты в тех же четырех треугольниках (от диагонального пересечения до сторон четырехугольника), то четырехугольник является касательным тогда и только тогда, когда^[5][28]

${displaystyle {frac {1}{h_{1}}}+{frac {1}{h_{3}}}={frac {1}{h_{2}}}+{frac {1}{h_{4}}}.}$

Другая аналогичная характеристика касается Exradii р_а, р_б, р_c, и р_d в тех же четырех треугольниках (четыре вне окружности касаются одной стороны четырехугольника и продолжения его диагоналей). Четырехугольник является касательным тогда и только тогда, когда^{[1]:стр.70}

${displaystyle {frac {1}{r_{a}}}+{frac {1}{r_{c}}}={frac {1}{r_{b}}}+{frac {1}{r_{d}}}.}$

Если р₁, р₂, р₃, и р₄ обозначим радиусы в окружности треугольников APB, BPC, CPD, и DPA соответственно, то четырехугольник ABCD является касательным тогда и только тогда, когда^{[29]:стр. 23–24}

${displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}.}$

В 1996 году Вайнштейн был, вероятно, первым, кто доказал еще одну красивую характеристику тангенциальных четырехугольников, которая позже появилась в нескольких журналах и на сайтах.^{[1]:стр. 72–73} Он гласит, что когда выпуклый четырехугольник разделен на четыре неперекрывающихся треугольника двумя диагоналями, то центры четырех треугольников совпадают, если и только если четырехугольник является касательным. Фактически, стимуляторы образуют ортодиагональный круговой четырехугольник.^{[1]:стр.74} Связанный результат состоит в том, что вписанные окружности могут быть заменены вневписанными окружностями тех же треугольников (касательными к сторонам четырехугольника и продолжениям его диагоналей). Таким образом, выпуклый четырехугольник является касательным тогда и только тогда, когда эксцентры в этих четырех вне окружности являются вершинами циклический четырехугольник.^{[1]:п. 73}

Выпуклый четырехугольник ABCDс диагоналями, пересекающимися в п, является касательным тогда и только тогда, когда четыре эксцентра в треугольниках APB, BPC, CPD, и DPA напротив вершин B и D совпадают.^{[1]:п. 79} Если р_а, р_б, р_c, и р_d Экстрадиумы в треугольниках APB, BPC, CPD, и DPA соответственно напротив вершин B и D, то другое условие состоит в том, что четырехугольник касательный тогда и только тогда, когда^{[1]:п. 80}

${displaystyle {frac {1}{R_{a}}}+{frac {1}{R_{c}}}={frac {1}{R_{b}}}+{frac {1}{R_{d}}}.}$

Далее выпуклый четырехугольник ABCD с диагоналями, пересекающимися в п является касательным тогда и только тогда, когда^[5]

${displaystyle {frac {a}{ riangle (APB)}}+{frac {c}{ riangle (CPD)}}={frac {b}{ riangle (BPC)}}+{frac {d}{ riangle (DPA)}}}$

где ∆ (APB) - площадь треугольника APB.

Обозначим отрезки, которые диагональное пересечение п делит диагональ AC в как AP = п₁ и ПК = п₂, и аналогично п делит диагональ BD на сегменты BP = q₁ и PD = q₂. Тогда четырехугольник является касательным тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих равенств:^[30]

${displaystyle ap_{2}q_{2}+cp_{1}q_{1}=bp_{1}q_{2}+dp_{2}q_{1}}$

или же^{[1]:п. 74}

${displaystyle {frac {(p_{1}+q_{1}-a)(p_{2}+q_{2}-c)}{(p_{1}+q_{1}+a)(p_{2}+q_{2}+c)}}={frac {(p_{2}+q_{1}-b)(p_{1}+q_{2}-d)}{(p_{2}+q_{1}+b)(p_{1}+q_{2}+d)}}}$

или же^{[1]:п. 77}

${displaystyle {frac {(a+p_{1}-q_{1})(c+p_{2}-q_{2})}{(a-p_{1}+q_{1})(c-p_{2}+q_{2})}}={frac {(b+p_{2}-q_{1})(d+p_{1}-q_{2})}{(b-p_{2}+q_{1})(d-p_{1}+q_{2})}}.}$

Условия того, что касательный четырехугольник является другим типом четырехугольника

Ромб

Тангенциальный четырехугольник - это ромб тогда и только тогда, когда его противоположные углы равны.^[31]

летающий змей

Тангенциальный четырехугольник - это летающий змей тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:^[17]

• Площадь составляет половину произведения диагонали.
• Диагонали равны перпендикуляр.
• Два отрезка, соединяющие противоположные точки касания, имеют одинаковую длину.
• Одна пара противоположных касательные длины иметь одинаковую длину.
• В бимедианцы иметь одинаковую длину.
• Произведения противоположных сторон равны.
• Центр вписанной окружности лежит на диагонали, являющейся осью симметрии.

Бицентрический четырехугольник

Если вписанная окружность касается сторон AB, до н.э, CD, DA в W, Икс, Y, Z соответственно, то тангенциальный четырехугольник ABCD это также циклический (и поэтому бицентрический ) тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих условий:^{[2][3]:стр.124[20]}

• WY перпендикулярно XZ
• ${displaystyle AWcdot CY=BWcdot DY}$
• ${displaystyle {frac {AC}{BD}}={frac {AW+CY}{BX+DZ}}}$

Первый из этих трех означает, что контактный четырехугольник WXYZ является ортодиагональный четырехугольник.

Тангенциальный четырехугольник является бицентрическим тогда и только тогда, когда его радиус больше, чем у любого другого тангенциального четырехугольника, имеющего ту же последовательность длин сторон.^{[32]:стр.392–393}

Тангенциальная трапеция

Если вписанная окружность касается сторон AB и CD в W и Y соответственно, то тангенциальный четырехугольник ABCD также трапеция с параллельными сторонами AB и CD если и только если^{[33]:Thm. 2}

${displaystyle AWcdot DY=BWcdot CY}$

и ОБЪЯВЛЕНИЕ и до н.э являются параллельными сторонами трапеции тогда и только тогда, когда

${displaystyle AWcdot BW=CYcdot DY.}$

Смотрите также

• Описанный круг
• Экс касательный четырехугольник
• Тангенциальный треугольник

Рекомендации

1. Йозефссон, Мартин (2011), "Дополнительные характеристики касательных четырехугольников" (PDF), Форум Geometricorum, 11: 65–82.
2. Брайант, Виктор; Дункан, Джон (2010), «Колеса в колесах», Математический вестник, 94 (Ноябрь): 502–505.
3. Йозефссон, Мартин (2010), «Расчеты касательной длины и касательной хорды касательного четырехугольника» (PDF), Форум Geometricorum, 10: 119–130.
4. Андрееску, Титу; Энеску, Богдан (2006), Сокровища математической олимпиады, Birkhäuser, стр. 64–68..
5. Minculete, Никусор (2009), "Характеристики тангенциального четырехугольника" (PDF), Форум Геометрикорум, 9: 113–118.
6. Йозефссон, Мартин (2012), «Подобные метрические характеристики касательных и внебрачных четырехугольников» (PDF), Форум Geometricorum, 12: 63–77
7. Durell, C.V .; Робсон, А. (2003), Продвинутая тригонометрия, Dover reprint, pp. 28–30..
8. Хаджа, Mowaffaq (2008), «Условие того, что описываемый четырехугольник является вписанным» (PDF), Форум Geometricorum, 8: 103–106.
9. Siddons, A.W .; Хьюз, Р. (1929), Тригонометрия, Cambridge Univ. Нажмите, стр. 203.
10. Гринберг, Дарий, Повторно описанные четырехугольники, 2008
11. Ю, Пол, Евклидова геометрия, [1], 1998, стр. 156–157.
12. Хойт, Джон П. (1986), «Максимальное увеличение площади трапеции», Американский математический ежемесячный журнал, 93 (1): 54–56, Дои:10.2307/2322549.
13. Опубликовать на Искусство решения проблем, 2012
14. Хойт, Джон П. (1984), «Quickies, Q694», Математический журнал, 57 (4): 239, 242.
15. Йозефссон, Мартин (2010), «По внутреннему радиусу тангенциального четырехугольника» (PDF), Форум Geometricorum, 10: 27–34.
16. Богомольный Александр (2016), Связь Inradii в Неприметном четырехугольнике, Разрезать узел, [2].
17. Йозефссон, Мартин (2011), «Когда тангенциальный четырехугольник - это воздушный змей?» (PDF), Форум Geometricorum, 11: 165–174.
18. Йозефссон, Мартин (2011), «Площадь двухцентрового четырехугольника» (PDF), Форум Geometricorum, 11: 155–164.
19. Гутиеррес, Антонио, «Описанный четырехугольник, диагональ, хорда, пропорция», [3], Проверено 9 апреля 2012 г.
20. Йозефссон, Мартин (2010), «Характеризация бицентрических четырехугольников» (PDF), Форум Геометрикорум, 10: 165–173.
21. Мякишев, Алексей (2006), "О двух замечательных прямых, относящихся к четырехугольнику" (PDF), Форум Geometricorum, 6: 289–295.
22. Дергиадес, Николаос; Христодулу, Димитрис М. (2017), «Два центра произвольного выпуклого четырехугольника» (PDF), Форум Geometricorum, 17: 245–254.
23. "Ineq-G126 - Геометрия - очень красиво !!!!", Опубликовать на Искусство решения проблем, 2011, [4]
24. «Определить соотношение OM / ON», разместить на Искусство решения проблем, 2011
25. Бартон, Хелен (1926), «На круге, прикрепленном к складному четырехбалочному стержню», Американский математический ежемесячный журнал, 33 (9): 462–465, Дои:10.2307/2299611, JSTOR  2299611.
26. Богомольный, Александр, "Когда четырехугольник неописуем?", Интерактивная математика и головоломки, [5].
27. Чао, Ву Вэй; Симеонов, Пламен (2000), "Когда в четырехугольники вписаны окружности (решение задачи 10698)", Американский математический ежемесячный журнал, 107 (7): 657–658, Дои:10.2307/2589133.
28. Вайнштейн, И .; Васильев, Н .; Сендеров, В. (1995), "(Решение задачи) M1495", Квант (6): 27–28.
29. Йозефссон, Мартин (2012), "Характеристики ортодиагональных четырехугольников" (PDF), Форум Geometricorum, 12: 13–25.
30. Хоэн, Ларри (2011), «Новая формула диагоналей и сторон четырехугольника» (PDF), Форум Геометрикорум, 11: 211–212.
31. Де Вильерс, Майкл (2011), «Равносторонние циклические и равносторонние описанные многоугольники», Математический вестник, 95 (Март): 102–107.
32. Гесс, Альбрехт (2014), «На окружности, содержащей центры касательных четырехугольников» (PDF), Форум Geometricorum, 14: 389–396.
33. Йозефссон, Мартин (2014), "Новый взгляд на диагональный треугольник" (PDF), Форум Геометрикорум, 14: 381–385.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В., «Тангенциальный четырехугольник», MathWorld