Коллинеарность - Collinearity

В геометрия, коллинеарность множества точек - это свойство их лежать на одном линия.^[1] Набор точек с этим свойством называется коллинеарен (иногда пишется как коллинеарный^[2]). В более общем смысле этот термин использовался для выровненных объектов, то есть вещей, находящихся «в линию» или «в ряд».

Очки на линии

В любой геометрии множество точек на прямой называется коллинеарен. В Евклидова геометрия это отношение интуитивно визуализируется точками, лежащими в ряд на «прямой линии». Однако в большинстве геометрий (включая евклидову) a линия обычно примитивный (неопределенный) тип объекта, поэтому такие визуализации не обязательно подойдут. А модель поскольку геометрия предлагает интерпретацию того, как точки, линии и другие типы объектов связаны друг с другом, и такое понятие, как коллинеарность, должно интерпретироваться в контексте этой модели. Например, в сферическая геометрия, где прямые представлены в стандартной модели большими окружностями сферы, а наборы коллинеарных точек лежат на одной большой окружности. Такие точки не лежат на «прямой линии» в евклидовом смысле и не считаются в ряд.

Отображение геометрии на себя, которое переводит линии в линии, называется коллинеация; он сохраняет свойство коллинеарности. В линейные карты (или линейные функции) из векторные пространства, рассматриваемые как геометрические карты, преобразовать линии в линии; то есть они сопоставляют наборы коллинеарных точек с наборами коллинеарных точек и, таким образом, являются коллинеатами. В проективная геометрия эти линейные отображения называются омографии и являются лишь одним из типов коллинеации.

Примеры в евклидовой геометрии

Треугольники

В любом треугольнике коллинеарны следующие множества точек:

В ортоцентр, то центр окружности, то центроид, то Эксетер пойнт, то de Longchamps Point, а центр круг из девяти точек коллинеарны, все они попадают на линию, называемую Линия Эйлера.
У точки де Лоншам также есть другие коллинеарности.
Любая вершина, касание противоположной стороны с внеокружность, а Точка Нагеля коллинеарны в линии, называемой разветвитель треугольника.
Середина любой стороны, точка, которая равноудалена от нее вдоль границы треугольника в любом направлении (так что эти две точки разрезать периметр пополам ), а центр круга Шпикера коллинеарны в линии, называемой тесак треугольника. (The Круг Шпикера это окружать из средний треугольник, и его центр это центр массы из периметр треугольника.)
Любая вершина, касание противоположной стороны с вписанной окружностью и Точка Жергонна коллинеарны.
С любой точки описанный круг треугольника, ближайшие точки на каждой из трех вытянутых сторон треугольника коллинеарны в Линия Симсона точки на описанной окружности.
Линии, соединяющие ножки высоты пересекают противоположные стороны в коллинеарных точках.^[3]^:стр.199
Треугольник стимулятор, середина высота, а точка контакта соответствующей стороны с внеокружность относительно этой стороны коллинеарны.^[4]^{:стр.120, # 78}
Теорема Менелая заявляет, что три пункта ${ Displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}}$ по бокам (некоторые расширенный ) треугольника против вершин ${ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}}$ соответственно коллинеарны тогда и только тогда, когда следующие произведения длин сегментов равны:^[3]^{:п. 147}

{ Displaystyle P_ {1} A_ {2} cdot P_ {2} A_ {3} cdot P_ {3} A_ {1} = P_ {1} A_ {3} cdot P_ {2} A_ {1} cdot P_ {3} A_ {2}.}

Инцентр, центроид и центр круга Шпикера коллинеарны.
Центр окружности, Средняя точка Брокара, а Точка Лемуана треугольника коллинеарны.^[5]
Два перпендикулярные линии пересекаются на ортоцентр треугольника каждый пересекает каждый из треугольников расширенные стороны. Середины по трем сторонам этих точек пересечения коллинеарны в Линия Дроз – Фарный.

Четырехугольники

В выпуклом четырехугольник ABCD чьи противоположные стороны пересекаются в E и F, то средние точки из AC, BD, и EF коллинеарны, и линия, проходящая через них, называется Линия Ньютона (иногда известный как Линия Ньютона-Гаусса^{[нужна цитата ]}). Если четырехугольник тангенциальный четырехугольник, то на этой линии лежит и его инцентр.^[6]
В выпуклом четырехугольнике квазиортоцентр ЧАС, "центроид площади" грамм, а квазиокружный центр О коллинеарны в этом порядке, и HG = 2ИДТИ.^[7] (Видеть Четырехугольник # Замечательные точки и прямые в выпуклом четырехугольнике.)

Другие коллинеарности тангенциальный четырехугольник даны в Тангенциальный четырехугольник # Коллинеарные точки.
В циклический четырехугольник, то центр окружности, то центроид вершины (пересечение двух бимедианов), а антицентр коллинеарны.^[8]
В круговом четырехугольнике центр тяжести площади, центр тяжести вершины и пересечение диагоналей лежат на одной прямой.^[9]
В тангенциальная трапеция, касания окружать с двумя основаниями коллинеарны центру.
В тангенциальной трапеции середины ножек коллинеарны центру.

Шестиугольники

Теорема Паскаля (также известная как теорема Hexagrammum Mysticum) утверждает, что если произвольные шесть точек выбраны на коническая секция (т.е. эллипс, парабола или же гипербола ) и соединены отрезками в любом порядке, чтобы сформировать шестиугольник, то три пары противоположных сторон шестиугольника (при необходимости удлиненные) встречаются в трех точках, лежащих на прямой линии, называемой линией Паскаля шестиугольника. Верно и обратное: Теорема Брейкенриджа – Маклорена утверждает, что если три точки пересечения трех пар прямых, проходящих через противоположные стороны шестиугольника, лежат на одной прямой, то шесть вершин шестиугольника лежат на конике, которая может быть вырожденной, как в Теорема Паппа о шестиугольнике.

Конические секции

К Теорема Монжа, для любых трех круги в плоскости, ни одна из которых не находится полностью внутри одной из других, три точки пересечения трех пар прямых, каждая из которых касается двух окружностей, коллинеарны.
В эллипс, центр, два фокусы, а два вершины с самым маленьким радиус кривизны коллинеарны, а центр и две вершины с наибольшим радиусом кривизны коллинеарны.
В гипербола, центр, два фокуса и две вершины лежат на одной прямой.

Шишки

В центр массы из коническое тело равномерной плотности лежит на одной четверти пути от центра основания до вершины на прямой, соединяющей их.

Тетраэдры

Центроид тетраэдра - это середина между его Точка Монжа и центр окружности. Эти точки определяют Линия Эйлера тетраэдра, аналогичного Линия Эйлера треугольника. Центр сфера из двенадцати точек тетраэдра также лежит на прямой Эйлера.

Алгебра

Коллинеарность точек, координаты которых заданы

В координатная геометрия, в п-мерном пространстве, набор из трех или более различных точек коллинеарен тогда и только тогда, когда матрица координат этих векторов имеет вид классифицировать 1 или меньше. Например, учитывая три балла Икс = (Икс₁, Икс₂, ... , Икс_п), Y = (y₁, y₂, ... , y_п), и Z = (z₁, z₂, ... , z_п), если матрица

{ displaystyle { begin {bmatrix} x_ {1} & x_ {2} & dots & x_ {n} y_ {1} & y_ {2} & dots & y_ {n} z_ {1} & z_ {2 } & точки & z_ {n} end {bmatrix}}}

имеет классифицировать 1 или меньше, точки лежат на одной прямой.

Эквивалентно для каждого подмножества из трех точек Икс = (Икс₁, Икс₂, ... , Икс_п), Y = (y₁, y₂, ... , y_п), и Z = (z₁, z₂, ... , z_п), если матрица

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & x_ {1} & x_ {2} & dots & x_ {n} 1 & y_ {1} & y_ {2} & dots & y_ {n} 1 & z_ {1} & z_ {2 } & точки & z_ {n} end {bmatrix}}}

имеет классифицировать 2 или меньше, точки лежат на одной прямой. В частности, для трех точек на плоскости (п = 2), указанная выше матрица является квадратной, а точки коллинеарны тогда и только тогда, когда ее детерминант равно нулю; так как этот определитель 3 × 3 плюс или минус в два раза больше площадь треугольника с этими тремя точками в качестве вершин, это эквивалентно утверждению, что три точки коллинеарны тогда и только тогда, когда треугольник с этими точками в качестве вершин имеет нулевую площадь.

Коллинеарность точек, попарные расстояния которых заданы

Набор не менее трех различных точек называется прямой, что означает, что все точки коллинеарны тогда и только тогда, когда для каждых трех из этих точек А, B, и C, следующий определитель Определитель Кэли-Менгера равен нулю (с d(AB) означает расстояние между А и B, так далее.):

{ displaystyle det { begin {bmatrix} 0 & d (AB) ^ {2} & d (AC) ^ {2} & 1 d (AB) ^ {2} & 0 & d (BC) ^ {2} & 1 d (AC) ^ {2} & d (BC) ^ {2} & 0 & 1 1 & 1 & 1 & 0 end {bmatrix}} = 0.}

Этот детерминант определяется Формула Герона, равная −16 квадрату площади треугольника со сторонами d(AB), d(до н.э), и d(AC); поэтому проверка того, равен ли этот определитель нулю, эквивалентна проверке, есть ли у треугольника с вершинами А, B, и C имеет нулевую площадь (поэтому вершины лежат на одной прямой).

Эквивалентно, набор по крайней мере из трех различных точек коллинеарен тогда и только тогда, когда для каждых трех из этих точек А, B, и C с d(AC) больше или равно каждому из d(AB) и d(до н.э), неравенство треугольника d(AC) ≤ d(AB) + d(до н.э) выполняется с равенством.

Теория чисел

Два числа м и п не совмещать - то есть у них есть общий множитель, отличный от 1 - тогда и только тогда, когда для прямоугольника, нанесенного на квадратная решетка с вершинами в (0, 0), (м, 0), (м, п) и (0,п) хотя бы одна внутренняя точка коллинеарна (0, 0) и (м, п).

Параллелизм (плоский двойной)

В различных плоская геометрия понятие смены ролей «точек» и «линий» при сохранении связи между ними называется плоская двойственность. Учитывая набор коллинеарных точек, по двойственности плоскости мы получаем набор прямых, все из которых пересекаются в общей точке. Свойство, которым обладает этот набор линий (встреча в общей точке), называется параллелизм, и линии называются параллельные линии. Таким образом, параллелизм - это плоское понятие, двойственное коллинеарности.

График коллинеарности

Учитывая частичная геометрия п, где две точки определяют не более одной линии, a график коллинеарности из п это график чьи вершины являются точками п, где две вершины соседний тогда и только тогда, когда они определяют строку в п.

Использование в статистике и эконометрике

В статистика, коллинеарность относится к линейным отношениям между двумя объясняющие переменные. Две переменные идеально коллинеарен если между ними существует точная линейная зависимость, значит, корреляция между ними равна 1 или -1. То есть, ${ displaystyle X_ {1}}$ и ${ displaystyle X_ {2}}$ идеально коллинеарны, если существуют параметры ${ displaystyle lambda _ {0}}$ и ${ displaystyle lambda _ {1}}$ так что, по всем наблюдениям я, у нас есть

{ displaystyle X_ {2i} = lambda _ {0} + lambda _ {1} X_ {1i}.}

Это означает, что если различные наблюдения (Икс_1я, Икс_2я ) нанесены в (Икс₁, Икс₂) плоскости эти точки коллинеарны в смысле, определенном ранее в этой статье.

Идеально мультиколлинеарность относится к ситуации, в которой k (k ≥ 2) объясняющие переменные в множественная регрессия модели идеально линейно связаны, согласно

{ displaystyle X_ {ki} = lambda _ {0} + lambda _ {1} X_ {1i} + lambda _ {2} X_ {2i} + dots + lambda _ {k-1} X_ { (k-1), i}}

для всех наблюдений я. На практике мы редко сталкиваемся с идеальной мультиколлинеарностью в наборе данных. Чаще проблема мультиколлинеарности возникает, когда существует «сильная линейная связь» между двумя или более независимыми переменными, что означает, что

{ displaystyle X_ {ki} = lambda _ {0} + lambda _ {1} X_ {1i} + lambda _ {2} X_ {2i} + dots + lambda _ {k-1} X_ { (k-1), i} + varepsilon _ {i}}

где дисперсия ${ Displaystyle varepsilon _ {я}}$ относительно невелик.

Концепция чего-либо боковая коллинеарность расширяет эту традиционную точку зрения и указывает на коллинеарность между объясняющими и критериальными (т. е. объясненными) переменными.^[10]

Использование в других областях

Антенные решетки

Антенная мачта с четырьмя коллинеарными решетками направленности.

В телекоммуникации, а коллинеарная (или коллинеарная) антенная решетка является множество из дипольные антенны установлены таким образом, чтобы соответствующие элементы каждого антенна параллельны и выровнены, то есть расположены вдоль общей линии или оси.

Фотография

В уравнения коллинеарности представляют собой систему двух уравнений, используемых в фотограмметрия и компьютерное стереозрение, чтобы связать координаты в изображении (датчик ) плоскости (в двух измерениях) до координат объекта (в трех измерениях). В условиях фотографии уравнения выводятся с учетом центральная проекция точки объект сквозь оптический центр из камера к изображению в плоскости изображения (сенсора). Три точки, точка объекта, точка изображения и оптический центр, всегда коллинеарны. Другими словами, сегменты линии, соединяющие точки объекта с их точками изображения, совпадают в оптическом центре.^[11]

Смотрите также

Примечания

^ Концепция применима в любой геометрии Дембовский (1968, стр. 26), но часто определяется только в рамках обсуждения конкретной геометрии. Кокстер (1969), стр. 178), Браннан, Эсплен и Грей (1998, стр.106)
^ Colinear (словарь Merriam-Webster)
^ ^а ^б Джонсон, Роджер А., Продвинутая евклидова геометрия, Dover Publ., 2007 (ориг. 1929 г.).
^ Альтшиллер-Корт, Натан. Колледж Геометрия, Dover Publications, 1980.
^ Скотт, Дж. А. "Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника", Математический вестник 83, ноябрь 1999 г., стр. 472–477.
^ Душан Джукич, Владимир Янкович, Иван Матич, Никола Петрович, Компендиум ИМО, Springer, 2006, стр. 15.
^ Мякишев, Алексей (2006), "О двух замечательных прямых, относящихся к четырехугольнику" (PDF), Форум Geometricorum, 6: 289–295.
^ Хонсбергер, Росс (1995), «4.2 Циклические четырехугольники», Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков, Новая математическая библиотека, 37, Cambridge University Press, стр. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
^ Брэдли, Кристофер (2011), Три центроида, образованные циклическим четырехугольником (PDF)
^ Kock, N .; Линн, Г. С. (2012). «Боковая коллинеарность и вводящие в заблуждение результаты в SEM на основе дисперсии: иллюстрация и рекомендации» (PDF). Журнал Ассоциации информационных систем. 13 (7): 546–580.
^ Математически более естественно называть эти уравнения как уравнения параллелизма, но в фотограмметрической литературе такая терминология не используется.