Двойственность (проективная геометрия) - Duality (projective geometry)

Общие понятия двойственности в математике см. Двойственность (математика).

В геометрия, яркая особенность проективные плоскости это симметрия ролей, сыгранных точки и линии в определениях и теоремах, а (самолет ) двойственность является формализацией этого понятия. Есть два подхода к теме двойственности, один через язык (§ Принцип двойственности ), а другой - более функциональный подход за счет специальных сопоставления. Они полностью эквивалентны, и любое лечение имеет в качестве отправной точки аксиоматический вариант рассматриваемой геометрии. В функциональном подходе существует карта между взаимосвязанными геометриями, которая называется двойственность. Такую карту можно построить разными способами. Концепция плоской двойственности легко распространяется на пространственную двойственность, а за ее пределы - на двойственность в любом конечномерном пространстве. проективная геометрия.

Принцип двойственности

А проективная плоскость C аксиоматически можно определить как структура заболеваемости, с точки зрения набора п из точки, множество L из линии, и отношение инцидентности я это определяет, какие точки лежат на каких линиях. Эти наборы можно использовать для определения плоская двойная структура.

Поменяйте местами «точки» и «линии» в

C = (п, L, Я)

получить двойная структура

C^∗ = (L, п, Я^∗),

куда я^∗ это обратное отношение из я. C^∗ также является проективной плоскостью, называемой двойная плоскость из C.

Если C и C^∗ изоморфны, то C называется самодвойственный. Проективные плоскости PG (2, K) для любого поля (или, в более общем смысле, для каждого делительное кольцо (тело) изоморфно своему двойственному) K самодвойственны. В частности, дезарговы плоскости конечного порядка всегда самодвойственны. Однако есть недезарговские планы которые не являются самодуальными, такие как плоскости Холла и некоторые из них, такие как Самолеты Хьюза.

В проективной плоскости утверждение, включающее точки, линии и угол падения между ними, которое получается из другого такого утверждения путем замены слов «точка» и «линия» и внесения любых необходимых грамматических корректировок, называется плоское двойное заявление из первых. Плоское двойственное утверждение «Две точки находятся на единственной прямой» - это «Две прямые пересекаются в единственной точке». Формирование плоскости, двойственной к утверждению, называется дуализация заявление.

Если утверждение верно в проективной плоскости C, то плоскость, двойственная к этому утверждению, должна быть истинной в дуальной плоскости C^∗. Это следует из того, что дуализируя каждое утверждение доказательства "в C"дает соответствующее изложение доказательства" в C^∗".

В принцип плоской двойственности говорит, что дуализируя любую теорему в самодуальной проективной плоскости C приводит к другой теореме, справедливой в C.^[1]

Вышеупомянутые концепции могут быть обобщены, чтобы говорить о двойственности пространства, где термины «точки» и «плоскости» меняются местами (а линии остаются линиями). Это приводит к принцип космической двойственности.^[1]

Эти принципы дают хороший повод для предпочтения использования «симметричного» термина для отношения инцидентности. Таким образом, вместо того, чтобы говорить «точка лежит на линии», следует сказать «точка инцидентна линии», поскольку дуализация последней включает только замену точки и линии местами («линия инцидентна точке»).^[2]

Справедливость принципа двойственности плоскости следует из аксиоматического определения проективной плоскости. Три аксиомы этого определения могут быть записаны так, что они являются самодуальными утверждениями, подразумевающими, что двойственное к проективной плоскости также является проективной плоскостью. Таким образом, дуальное к истинному утверждению в проективной плоскости является истинным утверждением в дуальной проективной плоскости, а импликация состоит в том, что для самодвойственных плоскостей дуальное к истинному утверждению в этой плоскости также является истинным утверждением в этой плоскости.^[3]

Двойственные теоремы

Поскольку реальная проективная плоскость, PG (2, р), самодуальна, существует ряд пар хорошо известных результатов, двойственных друг другу. Вот некоторые из них:

• Теорема дезарга ⇔ Обращение к теореме Дезарга
• Теорема Паскаля ⇔ Теорема Брианшона
• Теорема Менелая ⇔ Теорема Чевы

Двойные конфигурации

Двойные конфигурации

Не только утверждения, но и системы точек и линий могут быть дуализированы.

Набор м очки и п линии называется (м_c, п_d) конфигурация если c из п линии проходят через каждую точку и d из м точки лежат на каждой строке. Двойник (м_c, п_d) конфигурация, это (п_d, м_c) конфигурация. Таким образом, двойственное четырехугольнику a (4₃, 6₂) конфигурация четырех точек и шести прямых, представляет собой четырехугольник, a (6₂, 4₃) конфигурация шести точек и четырех линий.^[4]

Набор всех точек на линии, называемый проективный диапазон имеет в качестве двойного карандаш линий, набор всех линий на точке.

Двойственность как отображение

Плоские дуальности

А плоская двойственность это карта из проективная плоскость C = (п, L, Я) к его двойная плоскость C^∗ = (L, п, Я^∗) (видеть § Принцип двойственности выше), который сохраняет заболеваемость. То есть плоская двойственность σ отобразит точки в линии, а линии в точки (п^σ = L и L^σ = п) таким образом, что если точка Q на связи м (обозначается Q я м) тогда Q я м ⇔ м^σ я^∗Q^σ. Плоская двойственность, являющаяся изоморфизмом, называется корреляция.^[5] Наличие корреляции означает, что проективная плоскость C является самодвойственный.

Проективная плоскость C в этом определении не обязательно быть Дезарговский самолет. Однако, если это так, то есть C = PG (2, K) с K а делительное кольцо (тело), ​​то двойственность, как определено ниже для общих проективные пространства, дает плоскую двойственность на C что удовлетворяет приведенному выше определению.

В общих проективных пространствах

Дуальность δ из проективное пространство это перестановка подпространств PG (п, K) (также обозначается Kп^п) с K а поле (или, в более общем смысле, тело (делительное кольцо )), обращающий включение,^[6] то есть:

S ⊆ Т подразумевает S^δ ⊇ Т^δ для всех подпространств S, Т из PG (п, K).^[7]

Следовательно, двойственность меняет местами объекты измерения. р с объектами измерения п − 1 − р ( = коразмерность р + 1). То есть в проективном пространстве размерности п, точки (размерность 0) соответствуют гиперплоскости (коразмерность 1), прямые, соединяющие две точки (размерность 1), соответствуют пересечению двух гиперплоскостей (коразмерность 2) и т. д.

Классификация дуальностей

В этом разделе вместо алгебраических терминов используется традиционная геометрическая терминология «правые (левые) векторные пространства над телом».R-модули через делительное кольцо ".

В двойной V^∗ конечномерного (правого) векторного пространства V над телом K можно рассматривать как (правое) векторное пространство той же размерности над противоположное поле K^о. Таким образом, между проективными пространствами существует биекция, обращающая включение. PG (п, K) и PG (п, K^о). Если K и K^о изоморфны, то существует двойственность на PG (п, K). Наоборот, если PG (п, K) допускает двойственность для п > 1, тогда K и K^о изоморфны.

Позволять π быть двойственностью PG (п, K) за п > 1. Если π состоит из естественного изоморфизма между PG (п, K) и PG (п, K^о), сочинение θ это взаимно однозначное соответствие между PG (п, K) и PG (п, K^о). Посредством Основная теорема проективной геометрии θ индуцируется полулинейная карта Т: V → V^∗ с ассоциированным изоморфизмом σ: K → K^о, который можно рассматривать как антиавтоморфизм из K. В классической литературе π будет называться взаимность в общем, а если σ = id это будет называться корреляция (и K обязательно будет поле ). Некоторые авторы подавляют роль естественного изоморфизма и называют θ двойственность.^[8] Когда это будет сделано, двойственность может рассматриваться как коллинеация между парой специально связанных проективных пространств и называется взаимностью. Если эта коллинеация проективность тогда это называется корреляцией.

Позволять Т_ш = Т(ш) обозначить линейный функционал из V^∗ связанный с вектором ш в V. Определите форму φ: V × V → K к:

${\displaystyle \varphi (v,w)=T_{w}(v).}$

φ невырожденный полуторалинейная форма с компаньоном антиавтоморфизмом σ.

Любая двойственность PG (п, K) за п > 1 индуцируется невырожденной полуторалинейной формой на лежащем в основе векторном пространстве (с сопутствующим антиавтоморфизмом) и наоборот.

Однородная координатная формулировка

Однородные координаты может использоваться для алгебраического описания двойственности. Чтобы упростить обсуждение, предположим, что K это поле, но все можно сделать так же, когда K является телом, если уделять внимание тому факту, что умножение не обязательно коммутативный операция.

Пункты PG (п, K) в качестве ненулевых векторов в (п + 1) -мерный векторное пространство над K, где мы идентифицируем два вектора, которые отличаются скалярным множителем. Другими словами, точки п-мерное проективное пространство - это 1-мерный вектор подпространства, который можно представить в виде линий, проходящих через начало координат в K^п+1.^[9] Так же п- (векторные) размерные подпространства K^п+1 представляют (п − 1) - (геометрические) размерные гиперплоскости проективных п-пространство над K, т.е. PG (п, K).

Ненулевой вектор ты = (ты₀, ты₁, ..., ты_п) в K^п+1 также определяет (п − 1) - геометрическое размерное подпространство (гиперплоскость) ЧАС_ты, к

ЧАС_ты = {(Икс₀, Икс₁, ..., Икс_п) : ты₀Икс₀ + ... + ты_пИкс_п = 0}.

Когда вектор ты используется для определения гиперплоскости таким образом, она будет обозначаться ты_ЧАС, а если он обозначает точку, мы будем использовать ты_п. Их называют координаты точки или же координаты гиперплоскости соответственно (в важном двумерном случае координаты гиперплоскости называются координаты линии). Некоторые авторы различают способ интерпретации вектора, записывая координаты гиперплоскости как горизонтальные (строчные) векторы, в то время как координаты точек записываются как вертикальные (столбцовые) векторы. Таким образом, если ты вектор-столбец, у нас был бы ты_п = ты пока ты_ЧАС = ты^Т. С точки зрения обычного скалярное произведение, ЧАС_ты = {Икс_п : ты_ЧАС ⋅ Икс_п = 0}. С K поле, скалярное произведение симметрично, то есть ты_ЧАС ⋅ Икс_п = ты₀Икс₀ + ты₁Икс₁ + ... + ты_пИкс_п = Икс₀ты₀ + Икс₁ты₁ + ... + Икс_пты_п = Икс_ЧАС ⋅ ты_п.

Фундаментальный пример

Простая взаимность (на самом деле корреляция) может быть выражена следующим образом: ты_п ↔ ты_ЧАС между точками и гиперплоскостями. Это распространяется на взаимность между линией, образованной двумя точками, и пересечением двух таких гиперплоскостей и т. Д.

В частности, в проективная плоскость, PG (2, K), с K поле, мы имеем соотношение: точки в однородные координаты (а, б, c) ↔ линии с уравнениями топор + к + cz = 0. В проективном пространстве PG (3, K), корреляция задается: точки в однородных координатах (а, б, c, d) ↔ плоскости с уравнениями топор + к + cz + dw = 0. Эта корреляция также отобразит линию, определяемую двумя точками (а₁, б₁, c₁, d₁) и (а₂, б₂, c₂, d₂) к линии, которая является пересечением двух плоскостей с уравнениями а₁Икс + б₁у + c₁z + d₁ш = 0 и а₂Икс + б₂у + c₂z + d₂ш = 0.

Соответствующая полуторалинейная форма этой корреляции:

φ(ты, Икс) = ты_ЧАС ⋅ Икс_п = ты₀Икс₀ + ты₁Икс₁ + ... + ты_пИкс_п,

где компаньон антиавтоморфизм σ = id. Следовательно, это билинейная форма (Обратите внимание, что K должно быть поле). Это можно записать в матричной форме (относительно стандартного базиса) как:

φ(ты, Икс) = ты_ЧАС грамм Икс_п,

куда грамм это (п + 1) × (п + 1) единичная матрица, используя соглашение, что ты_ЧАС вектор-строка и Икс_п вектор-столбец.

Корреляция дается:

${\displaystyle \pi (\mathbf {x} _{P})=(G\mathbf {x} _{P})^{\mathsf {T}}=(\mathbf {x} _{P})^{\mathsf {T}}=\mathbf {x} _{H}.}$

Геометрическая интерпретация в реальной проективной плоскости

Эта корреляция в случае PG (2, р) можно описать геометрически с помощью модель из реальная проективная плоскость который представляет собой "единичную сферу с антиподами^[10] идентифицировал ", или, что то же самое, модель линий и плоскостей через начало векторного пространства р³. Свяжите с любой линией, проходящей через начало координат, уникальную плоскость, проходящую через начало координат, которая перпендикулярна (ортогональна) прямой. Когда в модели эти линии считаются точками, а плоскости - линиями проективной плоскости. PG (2, р)эта ассоциация становится корреляцией (фактически полярностью) проективной плоскости. Модель сферы получается путем пересечения линий и плоскостей через начало координат с единичной сферой с центром в начале координат. Прямые пересекают сферу в противоположных точках, которые затем должны быть идентифицированы, чтобы получить точку проективной плоскости, а плоскости пересекаются со сферой в большие круги которые, таким образом, являются линиями проективной плоскости.

То, что эта ассоциация «сохраняет» заболеваемость, легче всего увидеть из модели линий и плоскостей. Точка, падающая на линию в проективной плоскости, соответствует прямой, проходящей через начало координат, лежащей в плоскости, проходящей через начало координат в модели. Применяя ассоциацию, плоскость становится линией, проходящей через начало координат, перпендикулярной плоскости, с которой она связана. Эта линия изображения перпендикулярна каждой линии плоскости, которая проходит через начало координат, в частности исходной линии (точке проективной плоскости). Все линии, которые перпендикулярны исходной линии в начале координат, лежат в уникальной плоскости, которая ортогональна исходной линии, то есть плоскости изображения под ассоциацией. Таким образом, линия изображения лежит в плоскости изображения, и ассоциация сохраняет инцидентность.

Матричная форма

Как и в приведенном выше примере, матрицы может использоваться для обозначения двойственности. Позволять π быть двойственностью PG (п, K) за п > 1 и разреши φ - ассоциированная полуторалинейная форма (с сопутствующим антиавтоморфизмом σ) на базовом (п + 1) -мерное векторное пространство V. Учитывая основу { е_я } из V, мы можем представить эту форму как:

${\displaystyle \varphi (\mathbf {u} ,\mathbf {x} )=\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}G(\mathbf {x} ^{\sigma }),}$

куда грамм неособое (п + 1) × (п + 1) матрица над K и векторы записываются как векторы-столбцы. Обозначение Икс^σ означает, что антиавтоморфизм σ применяется к каждой координате вектора Икс.

Теперь определите двойственность в терминах координат точки:

${\displaystyle \pi (\mathbf {x} )=(G(\mathbf {x} ^{\sigma }))^{\mathsf {T}}.}$

Полярность

Двойственность, которая является инволюция (имеет второй порядок) называется полярность. Необходимо различать полярности общих проективных пространств и те, которые возникают из немного более общего определения плоской двойственности. Также можно дать более точные утверждения в случае конечная геометрия, поэтому мы будем подчеркивать результаты в конечных проективных плоскостях.

Полярности общих проективных пространств

Если π это двойственность PG (п, K), с K тело, то общее обозначение определяется как π(S) = S^⊥ для подпространства S из PG (п, K). Следовательно, полярность - это двойственность, для которой S^⊥⊥ = S для каждого подпространства S из PG (п, K). Также часто обходится без упоминания двойного пространства и пишется в терминах связанной полуторалинейной формы:

${\displaystyle S^{\bot }=\{\mathbf {u} {\text{ in }}V\colon \varphi (\mathbf {u} ,\mathbf {x} )=0{\text{ for all }}\mathbf {x} {\text{ in }}S\}.}$

Полуторалинейная форма φ является рефлексивный если φ(ты, Икс) = 0 подразумевает φ(Икс, ты) = 0.

Двойственность является полярностью тогда и только тогда, когда (невырожденная) полуторалинейная форма, определяющая ее, является рефлексивной.^[11]

Полярности были классифицированы в результате Биркгоф и фон Нейман (1936) это неоднократно повторяли.^[11][12][13] Позволять V - (левое) векторное пространство над телом K и φ - рефлексивная невырожденная полуторалинейная форма на V с компаньоном антиавтоморфизмом σ. Если φ является полуторалинейной формой, связанной с полярностью, тогда либо:

1. σ = id (следовательно, K это поле) и φ(ты, Икс) = φ(Икс, ты) для всех ты, Икс в V, то есть, φ является билинейной формой. В этом случае полярность называется ортогональный (или же обычный). Если характеристика поля K равно двум, то для этого должен существовать вектор z с φ(z, z) ≠ 0, а полярность называется псевдополярность.^[14]
2. σ = id (следовательно, K это поле) и φ(ты, ты) = 0 для всех ты в V. Полярность называется нулевая полярность (или симплектическая полярность) и может существовать только тогда, когда проективная размерность п странно.
3. σ² = id ≠ σ (здесь K не обязательно быть полем) и φ(ты, Икс) = φ(Икс, ты)^σ для всех ты, Икс в V. Такая полярность называется унитарная полярность (или Эрмитова полярность).

Точка п из PG (п, K) является абсолютная точка (самосопряженная точка) по полярности ⊥ если п я п^⊥. Аналогично гиперплоскость ЧАС является абсолютная гиперплоскость (самосопряженная гиперплоскость), если ЧАС^⊥ я ЧАС. Другими словами, точка Икс абсолютная точка полярности π с ассоциированной полуторалинейной формой φ если φ(Икс, Икс) = 0 и если φ записывается в терминах матрицы грамм, Икс^Т грамм Икс^σ = 0.

Можно описать набор абсолютных точек каждого типа полярности. Мы снова ограничиваем обсуждение случаем, когда K это поле.^[15]

1. Если K поле, характеристика которого не равна двум, множество абсолютных точек ортогональной полярности образуют неособую квадрика (если K бесконечно, это может быть пусто). Если характеристика равна двум, абсолютные точки псевдополярности образуют гиперплоскость.
2. Все точки пространства PG (2s + 1, K) являются абсолютными точками нулевой полярности.
3. Абсолютные точки эрмитовой полярности образуют Эрмитский сорт, который может быть пустым, если K бесконечно.

Когда составлен сам с собой, корреляция φ(Икс_п) = Икс_ЧАС (в любом измерении) производит функция идентичности, значит, это полярность. Множеством абсолютных точек этой полярности будут точки, однородные координаты которых удовлетворяют уравнению:

Икс_ЧАС ⋅ Икс_п = Икс₀Икс₀ + Икс₁Икс₁ + ... + Икс_пИкс_п = Икс₀² + Икс₁² + ... + Икс_п² = 0.

Какие точки входят в этот набор точек, зависит от поля K. Если K = р тогда множество пусто, нет абсолютных точек (и нет абсолютных гиперплоскостей). С другой стороны, если K = C множество абсолютных точек образуют невырожденную квадрика (а конический в двумерном пространстве). Если K это конечное поле странного характеристика абсолютные точки также образуют квадрику, но если характеристика четная, абсолютные точки образуют гиперплоскость (это пример псевдополярности).

При любой двойственности точка п называется столб гиперплоскости п^⊥, и эта гиперплоскость называется полярный по делу п. Используя эту терминологию, абсолютные точки полярности - это точки, которые инцидентны своим полюсам, а абсолютные гиперплоскости - это гиперплоскости, инцидентные своим полюсам.

Полярности в конечных проективных плоскостях

К Теорема Веддерберна каждое конечное тело является полем, и автоморфизм второго порядка (кроме тождественного) может существовать только в конечном поле, порядок которого является квадратом. Эти факты помогают упростить общую ситуацию для конечных Дезарговские самолеты. У нас есть:^[16]

Если π является полярностью конечной дезарговой проективной плоскости PG (2, q) куда q = п^е для некоторых премьер п, то количество абсолютных точек π является q + 1 если π ортогонален или q^3/2 + 1 если π унитарен. В ортогональном случае абсолютные точки лежат на конический если п является нечетным или образует линию, если п = 2. Унитарный случай может иметь место только в том случае, если q квадрат; абсолютные точки и абсолютные линии образуют единый.

В случае общей проективной плоскости, когда двойственность означает плоская двойственность, определения полярности, абсолютных элементов, полюса и полярности остаются прежними.

Позволять п обозначим проективную плоскость порядка п. Подсчет аргументов может установить, что для полярности π из п:^[16]

Количество неабсолютных точек (линий), попадающих в неабсолютную линию (точку), четное.

Более того,^[17]

Полярность π имеет по крайней мере п + 1 абсолютные точки и если п не квадрат, точно п + 1 абсолютные баллы. Если π точно п + 1 тогда абсолютные точки;

1. если п нечетно, абсолютные точки образуют овал чьи касательные - абсолютные прямые; или же
2. если п четно, абсолютные точки равны коллинеарен на неабсолютной строке.

Верхняя граница количества абсолютных точек в случае, когда п квадрат был подарен Сейбом^[18] и чисто комбинаторный аргумент может установить:^[19]

Полярность π в проективной плоскости квадратного порядка п = s² имеет самое большее s³ + 1 абсолютные баллы. Кроме того, если количество абсолютных точек равно s³ + 1, то абсолютные точки и абсолютные прямые образуют единый (т.е. каждая прямая плоскости пересекает этот набор абсолютных точек либо в 1 или же s + 1 точки).^[20]

Поляки и поляки

Основная статья: Полярный и полярный

Полюс и полярность относительно круга C. п и Q обратные точки, п полярность п, п это полюс п.

Возврат в евклидовой плоскости

Метод, который может использоваться для построения полярности реальной проективной плоскости, имеет в качестве отправной точки построение частичной двойственности в Евклидова плоскость.

На евклидовой плоскости зафиксируем круг C с центром О и радиус р. Для каждой точки п Кроме как О определить точку изображения Q так что OP ⋅ OQ = р². Отображение, определяемое п → Q называется инверсия относительно круга C. Линия п через Q которая перпендикулярна линии OP называется полярный^[21] по делу п относительно круга C.

Позволять q быть линией, не проходящей через О. Отбросьте перпендикуляр из О к q, встреча q в момент п (в этом суть q что ближе всего к О). Изображение Q из п при инверсии относительно C называется столб^[21] из q. Если точка M на связи q (не проходя через О) то полюс q лежит на полюсе M наоборот. Процесс сохранения инцидентности, в котором точки и линии преобразуются в свои полярные полюса по отношению к C называется взаимность.^[22]

Чтобы превратить этот процесс в корреляцию, евклидову плоскость (которая не является проективной плоскостью) необходимо расширить до протяженная евклидова плоскость добавив линия на бесконечности и указывает на бесконечность которые лежат на этой линии. В этой развернутой плоскости мы определяем полярную точку О быть линией на бесконечности (и О - полюс бесконечно удаленной прямой), а полюса прямых О точки бесконечности, где, если линия имеет склон s (≠ 0) его полюс - бесконечная точка, связанная с параллельным классом прямых с наклоном −1/s. Полюс Икс-ось - точка бесконечности вертикальных линий и полюс у-axis - точка бесконечности горизонтальных линий.

Построение корреляции на основе инверсии в круге, приведенное выше, можно обобщить, используя инверсию в коническом сечении (в расширенной реальной плоскости). Построенные таким образом корреляции имеют второй порядок, то есть полярности.

Алгебраическая формулировка

Три пары двойных точек и линий: одна красная пара, одна желтая пара и одна синяя пара.

Мы опишем эту полярность алгебраически, следуя приведенной выше конструкции в случае, когда C является единичной окружностью (т. е. р = 1) с центром в начале координат.

Аффинная точка п, кроме начала координат, с декартовыми координатами (а, б) имеет в качестве обратной в единичной окружности точку Q с координатами,

${\displaystyle \left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\right).}$

Линия, проходящая через Q что перпендикулярно линии OP имеет уравнение топор + к = 1.

Переход к однородным координатам с помощью вложения (а, б) ↦ (а, б, 1), расширение на реальную проективную плоскость получается путем разрешения последней координаты равной 0. Помня, что координаты точки записываются как векторы-столбцы, а координаты строк - как векторы-строки, мы можем выразить эту полярность следующим образом:

${\displaystyle \pi :\mathbb {R} P^{2}\rightarrow \mathbb {R} P^{2}}$

такой, что

${\displaystyle \pi \left((x,y,z)^{\mathsf {T}}\right)=(x,y,-z).}$

Или, используя альтернативные обозначения, π((Икс, у, z)_п) = (Икс, у, −z)_L. Матрица соответствующей полуторалинейной формы (относительно стандартного базиса):

${\displaystyle G=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{matrix}}\right).}$

Абсолютные точки этой полярности задаются решениями:

${\displaystyle 0=P^{\mathsf {T}}GP=x^{2}+y^{2}-z^{2},}$

куда п^Т= (Икс, у, z). Обратите внимание, что ограничено евклидовой плоскостью (т. Е. Установлено z = 1) это просто единичный круг, круг инверсии.

Синтетический подход

Диагональный треугольник п, Q, р четырехугольника А, B, J, K на конической. Поляры диагональных точек окрашены так же, как и точки.

Теория полюсов и поляр коники на проективной плоскости может быть развита без использования координат и других метрических понятий.

Позволять C быть конусом в PG (2, F) куда F - поле не характеристики два, и пусть п быть точкой этой плоскости не на C. Две отдельные секущие к конике, скажем AB и JK определить четыре точки на конике (А, B, J, K), которые образуют четырехугольник. Смысл п является вершиной диагонального треугольника этого четырехугольника. В полярный из п относительно C сторона диагонального треугольника напротив п.^[23]

Теория проективные гармонические сопряжения точек на линии также можно использовать для определения этой связи. Используя те же обозначения, что и выше;

Если переменная линия через точку п секущая коники C, гармонические сопряженные п относительно двух точек C на секущей все лежат на полярный из п.^[24]

Характеристики

Есть несколько свойств, которыми обладают полярности в проективной плоскости.^[25]

Учитывая полярность π, точка п лежит на линии q, полярная точка Q если и только если Q лежит на п, полярный п.

Точки п и Q находящиеся в этом отношении называются сопрягать очки относительно π. Абсолютные точки называются самосопряженный в соответствии с этим определением, поскольку они инцидентны со своими собственными полярами. Сопряженные линии определяются двойственно.

Линия, соединяющая две самосопряженные точки, не может быть самосопряженной линией.

Линия не может содержать более двух самосопряженных точек.

Полярность индуцирует инволюцию сопряженных точек на любой прямой, которая не является самосопряженной.

Треугольник, каждая вершина которого является полюсом противоположной стороны, называется самополярный треугольник.

Корреляция, которая отображает три вершины треугольника на их противоположные стороны, соответственно, является полярностью, и этот треугольник самополярен по отношению к этой полярности.

История

Принцип двойственности обусловлен Джозеф Диас Жергонн (1771–1859 гг.) Поборник зарождающейся тогда области Аналитическая геометрия и основатель и редактор первого журнала, полностью посвященного математике, Анналы чистой математики и аппликации. Жергонн и Шарль Жюльен Брианшон (1785–1864) разработал концепцию плоской двойственности. Жергонн ввел термины «двойственность» и «полярность» (но «полюс» возник благодаря Ф.-Ж. Серво ) и перенял стиль написания двойных заявлений бок о бок в своем дневнике.

Жан-Виктор Понселе (1788−1867) автор первого текста о проективная геометрия, Traité des propriétés projectives des figure, был синтетический геометр который систематически развивал теорию полюсов и поляр по отношению к конике. Понселе утверждал, что принцип двойственности является следствием теории полюсов и полюсов.

Юлиус Плюкер (1801–1868) приписывают распространение концепции двойственности на трехмерные и более высокие проективные пространства.

Понселе и Жергонн начинали как серьезные, но дружелюбные соперники, представляя свои различные точки зрения и методы в статьях, опубликованных в Annales de Gergonne. Возрос антагонизм по поводу приоритета в провозглашении принципа двойственности своим собственным. Молодой Плюккер был вовлечен в эту вражду, когда статья, которую он представил Гергонну, была настолько сильно отредактирована к моменту публикации, что Понселе был введен в заблуждение, полагая, что Плюккер заимствовал его. Язвительная атака Понселе была отражена Плюккером при поддержке Жергонна, и в конечном итоге бремя ответственности было возложено на Жергонна.^[26] Об этой вражде, Пьер Самуэль^[27] Язвительно заметил, что, поскольку оба мужчины служили во французской армии, а Понселе был генералом, а Жергонн - простым капитаном, точка зрения Понселе возобладала, по крайней мере, среди их французских современников.

Смотрите также

• Двойная кривая

Примечания

1. Коксетер 1964, п. 25
2. Канун 1963 г., п. 312
3. Канун 1963 г., п. 419
4. Кокстер 1964, п. 26
5. Дембовский 1968, п. 151
6. Некоторые авторы используют термин «корреляция» для обозначения двойственности, в то время как другие, как и мы, используют корреляцию для определенного типа двойственности.
7. Дембовский 1968, п. 41 Дембовски использует термин «корреляция» для обозначения двойственности.
8. например Хиршфельд 1979, п. 33
9. Размерность здесь используется в двух разных смыслах. Обращаясь к проективному пространству, этот термин используется в обычном геометрическом смысле, где линии являются одномерными, а плоскости - двухмерными объектами. Однако в применении к векторному пространству размерность означает количество векторов в базисе, а базис для векторного подпространства, рассматриваемого как линия, имеет два вектора в нем, в то время как базис для векторного пространства, рассматриваемый как самолет имеет три вектора. Если значение не ясно из контекста, термины проективный или же геометрический применяются к концепции проективного пространства, а алгебраический или же вектор применяются к векторному пространству. Связь между ними проста: алгебраическая размерность = геометрическая размерность + 1.
10. точки сферы на противоположных концах диаметра называются противоположные точки.
11. Дембовский 1968, п. 42
12. Баер 2005, п. 111
13. Артин 1957 г., стр. 112–114
14. Хиршфельд 1976, п. 35 год Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFHirschfeld1976 (помощь)
15. Барвик и Эберт 2008, стр. 17–19
16. Дембовский 1968, п. 153
17. Баер, Р. (1946), "Полярности в конечных проективных плоскостях", Бюллетень Американского математического общества, 52: 77–93, Дои:10.1090 / с0002-9904-1946-08506-7
18. Сейб, М. (1970), "Unitäre Polaritäten endlicher projectiver Ebenen", Archiv der Mathematik, 21: 103–112, Дои:10.1007 / bf01220887
19. Хьюз и Пайпер 1973, стр. 245–246
20. Барвик и Эберт 2008, п. 20
21. Хотя двойственность еще не определена, эти термины используются в ожидании существования единой.
22. Кокстер и Грейцер 1967, п. 133 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFCoxeter_and_Greitzer1967 (помощь)
23. Коксетер 1964, п. 75
24. Канун 1963 г., п. 296
25. Кокстер 1964, стр. 60–62
26. Бойер 2004, п. 245
27. Самуэль 1988, п. 36

Рекомендации

• Артин, Э. (1957), «1.4 Двойственность и спаривание», Геометрическая алгебра, Wiley Interscience, ISBN  0-470-03432-7
• Баер, Рейнхольд (2005) [1952]. Линейная алгебра и проективная геометрия. Минеола Нью-Йорк: Дувр. ISBN  0-486-44565-8.
• Барвик, Сьюзен; Эберт, Гэри (2008), Униталы в проективных плоскостях, Спрингер, Дои:10.1007/978-0-387-76366-8, ISBN  978-0-387-76364-4
• Birkhoff, G .; фон Нейман, Дж. (1936), "Логика квантовой механики", Анналы математики, 37: 823–843, Дои:10.2307/1968621
• Бойер, Карл Б. (2004) [1956], История аналитической геометрии, Дувр, ISBN  978-0-486-43832-0
• Кокстер, H.S.M. (1964), Проективная геометрия, Блейсделл
• Кокстер, H.S.M.; Грейцер, С. (1967), Возвращение к геометрии, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN  0-88385-600-X
• Дембовский, Питер (1968), Конечная геометрия, Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете, Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  3-540-61786-8, МИСТЕР  0233275
• Евс, Ховард (1963), Обзор геометрии Том I, Аллин и Бэкон
• Хиршфельд, Дж. У. П. (1979), Проективные геометрии над конечными полями, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-850295-1
• Хьюз, Дэниел Р .; Пайпер, Фред К. (1973), Проективные плоскости, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90044-6
• Самуэль, Пьер (1988). Проективная геометрия. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-96752-4.

дальнейшее чтение

• Альберт, А. Адриан; Сандлер, Рубен (1968), Введение в конечные проективные плоскости, Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон
• Ф. Бахманн, 1959. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, Спрингер, Берлин.
• Беннетт, М. (1995). Аффинная и проективная геометрия. Нью-Йорк: Вили. ISBN  0-471-11315-8.
• Бойтельшпахер, Альбрехт; Розенбаум, Юте (1998). Проективная геометрия: от основ до приложений. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-48277-1.
• Касс, Рей (2006), Проективная геометрия: введение, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета, ISBN  0-19-929886-6
• Седерберг, Джудит Н. (2001). Курс современной геометрии. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98972-2.
• Кокстер, Х. С. М., 1995. Реальная проективная плоскость, 3-е изд. Springer Verlag.
• Кокстер, Х. С. М., 2003. Проективная геометрия, 2-е изд. Springer Verlag. ISBN  978-0-387-40623-7.
• Кокстер, Х. С. М. (1969). Введение в геометрию. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-50458-0.
• Гарнер, Линн Э. (1981). Очерк проективной геометрии. Нью-Йорк: Северная Голландия. ISBN  0-444-00423-8.
• Гринберг, М.Дж., 2007. Евклидовы и неевклидовы геометрии, 4-е изд. Фримен.
• Хартсхорн, Робин (2009), Основы проективной геометрии (2-е изд.), Ishi Press, ISBN  978-4-87187-837-1
• Хартсхорн, Робин, 2000. Геометрия: Евклид и не только. Springer.
• Гильберт, Д. и Кон-Фоссен, С., 1999. Геометрия и воображение, 2-е изд. Челси.
• Kárteszi, F. (1976), Введение в конечную геометрию, Амстердам: Северная Голландия, ISBN  0-7204-2832-7
• Михалек, Р.Дж. (1972). Проективная геометрия и алгебраические структуры. Нью-Йорк: Academic Press. ISBN  0-12-495550-9.
• Раманан, С. (август 1997 г.). «Проективная геометрия». Резонанс. Springer Индия. 2 (8): 87–94. Дои:10.1007 / BF02835009. ISSN  0971-8044.
• Стивенсон, Фредерик В. (1972), Проективные плоскости, Сан-Франциско: W.H. Фримен и компания, ISBN  0-7167-0443-9
• Веблен, Освальд; Янг, Дж. У. А. (1938). Проективная геометрия. Бостон: Ginn & Co. ISBN  978-1-4181-8285-4.

внешняя ссылка

Вайсштейн, Эрик В. «Принцип двойственности». MathWorld.