Единичная матрица - Identity matrix

Не путать с матрица единиц или унитарная матрица.

Матрица идентичности 3x3

В линейная алгебра, то единичная матрица (иногда неоднозначно называют единичная матрица) размера п это п × п квадратная матрица с теми на главная диагональ и нули в других местах. Обозначается он я_п, или просто я если размер несущественен или может быть тривиально определен контекстом.^[1][2] В некоторых областях, например квантовая механика, единичная матрица обозначена жирным шрифтом, 1; в противном случае он идентичен я. Реже в некоторых книгах по математике используется U или E для представления единичной матрицы, что означает «единичная матрица»^[3] и немецкое слово Einheitsmatrix соответственно.^[4]

${\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}$

Когда А является м×п, это свойство матричное умножение это

${\displaystyle I_{m}A=AI_{n}=A.}$

В частности, единичная матрица служит единицей измерения кольцо из всех п×п матрицы, а как элемент идентичности из общая линейная группа GL (п) (группа, состоящая из всех обратимый п×п матрицы). В частности, единичная матрица обратима - с ее обратное бытие именно само.

куда п×п матрицы используются для представления линейные преобразования из п-мерное векторное пространство себе, я_п представляет функция идентичности, независимо от основа.

В я-й столбец единичной матрицы - это единичный вектор е_я (вектор, я-я запись - 1 и 0 в другом месте) Отсюда следует, что детерминант единичной матрицы равна 1, а след являетсяп.

Используя обозначения, которые иногда используются для краткого описания диагональные матрицы, мы можем написать

${\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1).}$

Единичную матрицу также можно записать с помощью Дельта Кронекера обозначение:^[4]

${\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.}$

Когда единичная матрица является продуктом двух квадратных матриц, две матрицы называются обратными друг другу.

Единичная матрица - единственная идемпотентная матрица с ненулевым определителем. То есть это единственная матрица, такая что:

1. При умножении на себя результат сам
2. Все его строки и столбцы линейно независимый.

В главный квадратный корень единичной матрицы есть сама, и это ее единственная положительно определенный квадратный корень. Однако каждая единичная матрица, содержащая не менее двух строк и столбцов, имеет бесконечное количество симметричных квадратных корней.^[5]

Смотрите также

• Двоичная матрица (матрица нуля или единицы)
• Элементарная матрица
• Матрица обмена
• Матрица единиц
• Матрицы Паули (единичная матрица - это нулевая матрица Паули)
• Квадратный корень из единичной матрицы 2 на 2
• Унитарная матрица
• Нулевая матрица

Заметки

1. «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-14.
2. «Матрица идентичности: введение в матрицу идентичности (статья)». Ханская академия. Получено 2020-08-14.
3. Трубы, Луи Альбер (1963). Матричные методы проектирования. Международная серия Prentice-Hall по прикладной математике. Прентис-Холл. п. 91.
4. Вайсштейн, Эрик В. "Единичная матрица". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-08-14.
5. Митчелл, Дуглас В. "Использование троек Пифагора для получения квадратных корней из я₂". Математический вестник 87, ноябрь 2003 г., 499–500.

внешние ссылки

• "Единичная матрица". PlanetMath.