Идемпотентная матрица - Idempotent matrix

В линейная алгебра, идемпотентная матрица это матрица которое при умножении само на себя дает само себя.^[1]^[2] То есть матрица ${ displaystyle A}$ идемпотентно тогда и только тогда, когда ${ displaystyle A ^ {2} = A}$ . Для этого продукта ${ displaystyle A ^ {2}}$ быть определенный, ${ displaystyle A}$ обязательно должен быть квадратная матрица. С этой точки зрения идемпотентные матрицы идемпотентные элементы из матричные кольца.

Пример

Примеры ${ displaystyle 2 times 2}$ Идемпотентные матрицы:

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {bmatrix}} qquad { begin {bmatrix} 3 & -6 1 & -2 end {bmatrix}}}

Примеры ${ displaystyle 3 times 3}$ Идемпотентные матрицы:

{ displaystyle { begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} qquad { begin {bmatrix} 2 & -2 & -4 - 1 & 3 & 4 1 & -2 & -3 end {bmatrix }}}

Реальный корпус 2 × 2

Если матрица ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ идемпотентно, то

${ displaystyle a = a ^ {2} + bc,}$
${ displaystyle b = ab + bd,}$ подразумевая ${ displaystyle b (1-a-d) = 0}$ так ${ displaystyle b = 0}$ или же ${ displaystyle d = 1-a,}$
${ displaystyle c = ca + cd,}$ подразумевая ${ displaystyle c (1-a-d) = 0}$ так ${ displaystyle c = 0}$ или же ${ displaystyle d = 1-a,}$
${ displaystyle d = bc + d ^ {2}.}$

Таким образом, необходимое условие идемпотентности матрицы 2 × 2 состоит в том, что она либо диагональ или его след равно 1. Обратите внимание, что для идемпотентных диагональных матриц ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle d}$ должно быть либо 1, либо 0.

Если ${ displaystyle b = c}$ , матрица ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b b & 1-a end {pmatrix}}}$ будет идемпотентным при условии ${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = a,}$ так а удовлетворяет квадратное уровненеие

{ displaystyle a ^ {2} -a + b ^ {2} = 0,}

или же

{ displaystyle left (a - { frac {1} {2}} right) ^ {2} + b ^ {2} = { frac {1} {4}}}

который является круг с центром (1/2, 0) и радиусом 1/2. Что касается угла θ,

{ displaystyle A = { frac {1} {2}} { begin {pmatrix} 1- cos theta & sin theta sin theta & 1 + cos theta end {pmatrix}}}

идемпотентно.

Тем не мение, ${ displaystyle b = c}$ не является обязательным условием: любая матрица

{ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & 1-a end {pmatrix}}}

с

{ displaystyle a ^ {2} + bc = a}

идемпотентно.

Характеристики

Необычность и закономерность

Единственный не-единственное число идемпотентная матрица - это единичная матрица; то есть, если неединичная матрица идемпотентна, ее количество независимых строк (и столбцов) меньше, чем количество строк (и столбцов).

Это видно из написания ${ displaystyle A ^ {2} = A}$ , при условии, что $А$ имеет полный ранг (неособое число), и предварительное умножение на ${ displaystyle A ^ {- 1}}$ чтобы получить ${ Displaystyle A = IA = A ^ {- 1} A ^ {2} = A ^ {- 1} A = I}$ .

Когда идемпотентная матрица вычитается из единичной матрицы, результат также идемпотентный. Это верно, поскольку

{ Displaystyle (I-A) (I-A) = I-A-A + A ^ {2} = I-A-A + A = I-A}

.

Матрица $А$ идемпотентно тогда и только тогда, когда для всех натуральных чисел n ${ Displaystyle А ^ {п} = А}$ . Направление «если» тривиально следует, взяв ${ displaystyle n = 2}$ . Часть «только если» можно показать, используя доказательство по индукции. Ясно, что у нас есть результат для ${ displaystyle n = 1}$ , так как ${ displaystyle A ^ {1} = A}$ . Предположим, что ${ Displaystyle А ^ {к-1} = А}$ . Потом, ${ Displaystyle A ^ {k} = A ^ {k-1} A = AA = A}$ , как требуется. Отсюда по принципу индукции следует результат.

Собственные значения

Идемпотентная матрица всегда диагонализуемый и это собственные значения равны 0 или 1.^[3]

След

В след идемпотентной матрицы - сумма элементов на ее главной диагонали - равна классифицировать матрицы и, следовательно, всегда целое число. Это обеспечивает простой способ вычисления ранга или, альтернативно, простой способ определения следа матрицы, элементы которой специально не известны (что полезно в статистика, например, при установлении степени предвзятость в использовании выборочная дисперсия как оценка дисперсия населения ).

Приложения

Идемпотентные матрицы часто возникают в регрессивный анализ и эконометрика. Например, в обыкновенный метод наименьших квадратов, задача регрессии состоит в выборе вектора $β$ оценок коэффициентов, чтобы минимизировать сумму квадратов остатков (неверные прогнозы) е_я: в матричной форме,

Свести к минимуму

{ Displaystyle (у-Х бета) ^ { extf {T}} (у-X бета)}

куда ${ displaystyle y}$ вектор зависимая переменная наблюдения и ${ displaystyle X}$ матрица, каждый столбец которой является столбцом наблюдений на одном из независимые переменные. Результирующая оценка

{ displaystyle { hat { beta}} = left (X ^ { extf {T}} X right) ^ {- 1} X ^ { extf {T}} y}

где верхний индекс Т указывает на транспонировать, а вектор невязок равен^[2]

{ displaystyle { hat {e}} = yX { hat { beta}} = yX left (X ^ { extf {T}} X right) ^ {- 1} X ^ { extf {T }} y = left [IX left (X ^ { extf {T}} X right) ^ {- 1} X ^ { extf {T}} right] y = My.}

Здесь оба ${ displaystyle M}$ и ${ displaystyle X left (X ^ { extf {T}} X right) ^ {- 1} X ^ { extf {T}}}$ (последний известен как шляпа матрица ) являются идемпотентными и симметричными матрицами, факт, который допускает упрощение при вычислении суммы квадратов остатков:

{ displaystyle { hat {e}} ^ { extf {T}} { hat {e}} = (My) ^ { extf {T}} (My) = y ^ { extf {T}} M ^ { extf {T}} My = y ^ { extf {T}} MMy = y ^ { extf {T}} My.}

Идемпотентность ${ displaystyle M}$ играет роль и в других расчетах, например, при определении дисперсии оценки ${ displaystyle { hat { beta}}}$ .

Идемпотентный линейный оператор ${ displaystyle P}$ является оператором проекции на пространство диапазона ${ Displaystyle R (P)}$ вдоль его пустое пространство ${ Displaystyle N (P)}$ . ${ displaystyle P}$ является ортогональная проекция оператор тогда и только тогда, когда он идемпотентен и симметричный.