Линейная алгебра - Linear algebra

В трехмерном Евклидово пространство, эти три плоскости представляют собой решения линейных уравнений, а их пересечение представляет собой набор общих решений: в данном случае - единственную точку. Синяя линия - это общее решение двух из этих уравнений.

Линейная алгебра это филиал математика касательно линейные уравнения Такие как:

${displaystyle a_{1}x_{1}+cdots +a_{n}x_{n}=b,}$

линейные карты Такие как:

${displaystyle (x_{1},ldots ,x_{n})mapsto a_{1}x_{1}+ldots +a_{n}x_{n},}$

и их представительства в векторные пространства и через матрицы.^[1][2][3]

Линейная алгебра занимает центральное место почти во всех областях математики. Например, линейная алгебра является фундаментальной в современных представлениях геометрия, в том числе для определения основных объектов, таких как линии, самолеты и вращения. Также, функциональный анализ, раздел математического анализа, можно рассматривать как в основном применение линейной алгебры к пространства функций.

Линейная алгебра также используется в большинстве наук и областей инженерное дело, потому что это позволяет моделирование многие природные явления и эффективные вычисления с такими моделями. За нелинейные системы, который не может быть смоделирован с помощью линейной алгебры, он часто используется для решения приближения первого порядка, используя тот факт, что дифференциал из многомерная функция в точке - это линейная карта, которая наилучшим образом аппроксимирует функцию вблизи этой точки.

История

Процедура решения одновременных линейных уравнений теперь называется Гауссово исключение появляется в древнекитайском математическом тексте Глава восьмая: Прямоугольные массивы из Девять глав математического искусства. Его использование проиллюстрировано в восемнадцати задачах с двумя-пятью уравнениями.^[4]

Системы линейных уравнений возникла в Европе с введением в 1637 г. Рене Декарт из координаты в геометрия. Фактически, в этой новой геометрии, теперь называемой Декартова геометрия, прямые и плоскости представлены линейными уравнениями, и вычисление их пересечений сводится к решению системы линейных уравнений.

Использованы первые систематические методы решения линейных систем. детерминанты, впервые рассмотрено Лейбниц в 1693 г. В 1750 г. Габриэль Крамер использовал их для получения явных решений линейных систем, теперь называемых Правило Крамера. Потом, Гаусс далее описал метод устранения, который первоначально был указан как прогресс в геодезия.^[5]

В 1844 г. Герман Грассманн опубликовал свою «Теорию расширения», в которую вошли новые фундаментальные темы того, что сегодня называется линейной алгеброй. В 1848 г. Джеймс Джозеф Сильвестр ввел термин матрица, что на латыни означает матка.

Линейная алгебра выросла с идеями, отмеченными в комплексная плоскость. Например, два числа ш и z в ℂ есть разница ш – z, а отрезки линии ${displaystyle {overline {wz}}}$ и ${displaystyle {overline {0(w-z)}}}$ имеют одинаковую длину и направление. Сегменты равномерный. Четырехмерная система ℍ кватернионы был начат в 1843 году. Срок вектор был представлен как v = Икс я + у j + z k, представляющий точку в пространстве. Кватернионная разница п – q также производит сегмент, равный ${displaystyle {overline {pq}}.}$ Другой гиперкомплексное число системы также использовали идею линейного пространства с основа.

Артур Кэли представил матричное умножение и обратная матрица в 1856 г., что сделало возможным общая линейная группа. Механизм групповое представительство стали доступны для описания сложных и гиперкомплексных чисел. Важно отметить, что Кэли использовал одну букву для обозначения матрицы, таким образом рассматривая матрицу как совокупный объект. Он также осознал связь между матрицами и детерминантами и написал: «Можно было бы многое сказать об этой теории матриц, которая, как мне кажется, должна предшествовать теории детерминантов».^[5]

Бенджамин Пирс опубликовал свой Линейная ассоциативная алгебра (1872 г.) и его сын Чарльз Сандерс Пирс позже расширил работу.^[6]

В телеграф требовала пояснительной системы, и публикация в 1873 г. Трактат об электричестве и магнетизме учредил теория поля сил и необходимых дифференциальная геометрия для выражения. Линейная алгебра - это плоская дифференциальная геометрия, служащая в касательных пространствах к коллекторы. Электромагнитные симметрии пространства-времени выражаются Преобразования Лоренца, а большая часть истории линейной алгебры - это история преобразований Лоренца.

Первое современное и более точное определение векторного пространства было введено Пеано в 1888 г .;^[5] к 1900 г. возникла теория линейных преобразований конечномерных векторных пространств. Линейная алгебра приняла свою современную форму в первой половине двадцатого века, когда многие идеи и методы предыдущих веков были обобщены как абстрактная алгебра. Развитие компьютеров привело к увеличению исследований эффективных алгоритмы для исключения Гаусса и разложения матриц, а линейная алгебра стала важным инструментом моделирования и симуляций.^[5]

Смотрите также Детерминант § История и Исключение Гаусса § История.

Векторные пространства

Основная статья: Векторное пространство

До 19 века линейная алгебра была введена через системы линейных уравнений и матрицы. В современной математике представление через векторные пространства обычно предпочтительнее, поскольку он более синтетический, более общий (не ограничиваясь конечномерным случаем) и концептуально более простой, хотя и более абстрактный.

Векторное пространство над поле F (часто поле действительные числа ) это набор V оснащен двумя бинарные операции удовлетворяющий следующим аксиомы. Элементы из V называются векторов, и элементы F называются скаляры. Первая операция, векторное сложение, принимает любые два вектора v и ш и выводит третий вектор v + ш. Вторая операция, скалярное умножение, принимает любой скаляр а и любой вектор v и выводит новый вектор средний. Аксиомы, которым должно удовлетворять сложение и скалярное умножение, следующие. (В списке ниже ты, v и ш произвольные элементы V, и а и б - произвольные скаляры в поле F.)^[7]

Аксиома	Смысл
Ассоциативность сложения	ты + (v + ш) = (ты + v) + ш
Коммутативность сложения	ты + v = v + ты
Элемент идентичности сложения	Существует элемент 0 в V, называется нулевой вектор (или просто нуль), такое что v + 0 = v для всех v в V.
Обратные элементы сложения	Для каждого v в V, существует элемент −v в V, называется Противоположное число из v, так что v + (−v) = 0
Распределительность скалярного умножения относительно сложения векторов	а(ты + v) = au + средний
Дистрибутивность скалярного умножения по сложению полей	(а + б)v = средний + bv
Совместимость скалярного умножения с умножением полей	а(bv) = (ab)v [а]
Элемент идентичности скалярного умножения	1v = v, куда 1 обозначает мультипликативная идентичность из F.

Первые четыре аксиомы означают, что V является абелева группа под дополнением.

Элемент определенного векторного пространства может иметь различную природу; например, это может быть последовательность, а функция, а многочлен или матрица. Линейная алгебра занимается теми свойствами таких объектов, которые являются общими для всех векторных пространств.

Линейные карты

Основная статья: Линейная карта

Линейные карты находятся сопоставления между векторными пространствами, сохраняющими структуру векторного пространства. Учитывая два векторных пространства V и W над полем F, линейное отображение (также называемое в некоторых контекстах линейным преобразованием или линейным отображением) является карта

${displaystyle T:V o W}$

который совместим со сложением и скалярным умножением, то есть

${displaystyle T(u+v)=T(u)+T(v),quad T(av)=aT(v)}$

для любых векторов ты,v в V и скаляр а в F.

Отсюда следует, что для любых векторов ты, v в V и скаляры а, б в F, надо

${displaystyle T(au+bv)=T(au)+T(bv)=aT(u)+bT(v)}$

Когда V = W одно и то же векторное пространство, линейная карта ${displaystyle T:V o V}$ также известен как линейный оператор на V.

А биективный линейная карта между двумя векторными пространствами (то есть каждый вектор из второго пространства связан ровно с одним в первом) является изоморфизм. Поскольку изоморфизм сохраняет линейную структуру, два изоморфных векторных пространства «по существу одинаковы» с точки зрения линейной алгебры в том смысле, что их нельзя различить с помощью свойств векторного пространства. Существенный вопрос в линейной алгебре - это проверка того, является ли линейное отображение изоморфизмом или нет, и, если это не изоморфизм, нахождение его классифицировать (или изображение) и набор элементов, которые отображаются в нулевой вектор, называемый ядро карты. Все эти вопросы можно решить, используя Гауссово исключение или какой-то вариант этого алгоритм.

Подпространства, промежуток и базис

Основные статьи: Линейное подпространство, Линейный пролет, и Базис (линейная алгебра)

Изучение тех подмножеств векторных пространств, которые сами по себе являются векторными пространствами при индуцированных операциях, является фундаментальным, как и для многих математических структур. Эти подмножества называются линейные подпространства. Точнее, линейное подпространство векторного пространства V над полем F это подмножество W из V такой, что ты + v и au находятся в W, для каждого ты, v в W, и каждый а в F. (Этих условий достаточно для того, чтобы W - векторное пространство.)

Например, учитывая линейную карту ${displaystyle T:V o W}$, то изображение ТЕЛЕВИДЕНИЕ) из V, а обратное изображение ${displaystyle T^{-1}(0)}$ из 0 (называется ядро или же пустое пространство ), являются линейными подпространствами W и V, соответственно.

Еще один важный способ формирования подпространства - рассмотреть линейные комбинации набора S векторов: множество всех сумм

${displaystyle a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+cdots +a_{k}v_{k},}$

куда v₁, v₂, ..., v_k находятся в S, и а₁, а₂, ..., а_k находятся в F образуют линейное подпространство, называемое охватывать из S. Продолжительность S также является пересечением всех линейных подпространств, содержащих S. Другими словами, это (наименьшее для отношения включения) линейное подпространство, содержащее S.

Набор векторов линейно независимый если ни один не входит в диапазон других. Эквивалентно набор S векторов линейно независима, если единственный способ выразить нулевой вектор как линейную комбинацию элементов S принимать ноль для каждого коэффициента ${displaystyle a_{i}.}$

Набор векторов, охватывающий векторное пространство, называется набор охвата или же генераторная установка. Если охватывающий набор S является линейно зависимый (который не является линейно независимым), то некоторый элемент ш из S находится в промежутке между другими элементами S, и диапазон останется прежним, если удалить ш из S. Можно продолжить удаление элементов S пока не получу линейно независимое остовное множество. Такой линейно независимый набор, охватывающий векторное пространство V называется основа из V. Важность базисов заключается в том, что существуют вместе минимальные порождающие множества и максимальные независимые множества. Точнее, если S - линейно независимое множество, а Т такое остовное множество, что ${displaystyle Ssubseteq T,}$ тогда есть основа B такой, что ${displaystyle Ssubseteq Bsubseteq T.}$

Любые два базиса векторного пространства V имеют то же самое мощность, который называется измерение из V; это теорема размерности для векторных пространств. Более того, два векторных пространства над одним и тем же полем F находятся изоморфный тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое измерение.^[8]

Если какая-либо основа V (и, следовательно, каждый базис) имеет конечное число элементов, V это конечномерное векторное пространство. Если U является подпространством V, тогда тусклый U ≤ тусклый V. В случае, когда V конечномерна, из равенства размерностей следует U = V.

Если U₁ и U₂ являются подпространствами V, тогда

${displaystyle dim(U_{1}+U_{2})=dim U_{1}+dim U_{2}-dim(U_{1}cap U_{2}),}$

куда ${displaystyle U_{1}+U_{2}}$ обозначает промежуток ${displaystyle U_{1}cup U_{2}.}$^[9]

Матрицы

Основная статья: Матрица (математика)

Матрицы позволяют явно манипулировать конечномерными векторными пространствами и линейные карты. Таким образом, их теория является важной частью линейной алгебры.

Позволять V - конечномерное векторное пространство над полем F, и (v₁, v₂, ..., v_м) быть основой V (таким образом м это размер V). По определению основы карта

${displaystyle {egin{aligned}(a_{1},ldots ,a_{m})&mapsto a_{1}v_{1}+cdots a_{m}v_{m}F^{m}& o Vend{aligned}}}$

это биекция из ${displaystyle F^{m},}$ набор последовательности из м элементы F, на V. Это изоморфизм векторных пространств, если ${displaystyle F^{m}}$ оснащен стандартной структурой векторного пространства, в которой сложение векторов и скалярное умножение выполняются покомпонентно.

Этот изоморфизм позволяет представить вектор его обратное изображение при этом изоморфизме, то есть вектор координат ${displaystyle (a_{1},ldots ,a_{m})}$ или матрица столбцов

${displaystyle {egin{bmatrix}a_{1}vdots a_{m}end{bmatrix}}.}$

Если W - другое конечномерное векторное пространство (возможно, то же самое) с базисом ${displaystyle (w_{1},ldots ,w_{n}),}$ линейная карта ж из W к V хорошо определяется своими значениями на базисных элементах, то есть ${displaystyle (f(w_{1}),ldots ,f(w_{n})).}$ Таким образом, ж хорошо представлен списком соответствующих матриц столбцов. То есть, если

${displaystyle f(w_{j})=a_{1,j}v_{1}+cdots +a_{m,j}v_{m},}$

за j = 1, ..., п, тогда ж представлен матрицей

${displaystyle {egin{bmatrix}a_{1,1}&ldots &a_{1,n}vdots &ldots &vdots a_{m,1}&ldots &a_{m,n}end{bmatrix}},}$

с м ряды и п столбцы.

Умножение матриц определяется таким образом, что произведение двух матриц является матрицей сочинение соответствующих линейных карт, а произведение матрицы и матрицы столбца представляет собой матрицу столбца, представляющую результат применения представленной линейной карты к представленному вектору. Отсюда следует, что теория конечномерных векторных пространств и теория матриц - это два разных языка для выражения одних и тех же понятий.

Две матрицы, кодирующие одно и то же линейное преобразование в разных базисах, называются похожий. Можно доказать, что две матрицы подобны тогда и только тогда, когда одна может преобразовывать одну в другую с помощью элементарные операции со строками и столбцами. Для матрицы, представляющей линейную карту из W к V, строковые операции соответствуют смене оснований в V а операции с колонками соответствуют смене баз в W. Каждая матрица похожа на единичная матрица возможно, граничит с нулевыми строками и нулевыми столбцами. В терминах векторных пространств это означает, что для любой линейной карты из W к V, есть основания такие, что часть основы W отображается биективно на части на основе V, а остальные базисные элементы W, если есть, отображаются в ноль. Гауссово исключение является основным алгоритмом поиска этих элементарных операций и доказательства этих результатов.

Линейные системы

Основная статья: Система линейных уравнений

Конечный набор линейных уравнений от конечного набора переменных, например, ${displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$ или же ${displaystyle x,y,...,z}$ называется система линейных уравнений или линейная система.^{[10][11][12][13][14]}

Системы линейных уравнений составляют фундаментальную часть линейной алгебры. Исторически линейная алгебра и теория матриц были разработаны для решения таких систем. В современном представлении линейной алгебры через векторные пространства и матрицы многие проблемы могут быть интерпретированы в терминах линейных систем.

Например, пусть

${displaystyle {egin{alignedat}{7}2x&&;+;&&y&&;-;&&z&&;=;&&8-3x&&;-;&&y&&;+;&&2z&&;=;&&-11-2x&&;+;&&y&&;+;&&2z&&;=;&&-3end{alignedat}}qquad }$

(S)

- линейная система.

С такой системой можно связать ее матрицу

${displaystyle M=left[{egin{array}{rrr}2&1&-1-3&-1&2-2&1&2end{array}}ight]{ ext{.}}}$

и его правый вектор-член

${displaystyle v={egin{bmatrix}8-11-3end{bmatrix}}.}$

Позволять Т - линейное преобразование, связанное с матрицей M. Решение системы (S) - вектор

${displaystyle X={egin{bmatrix}xyzend{bmatrix}}}$

такой, что

${displaystyle T(X)=v,}$

это элемент прообраз из v к Т.

Позволять (S ') быть ассоциированным однородная система, где правые части уравнений обнуляются:

${displaystyle {egin{alignedat}{7}2x&&;+;&&y&&;-;&&z&&;=;&&0-3x&&;-;&&y&&;+;&&2z&&;=;&&0-2x&&;+;&&y&&;+;&&2z&&;=;&&0end{alignedat}}qquad }$

(S ')

Решения (S ') являются в точности элементами ядро из Т или, что то же самое, M.

В Гауссово-исключение состоит из выполнения элементарные операции со строками на расширенная матрица

${displaystyle Mleft[{egin{array}{rrr|r}2&1&-1&8-3&-1&2&-11-2&1&2&-3end{array}}ight]}$

для того, чтобы положить это в сокращенная форма эшелона строки. Эти операции со строками не изменяют набор решений системы уравнений. В этом примере форма сокращенного эшелона

${displaystyle Mleft[{egin{array}{rrr|r}1&0&0&2�&1&0&3�&0&1&-1end{array}}ight],}$

показывая, что система (S) имеет единственное решение

${displaystyle {egin{aligned}x&=2y&=3z&=-1.end{aligned}}}$

Из этой матричной интерпретации линейных систем следует, что одни и те же методы могут применяться для решения линейных систем и для многих операций над матрицами и линейных преобразований, которые включают вычисление разряды, ядра, матрица обратная.

Эндоморфизмы и квадратные матрицы

Основная статья: Квадратная матрица

Линейный эндоморфизм линейная карта, отображающая векторное пространство V себе. Если V имеет основу п элементов, такой эндоморфизм представлен квадратной матрицей размера п.

Что касается общих линейных отображений, линейные эндоморфизмы и квадратные матрицы обладают некоторыми специфическими свойствами, которые делают их изучение важной частью линейной алгебры, которая используется во многих разделах математики, включая геометрические преобразования, координировать изменения, квадратичные формы, и многие другие разделы математики.

Детерминант

Основная статья: Детерминант

В детерминант квадратной матрицы А определяется как

${displaystyle sum _{sigma in S_{n}}(-1)^{sigma }a_{1sigma (1)}cdots a_{nsigma (n)},}$

куда ${displaystyle S_{n}}$ это группа всех перестановок из п элементы${displaystyle sigma }$ это перестановка, а ${displaystyle (-1)^{sigma }}$ то паритет перестановки. Матрица обратимый тогда и только тогда, когда определитель обратим (т.е. ненулевой, если скаляры принадлежат полю).

Правило Крамера это выражение в закрытой форме в детерминантах решения система п линейные уравнения в п неизвестные. Правило Крамера полезно для рассуждений о решении, но, за исключением п = 2 или же 3, он редко используется для вычисления решения, так как Гауссово исключение это более быстрый алгоритм.

В определитель эндоморфизма - определитель матрицы, представляющей эндоморфизм в терминах некоторого упорядоченного базиса. Это определение имеет смысл, поскольку этот определитель не зависит от выбора основы.

Собственные значения и собственные векторы

Основная статья: Собственные значения и собственные векторы

Если ж является линейным эндоморфизмом векторного пространства V над полем F, собственный вектор из ж ненулевой вектор v из V такой, что ж(v) = средний для некоторого скаляра а в F. Этот скаляр а является собственное значение из ж.

Если размер V конечно, и базис выбран, ж и v могут быть представлены соответственно квадратной матрицей M и матрица-столбец z; уравнение, определяющее собственные векторы и собственные значения, становится

${displaystyle Mz=az.}$

С использованием единичная матрица я, у которого все элементы равны нулю, кроме тех, которые находятся на главной диагонали, которые равны единице, это можно переписать

${displaystyle (M-aI)z=0.}$

В качестве z должно быть ненулевым, это означает, что M – aI это сингулярная матрица, и, следовательно, его определитель ${displaystyle det(M-aI)}$ равно нулю. Таким образом, собственные значения являются корни из многочлен

${displaystyle det(xI-M).}$

Если V имеет размер п, это монический многочлен степени п, называется характеристический многочлен матрицы (или эндоморфизма), и имеется не более п собственные значения.

Если существует базис, состоящий только из собственных векторов, матрица ж на этой основе имеет очень простую структуру: это диагональная матрица так что записи на главная диагональ являются собственными значениями, а остальные элементы равны нулю. В этом случае эндоморфизм и матрица называются диагонализуемый. В более общем смысле, эндоморфизм и матрица также называются диагонализуемыми, если они становятся диагонализуемыми после расширение поле скаляров. В этом расширенном смысле, если характеристический многочлен равен без квадратов, то матрица диагонализуема.

А симметричная матрица всегда диагонализуем. Существуют недиагонализируемые матрицы, простейшая из которых

${displaystyle {egin{bmatrix}0&1�&0end{bmatrix}}}$

(он не может быть диагонализован, поскольку его квадрат равен нулевая матрица, а квадрат ненулевой диагональной матрицы никогда не равен нулю).

Когда эндоморфизм не диагонализуем, существуют основания, на которых он имеет простую форму, хотя и не такую ​​простую, как диагональная. В Нормальная форма Фробениуса не требует расширения поля скаляров и делает характеристический многочлен сразу читаемым на матрице. В Нормальная форма Джордана требует расширения поля скаляра для содержания всех собственных значений и отличается от диагональной формы только некоторыми элементами, которые находятся чуть выше главной диагонали и равны 1.

Двойственность

Основная статья: Двойное пространство

А линейная форма линейная карта из векторного пространства V над полем F в поле скаляров F, рассматриваемое как векторное пространство над собой. Оборудовано точечно сложения и умножения на скаляр, линейные формы образуют векторное пространство, называемое двойное пространство из V, и обычно обозначается ${displaystyle V^{*}.}$

Если ${displaystyle v_{1},ldots ,v_{n}}$ является основой V (это означает, что V конечномерна), то можно определить для я = 1, ..., п, линейная карта ${displaystyle v_{i}^{*}}$ такой, что ${displaystyle v_{i}^{*}(e_{i})=1}$ и ${displaystyle v_{i}^{*}(e_{j})=0}$ если j ≠ я. Эти линейные карты составляют основу ${displaystyle V^{*},}$ называется двойная основа из ${displaystyle v_{1},ldots ,v_{n}.}$ (Если V не конечномерна, ${displaystyle v_{i}^{*}}$ можно определить аналогично; они линейно независимы, но не составляют основу.)

За v в V, карта

${displaystyle f o f(v)}$

является линейной формой на ${displaystyle V^{*}.}$ Это определяет каноническое линейное отображение из V в ${displaystyle V^{**},}$ двойник ${displaystyle V^{*},}$ называется двуручный из V. Эта каноническая карта является изоморфизм если V конечномерна, что позволяет идентифицировать V со своим бидуалом. (В бесконечномерном случае каноническое отображение инъективно, но не сюръективно.)

Таким образом, существует полная симметрия между конечномерным векторным пространством и двойственным ему. Это мотивирует частое использование в данном контексте обозначение бюстгальтера

${displaystyle langle f,xangle }$

для обозначения ж (Икс).

Двойная карта

Основная статья: Транспонировать линейную карту

Позволять

${displaystyle f:V o W}$

- линейная карта. Для любой линейной формы час на W, то составная функция час ∘ ж является линейной формой на V. Это определяет линейную карту

${displaystyle f^{*}:W^{*} o V^{*}}$

между двойственными пространствами, которое называется двойной или транспонировать из ж.

Если V и W конечномерны, а M матрица ж в терминах некоторых упорядоченных базисов, то матрица ${displaystyle f^{*}}$ над дуальными базами транспонировать ${displaystyle M^{mathsf {T}}}$ из M, полученный обменом строк и столбцов.

Если элементы векторных пространств и их двойники представлены векторами-столбцами, эта двойственность может быть выражена в обозначение бюстгальтера к

${displaystyle langle h^{mathsf {T}},Mvangle =langle h^{mathsf {T}}M,vangle .}$

Чтобы подчеркнуть эту симметрию, два члена этого равенства иногда записывают

${displaystyle langle h^{mathsf {T}}mid Mmid vangle .}$

Внутренние пространства продукта

Основная статья: Внутреннее пространство продукта

Помимо этих основных понятий, линейная алгебра также изучает векторные пространства с дополнительной структурой, такой как внутренний продукт. Внутренний продукт является примером билинейная форма, и он придает векторному пространству геометрическую структуру, позволяя определять длину и углы. Формально внутренний продукт это карта

${displaystyle langle cdot ,cdot angle :V imes Vightarrow F}$

который удовлетворяет следующим трем аксиомы для всех векторов ты, v, ш в V и все скаляры а в F:^[15][16]

• Конъюгировать симметрия:

${displaystyle langle u,vangle ={overline {langle v,uangle }}.}$

В р, она симметрична.

• Линейность в первом аргументе:

${displaystyle langle au,vangle =alangle u,vangle .}$

${displaystyle langle u+v,wangle =langle u,wangle +langle v,wangle .}$

• Положительная определенность:

${displaystyle langle v,vangle geq 0}$ с равенством только для v = 0.

Мы можем определить длину вектора v в V к

${displaystyle |v|^{2}=langle v,vangle ,}$

и мы можем доказать Неравенство Коши – Шварца:

${displaystyle |langle u,vangle |leq |u|cdot |v|.}$

В частности, количество

${displaystyle {frac {|langle u,vangle |}{|u|cdot |v|}}leq 1,}$

и поэтому мы можем назвать эту величину косинусом угла между двумя векторами.

Два вектора ортогональны, если ${displaystyle langle u,vangle =0}$. Ортонормированный базис - это базис, в котором все базисные векторы имеют длину 1 и ортогональны друг другу. Для любого конечномерного векторного пространства ортонормированный базис можно найти с помощью Грам – Шмидт процедура. С ортонормированными базами особенно легко иметь дело, поскольку если v = а₁ v₁ + ... + а_п v_п, тогда ${displaystyle a_{i}=langle v,v_{i}angle }$.

Внутренний продукт облегчает построение многих полезных концепций. Например, с учетом преобразования Т, мы можем определить его Эрмитово сопряжение Т * как линейное преобразование, удовлетворяющее

${displaystyle langle Tu,vangle =langle u,T^{*}vangle .}$

Если Т удовлетворяет TT * = Т * Т, мы называем Т нормальный. Оказывается, нормальные матрицы - это в точности матрицы, которые имеют ортонормированную систему собственных векторов, охватывающих V.

Связь с геометрией

Между линейной алгеброй и геометрия, который начался с введения Рене Декарт, в 1637 г. Декартовы координаты. В этой новой (на тот момент) геометрии, теперь называемой Декартова геометрия, точки представлены Декартовы координаты, представляющие собой последовательности трех действительных чисел (в случае обычного трехмерное пространство ). Основные объекты геометрии, которые линии и самолеты представлены линейными уравнениями. Таким образом, вычисление пересечений линий и плоскостей сводится к решению системы линейных уравнений. Это было одним из основных мотивов развития линейной алгебры.

Наиболее геометрическое преобразование, Такие как переводы, вращения, размышления, жесткие движения, изометрии, и прогнозы преобразовывать линии в линии. Отсюда следует, что их можно определять, уточнять и изучать в терминах линейных отображений. Это также относится к омографии и Преобразования Мебиуса, если рассматривать как преобразования проективное пространство.

До конца 19 века геометрические пространства определялись аксиомы связанные точки, линии и плоскости (синтетическая геометрия ). Примерно в это же время выяснилось, что геометрические пространства можно также определять конструкциями, включающими векторные пространства (см., Например, Проективное пространство и Аффинное пространство ). Было показано, что эти два подхода по существу эквивалентны.^[17] В классической геометрии задействованные векторные пространства являются векторными пространствами над вещественными числами, но конструкции могут быть расширены до векторных пространств над любым полем, что позволяет рассматривать геометрию над произвольными полями, включая конечные поля.

В настоящее время большинство учебников вводят геометрические пространства из линейной алгебры, а геометрия часто представлена ​​на элементарном уровне как подполе линейной алгебры.

Использование и приложения

Линейная алгебра используется почти во всех областях математики, что делает ее актуальной практически во всех научных областях, в которых используется математика. Эти приложения можно разделить на несколько широких категорий.

Геометрия окружающего пространства

В моделирование из окружающее пространство основан на геометрия. Науки, занимающиеся этой геометрией пространства, широко используют. Так обстоит дело с механика и робототехника, для описания динамика твердого тела; геодезия для описания Форма Земли; перспективность, компьютерное зрение, и компьютерная графика, для описания отношения между сценой и ее представлением на плоскости; и многие другие области науки.

Во всех этих приложениях синтетическая геометрия часто используется для общих описаний и качественного подхода, но для исследования явных ситуаций необходимо проводить вычисления с координаты. Это требует интенсивного использования линейной алгебры.

Функциональный анализ

Функциональный анализ исследования функциональные пространства. Это векторные пространства с дополнительной структурой, например Гильбертовы пространства. Таким образом, линейная алгебра является фундаментальной частью функционального анализа и его приложений, которые включают, в частности, квантовая механика (волновые функции ).

Исследование сложные системы

Большинство физических явлений моделируются уравнения в частных производных. Для их решения обычно разбивают пространство, в котором ищутся решения, на небольшие, взаимно взаимодействующие клетки. За линейные системы это взаимодействие включает линейные функции. За нелинейные системы, это взаимодействие часто аппроксимируется линейными функциями.^[b] В обоих случаях обычно используются очень большие матрицы. Прогноз погоды типичный пример, когда вся Земля атмосфера делится на ячейки, скажем, шириной 100 км и высотой 100 м.

Научные вычисления

Почти все научные вычисления включают линейную алгебру. Следовательно, алгоритмы линейной алгебры были сильно оптимизированы. BLAS и ЛАПАК являются наиболее известными реализациями. Для повышения эффективности некоторые из них настраивают алгоритмы автоматически во время выполнения, чтобы адаптировать их к особенностям компьютера (тайник размер, количество доступных ядра, ...).

Немного процессоры обычно графические процессоры (GPU), разработаны с матричной структурой для оптимизации операций линейной алгебры.

Расширения и обобщения

В этом разделе представлены несколько связанных тем, которые обычно не встречаются в учебниках по элементарной линейной алгебре, но обычно рассматриваются в продвинутой математике как части линейной алгебры.

Теория модулей

Основная статья: Модуль (математика)

Существование мультипликативных инверсий в полях не участвует в аксиомах, определяющих векторное пространство. Таким образом, можно заменить поле скаляров на звенеть р, и это дает структуру, называемую модуль над р, или же р-модуль.

Понятия линейной независимости, диапазона, базиса и линейных отображений (также называемых модульные гомоморфизмы ) определены для модулей точно так же, как для векторных пространств, с той существенной разницей, что если р это не поле, есть модули, не имеющие никакой основы. Модули, имеющие основу, являются бесплатные модули, а те, которые покрыты конечным множеством, являются конечно порожденные модули. Модульные гомоморфизмы между конечно порожденными свободными модулями могут быть представлены матрицами. Теория матриц над кольцом аналогична теории матриц над полем, за исключением того, что детерминанты существуют, только если кольцо коммутативный, и что квадратная матрица над коммутативным кольцом есть обратимый только если его определитель имеет мультипликативный обратный в ринге.

Векторные пространства полностью характеризуются своей размерностью (с точностью до изоморфизма). В общем, не существует такой полной классификации модулей, даже если ограничиться конечно порожденными модулями. Однако каждый модуль является коядро гомоморфизма свободных модулей.

Модули над целыми числами можно отождествить с абелевы группы, поскольку умножение на целое число может указывать на повторное сложение. Большая часть теории абелевых групп может быть распространена на модули над главная идеальная область. В частности, над областью главных идеалов каждый подмодуль свободного модуля свободен, и основная теорема о конечно порожденных абелевых группах может быть напрямую расширен до конечно порожденных модулей над главным кольцом.

Есть много колец, для которых существуют алгоритмы решения линейных уравнений и систем линейных уравнений. Однако эти алгоритмы обычно имеют вычислительная сложность что намного выше, чем аналогичные алгоритмы над полем. Подробнее см. Линейное уравнение над кольцом.

Полилинейная алгебра и тензоры

В полилинейная алгебра, рассматриваются многомерные линейные преобразования, то есть отображения, линейные по каждой из ряда различных переменных. Это направление исследования естественным образом приводит к идее двойное пространство, векторное пространство V^∗ состоящий из линейных карт ж: V → F куда F - поле скаляров. Многолинейные карты Т: V^п → F можно описать через тензорные произведения элементов V^∗.

Если, помимо векторного сложения и скалярного умножения, существует билинейное векторное произведение V × V → V, векторное пространство называется алгебра; например, ассоциативные алгебры - это алгебры с ассоциированным векторным произведением (например, алгебра квадратных матриц или алгебра многочленов).

Топологические векторные пространства

Основные статьи: Топологическое векторное пространство, Нормированное векторное пространство, и Гильбертово пространство

Векторные пространства, которые не являются конечномерными, часто требуют дополнительной структуры для обработки. А нормированное векторное пространство это векторное пространство вместе с функцией, называемой норма, который измеряет "размер" элементов. Норма индуцирует метрика, который измеряет расстояние между элементами и индуцирует топология, что позволяет определять непрерывные карты. Эта метрика также позволяет определить пределы и полнота - полное метрическое пространство называется Банахово пространство. Полное метрическое пространство вместе с дополнительной структурой внутренний продукт (сопряженная симметричная полуторалинейная форма ) известен как Гильбертово пространство, которое в некотором смысле является банаховым пространством с особенно хорошим поведением. Функциональный анализ применяет методы линейной алгебры наряду с методами математический анализ изучать различные функциональные пространства; центральными объектами изучения функционального анализа являются L^п пробелы, которые являются банаховыми пространствами, и особенно L² пространство квадратично интегрируемых функций, которое является единственным гильбертовым пространством среди них. Функциональный анализ имеет особое значение для квантовой механики, теории уравнений в частных производных, цифровой обработки сигналов и электротехники. Он также обеспечивает основу и теоретическую основу, лежащую в основе преобразования Фурье и связанных с ним методов.

Гомологическая алгебра

Основная статья: Гомологическая алгебра

Смотрите также

• Линейное уравнение над кольцом
• Фундаментальная матрица в компьютерное зрение
• Линейная регрессия, метод статистической оценки
• Список тем линейной алгебры
• Числовая линейная алгебра
• Линейное программирование
• Матрица трансформации

Примечания

1. Эта аксиома не утверждает ассоциативность операции, поскольку речь идет о двух операциях, скалярном умножении: bv; и умножение полей: ab.
2. Это может привести к тому, что некоторые физически интересные решения будут опущены.

Рекомендации

1. Банерджи, Судипто; Рой, Аниндья (2014), Линейная алгебра и матричный анализ для статистики, Тексты по статистике (1-е изд.), Chapman and Hall / CRC, ISBN  978-1420095388
2. Стрэнг, Гилберт (19 июля 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (4-е изд.), Брукс Коул, ISBN  978-0-03-010567-8
3. Вайсштейн, Эрик. "Линейная алгебра". Из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. Вольфрам. Получено 16 апреля 2012.
4. Харт, Роджер (2010). Китайские корни линейной алгебры. JHU Press. ISBN  9780801899584.
5. Витулли, Мари. «Краткая история линейной алгебры и теории матриц». Кафедра математики. Университет Орегона. Архивировано из оригинал на 2012-09-10. Получено 2014-07-08.
6. Бенджамин Пирс (1872) Линейная ассоциативная алгебра, литография, новое издание с исправлениями, примечаниями и добавленной статьей Пирса 1875 г., а также примечаниями его сына Чарльз Сандерс Пирс, опубликовано в Американский журнал математики v. 4, 1881, Университет Джона Хопкинса, стр. 221–226, Google Eprint и как отрывок из D. Van Nostrand, 1882, Google Eprint.
7. Роман (2005, гл. 1, стр. 27)
8. Акслер (2004 г., п. 55)
9. Акслер (2004 г., п. 33)
10. Антон (1987 г., п. 2)
11. Борегар и Фрали (1973), п. 65)
12. Бремя и ярмарки (1993, п. 324)
13. Голуб и Ван Лоан (1996), п. 87)
14. Харпер (1976), п. 57)
15. П. К. Джайн, Халил Ахмад (1995). «5.1 Определения и основные свойства пространств внутреннего продукта и гильбертовых пространств». Функциональный анализ (2-е изд.). New Age International. п. 203. ISBN  81-224-0801-X.
16. Эдуард Пруговецки (1981). «Определение 2.1». Квантовая механика в гильбертовом пространстве (2-е изд.). Академическая пресса. стр.18 ff. ISBN  0-12-566060-X.
17. Эмиль Артин (1957) Геометрическая алгебра Издатели Interscience

Источники

• Антон, Ховард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN  0-471-84819-0
• Акслер, Шелдон (26 февраля 2004 г.), Линейная алгебра сделано правильно (2-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-98258-8
• Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля, Бостон: Компания Houghton Mifflin, ISBN  0-395-14017-X
• Бэрден, Ричард Л .; Фэрс, Дж. Дуглас (1993), Числовой анализ (5-е изд.), Бостон: Принл, Вебер и Шмидт, ISBN  0-534-93219-3
• Golub, Gene H .; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Матричные вычисления, Исследования Джона Хопкинса по математическим наукам (3-е изд.), Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса, ISBN  978-0-8018-5414-9
• Харпер, Чарли (1976), Введение в математическую физику, Нью-Джерси: Prentice-Hall, ISBN  0-13-487538-9
• Роман, Стивен (22 марта 2005 г.), Продвинутая линейная алгебра, Тексты для выпускников по математике (2-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-24766-3

дальнейшее чтение

История

• Фернли-Сандер, Десмонд "Герман Грассман и создание линейной алгебры ", American Mathematical Monthly 86 (1979), стр. 809–817.
• Грассманн, Герман (1844), Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert, Лейпциг: О. Виганд

Вводные учебники

• Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (прикладная версия) (9-е изд.), Wiley International
• Банерджи, Судипто; Рой, Аниндья (2014), Линейная алгебра и матричный анализ для статистики, Тексты по статистике (1-е изд.), Chapman and Hall / CRC, ISBN  978-1420095388
• Бретчер, Отто (2004), Линейная алгебра с приложениями (3-е изд.), Прентис Холл, ISBN  978-0-13-145334-0
• Фарин, Джеральд; Хэнсфорд, Дайан (2004), Практическая линейная алгебра: набор инструментов для геометрии, А.К. Петерс, ISBN  978-1-56881-234-2
• Хефферон, Джим (2020). Линейная алгебра (4-е изд.). Анн-Арбор, Мичиган: Ортогональное издательство. ISBN  978-1-944325-11-4. OCLC  1178900366. ПР  30872051M.
• Колман, Бернард; Хилл, Дэвид Р. (2007), Элементарная линейная алгебра с приложениями (9-е изд.), Prentice Hall, ISBN  978-0-13-229654-0
• Лэй, Дэвид С. (2005), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Эддисон Уэсли, ISBN  978-0-321-28713-7
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл, ISBN  978-0-13-185785-8
• Мурти, Катта Г. (2014) Вычислительная и алгоритмическая линейная алгебра и n-мерная геометрия, Всемирное научное издательство, ISBN  978-981-4366-62-5. Глава 1: Системы одновременных линейных уравнений
• Пул, Дэвид (2010), Линейная алгебра: современное введение (3-е изд.), Cengage - Brooks / Cole, ISBN  978-0-538-73545-2
• Рикардо, Генри (2010), Современное введение в линейную алгебру (1-е изд.), CRC Press, ISBN  978-1-4398-0040-9
• Садун, Лоренцо (2008), Прикладная линейная алгебра: принцип развязки (2-е изд.), AMS, ISBN  978-0-8218-4441-0
• Стрэнг, Гилберт (2016), Введение в линейную алгебру (5-е изд.), Wellesley-Cambridge Press, ISBN  978-09802327-7-6
• Манга Руководство по линейной алгебре (2012), автор: Шин Такахаши, Ироха Иноуэ и Trend-Pro Co., Ltd., ISBN  978-1-59327-413-9

Продвинутые учебники

• Бхатия, Раджендра (15 ноября 1996 г.), Матричный анализ, Тексты для выпускников по математике, Спрингер, ISBN  978-0-387-94846-1
• Деммель, Джеймс У. (1 августа 1997 г.), Прикладная числовая линейная алгебра, СИАМ, ISBN  978-0-89871-389-3
• Дим, Гарри (2007), Линейная алгебра в действии, AMS, ISBN  978-0-8218-3813-6
• Гантмахер, Феликс Р. (2005), Приложения теории матриц, Dover Publications, ISBN  978-0-486-44554-0
• Гантмахер, Феликс Р. (1990), Матричная теория Vol. 1 (2-е изд.) Американского математического общества, ISBN  978-0-8218-1376-8
• Гантмахер, Феликс Р. (2000), Матричная теория Vol. 2 (2-е изд.) Американского математического общества, ISBN  978-0-8218-2664-5
• Гельфанд, Израиль М. (1989), Лекции по линейной алгебре, Dover Publications, ISBN  978-0-486-66082-0
• Глазман, И. М .; Любич, Ю. I. (2006), Конечномерный линейный анализ, Dover Publications, ISBN  978-0-486-45332-3
• Голан, Джонатан С. (январь 2007 г.), Линейная алгебра, которую должен знать начинающий аспирант (2-е изд.), Springer, ISBN  978-1-4020-5494-5
• Голан, Джонатан С. (август 1995 г.), Основы линейной алгебры, Клувер, ISBN  0-7923-3614-3
• Гройб, Вернер Х. (16 октября 1981 г.), Линейная алгебра, Тексты для выпускников по математике (4-е изд.), Springer, ISBN  978-0-8018-5414-9
• Хоффман, Кеннет; Кунце, Рэй (1971), Линейная алгебра (2-е изд.), Englewood Cliffs, N.J .: Prentice-Hall, Inc., МИСТЕР  0276251
• Халмос, Пол Р. (20 августа 1993 г.), Конечномерные векторные пространства, Тексты для бакалавриата по математике, Спрингер, ISBN  978-0-387-90093-3
• Фридберг, Стивен Х .; Insel, Arnold J .; Спенс, Лоуренс Э. (7 сентября 2018 г.), Линейная алгебра (5-е изд.), Пирсон, ISBN  978-0-13-486024-4
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (23 февраля 1990 г.), Матричный анализ, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-38632-6
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (24 июня 1994 г.), Темы матричного анализа, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-46713-1
• Ланг, Серж (9 марта 2004 г.), Линейная алгебра, Тексты для бакалавриата по математике (3-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-96412-6
• Маркус, Марвин; Минц, Хенрик (2010), Обзор теории матриц и матричных неравенств, Dover Publications, ISBN  978-0-486-67102-4
• Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра, Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN  978-0-89871-454-8, заархивировано из оригинал 31 октября 2009 г.
• Мирский, Л. (1990), Введение в линейную алгебру, Dover Publications, ISBN  978-0-486-66434-7
• Шафаревич, И.; Ремизов, А. О (2012), Линейная алгебра и геометрия, Springer, ISBN  978-3-642-30993-9
• Шилов, Георгий Э. (1 июня 1977 г.), Линейная алгебра, Dover Publications, ISBN  978-0-486-63518-7
• Шорс, Томас С. (6 декабря 2006 г.), Прикладная линейная алгебра и матричный анализ, Тексты для бакалавриата по математике, Springer, ISBN  978-0-387-33194-2
• Смит, Ларри (28 мая 1998 г.), Линейная алгебра, Тексты для бакалавриата по математике, Springer, ISBN  978-0-387-98455-1
• Trefethen, Lloyd N .; Бау, Дэвид (1997), Числовая линейная алгебра, СИАМ, ISBN  978-0-898-71361-9

Учебные пособия и схемы

• Ледук, Стивен А. (1 мая 1996 г.), Линейная алгебра (быстрый обзор скал), Заметки о скалах, ISBN  978-0-8220-5331-6
• Липшуц, Сеймур; Липсон, Марк (6 декабря 2000 г.), Схема линейной алгебры Шаума (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-136200-9
• Липшуц, Сеймур (1 января 1989 г.), 3000 решенных задач линейной алгебры, Макгроу – Хилл, ISBN  978-0-07-038023-3
• МакМахон, Дэвид (28 октября 2005 г.), Демистификация линейной алгебры, McGraw – Hill Professional, ISBN  978-0-07-146579-3
• Чжан, Фучжэнь (7 апреля 2009 г.), Линейная алгебра: сложные задачи для студентов, Издательство Университета Джона Хопкинса, ISBN  978-0-8018-9125-0

внешняя ссылка

Интернет-ресурсы

• Видеолекции по линейной алгебре MIT, цикл из 34 записанных лекций профессора Гилберт Стрэнг (Весна 2010 г.)
• Международное общество линейной алгебры
• "Линейная алгебра", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Линейная алгебра на MathWorld
• Термины матрицы и линейной алгебры на Самые ранние известные варианты использования некоторых слов математики
• Самые ранние случаи использования символов для матриц и векторов на Самые ранние случаи использования различных математических символов
• Сущность линейной алгебры, видеопрезентация от 3Синий 1Коричневый основ линейной алгебры с акцентом на взаимосвязь между геометрической, матричной и абстрактной точками зрения

Интернет-книги

• Маргалит, Дан; Рабинофф, Джозеф (2019). Интерактивная линейная алгебра. Технологический институт Джорджии, Атланта, Джорджия: Самостоятельное издание.
• Бизер, Роберт А. (2009) [2004]. Первый курс линейной алгебры. Гейнсвилл, Флорида: Университетское издательство Флориды. ISBN  9781616100049.
• Коннелл, Эдвин Х. (2004) [1999]. Элементы абстрактной и линейной алгебры. Университет Майами, Корал-Гейблс, Флорида: Самостоятельное издание.
• Хефферон, Джим (2020). Линейная алгебра (4-е изд.). Анн-Арбор, Мичиган: Ортогональное издательство. ISBN  978-1-944325-11-4. OCLC  1178900366. ПР  30872051M.
• Мэтьюз, Кейт, Элементарная линейная алгебра
• Микаэлян, Ваагн, Линейная алгебра, теория и алгоритмы
• Шарипов, Руслан, Курс линейной алгебры и многомерной геометрии
• Трейл, Сергей, Линейная алгебра сделана неправильно