Характеристический полином - Characteristic polynomial

Эта статья посвящена характеристическому многочлену матрицы или эндоморфизму векторных пространств. По поводу характеристического полинома матроида см. Matroid. Чтобы узнать о градуированном позе, см. Градуированный посет.

В линейная алгебра, то характеристический многочлен из квадратная матрица это многочлен который инвариантен относительно матричное подобие и имеет собственные значения в качестве корни. Он имеет детерминант и след матрицы среди ее коэффициентов. В характеристический многочлен из эндоморфизм из векторные пространства конечной размерности - характеристический многочлен матрицы эндоморфизма над любой базой; это не зависит от выбора основа. В характеристическое уравнение, также известный как детерминантное уравнение,^[1][2][3] - уравнение, полученное приравниванием нулю характеристического многочлена.

В спектральная теория графов, то характеристический многочлен график - характеристический многочлен его матрица смежности.^[4]

Мотивация

Учитывая квадратную матрицу А, мы хотим найти многочлен, нули которого являются собственными значениями А. Для диагональная матрица А, характеристический полином легко определить: если диагональные элементы а₁, а₂, а₃и т.д., то характеристический многочлен будет:

${\displaystyle (t-a_{1})(t-a_{2})(t-a_{3})\cdots .}$

Это работает, потому что диагональные элементы также являются собственными значениями этой матрицы.

Для общей матрицы А, можно поступить следующим образом. Скаляр λ является собственным значением А тогда и только тогда, когда существует ненулевой вектор v, называется собственный вектор, так что

${\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}$

или, что то же самое,

${\displaystyle (\lambda I-A)\mathbf {v} =0}$

(куда я это единичная матрица ). С v должно быть ненулевым, это означает, что матрица λI – А имеет ненулевой ядро. Таким образом, эта матрица не обратимый, и то же самое верно для его детерминант, который, следовательно, должен быть равен нулю. Таким образом, собственные значения А являются корни из det (λI – А), который является полиномом от λ.

Формальное определение

Мы считаем п×п матрица А. Характеристический многочлен А, обозначаемый п_А(т), - многочлен, определяемый формулой^[5]

${\displaystyle p_{A}(t)=\det \left(tI-A\right)}$

куда я обозначает п×п единичная матрица.

Некоторые авторы определяют характеристический многочлен как det (А – tI). Этот многочлен отличается от указанного здесь знаком (−1)^п, поэтому это не имеет значения для таких свойств, как наличие в качестве корней собственных значений А; однако приведенное выше определение всегда дает монический многочлен, тогда как альтернативное определение является моническим только тогда, когда п даже.

Примеры

Предположим, мы хотим вычислить характеристический многочлен матрицы

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}2&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

Теперь вычислим детерминант из

${\displaystyle tI-A={\begin{pmatrix}t-2&-1\\1&t-0\end{pmatrix}}}$

который ${\displaystyle (t-2)t-1(-1)=t^{2}-2t+1\,\!,}$ характеристический многочлен А.

Другой пример использует гиперболические функции из гиперболический угол φ. В качестве матрицы возьмем

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}\cosh(\varphi )&\sinh(\varphi )\\\sinh(\varphi )&\cosh(\varphi )\end{pmatrix}}.}$

Его характеристический полином равен

${\displaystyle \det(tI-A)=(t-\cosh(\varphi ))^{2}-\sinh ^{2}(\varphi )=t^{2}-2t\ \cosh(\varphi )+1=(t-e^{\varphi })(t-e^{-\varphi }).}$

Характеристики

Характеристический многочлен п_А(т) из п×п матрица моническая (ее старший коэффициент равен 1) и ее степень п. Самый важный факт о характеристическом полиноме уже упоминался в мотивационном абзаце: собственные значения А точно корни из п_А(т) (это справедливо и для минимальный многочлен из А, но его степень может быть меньше п). Все коэффициенты характеристического полинома равны полиномиальные выражения в элементах матрицы. В частности, его постоянный коэффициент п_А (0) является det (-А) = (−1)^п det (А), коэффициент т^п равен единице, а коэффициент при т^п−1 является tr (-А) = −tr (А), куда tr (А) это след изА. (Знаки, приведенные здесь, соответствуют формальному определению, данному в предыдущем разделе;^[6] для альтернативного определения это будет det (А) и (−1)^{п – 1} tr (А) соответственно.^[7])

Для матрицы 2 × 2 А, характеристический многочлен, таким образом, имеет вид

${\displaystyle t^{2}-\operatorname {tr} (A)t+\det(A).}$

Используя язык внешняя алгебра, можно компактно выразить характеристический многочлен п×п матрица А в качестве

${\displaystyle p_{A}(t)=\sum _{k=0}^{n}t^{n-k}(-1)^{k}\operatorname {tr} (\Lambda ^{k}A)}$

где tr (Λ^kА) - это след из k^th внешняя сила из А, имеющий размерность ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$. Этот след можно вычислить как сумму всех основные несовершеннолетние из А размера k. Рекурсивный Алгоритм Фаддеева – Леверье вычисляет эти коэффициенты более эффективно.

Когда характеристика из поле коэффициентов равно 0, каждая такая трасса может быть альтернативно вычислена как единственный определитель, определяющий k×k матрица

${\displaystyle \operatorname {tr} (\Lambda ^{k}A)={\frac {1}{k!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&k-1&0&\cdots &\\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&k-2&\cdots &\\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\\operatorname {tr} A^{k-1}&\operatorname {tr} A^{k-2}&&\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{k}&\operatorname {tr} A^{k-1}&&\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.}$

В Теорема Кэли – Гамильтона заявляет, что замена т к А в характеристическом полиноме (интерпретируя результирующие степени как степени матрицы, а постоянный член c в качестве c умноженное на единичную матрицу) дает нулевую матрицу. Неформально говоря, каждая матрица удовлетворяет собственному характеристическому уравнению. Это утверждение эквивалентно утверждению, что минимальный многочлен из А делит характеристический многочлен А.

Два аналогичные матрицы имеют одинаковый характеристический многочлен. Обратное, однако, в общем случае неверно: две матрицы с одинаковым характеристическим полиномом не обязательно должны быть похожими.

Матрица А и это транспонировать имеют одинаковый характеристический многочлен. А похож на треугольная матрица если и только если его характеристический многочлен можно полностью разложить на линейные множители над K (то же самое верно и с минимальным многочленом вместо характеристического многочлена). В этом случае А похожа на матрицу в Нормальная форма Джордана.

Характеристический многочлен произведения двух матриц

Если А и B два квадрата п × п матрицы, то характеристические многочлены от AB и BA совпадают:

${\displaystyle p_{AB}(t)=p_{BA}(t).\,}$

Когда А является неособый этот результат следует из того, что AB и BA находятся похожий:

${\displaystyle BA=A^{-1}(AB)A.}$

Для случая, когда оба А и B сингулярны, можно заметить, что искомым тождеством является равенство многочленов от т и коэффициенты матриц. Таким образом, чтобы доказать это равенство, достаточно доказать, что оно проверяется на непустом открытое подмножество (для обычного топология, или, в более общем смысле, для Топология Зарисского ) пространства всех коэффициентов. Поскольку неособые матрицы образуют такое открытое подмножество пространства всех матриц, это доказывает результат.

В более общем смысле, если А матрица порядка м × п и B матрица порядка п × м, тогда AB является м × м и BA является п × п матрица, и одна

${\displaystyle p_{BA}(t)=t^{n-m}p_{AB}(t).\,}$

Чтобы доказать это, можно предположить п > м, путем обмена, если необходимо, А и B. Затем, окаймляя А внизу п – м ряды нулей и B справа, мимо, п – м столбцы нулей, получается два п × п матрицы А ' и B ' такой, что B'A ' = BA, и A'B ' равно AB граничит с п – м строки и столбцы нулей. Результат следует из случая квадратных матриц, сравнивая характеристические многочлены матрицы A'B ' и AB.

Характеристический полином от А^k

Если ${\displaystyle \lambda }$ является собственным значением квадратной матрицы А с собственным вектором v, то ясно ${\displaystyle \lambda ^{k}}$ является собственным значением А^k

${\displaystyle A^{k}{\textbf {v}}=A^{k-1}A{\textbf {v}}=\lambda A^{k-1}{\textbf {v}}=\dots =\lambda ^{k}{\textbf {v}}.}$

Можно показать, что кратности также согласуются, и это обобщается на любой многочлен вместо ${\displaystyle x^{k}}$:^[8]

Теорема —  Позволять А быть квадратом п × п матрица и пусть ${\displaystyle f(t)}$ - многочлен. Если характеристический многочлен А имеет факторизацию

${\displaystyle p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})(t-\lambda _{2})\cdots (t-\lambda _{n})}$

то характеристический многочлен матрицы ${\displaystyle f(A)}$ дан кем-то

${\displaystyle p_{f(A)}(t)=(t-f(\lambda _{1}))(t-f(\lambda _{2}))\cdots (t-f(\lambda _{n})).}$

То есть алгебраическая кратность ${\displaystyle \lambda }$ в ${\displaystyle f(A)}$ равна сумме алгебраических кратностей ${\displaystyle \lambda '}$ в ${\displaystyle A}$ над ${\displaystyle \lambda '}$ такой, что ${\displaystyle f(\lambda ')=\lambda }$.Особенно, ${\displaystyle \operatorname {tr} (f(A))=\textstyle \sum _{i=1}^{n}f(\lambda _{i})}$ и ${\displaystyle \operatorname {det} (f(A))=\textstyle \prod _{i=1}^{n}f(\lambda _{i})}$.Здесь полином ${\displaystyle f(t)=t^{3}+1}$, например, оценивается по матрице А просто как ${\displaystyle f(A)=A^{3}+1}$.

Теорема применима к матрицам и многочленам над любым полем или коммутативное кольцо.^[9]Однако предположение, что ${\displaystyle p_{A}(t)}$ разложение на линейные множители не всегда верно, если только матрица не превышает алгебраически замкнутое поле такие как комплексные числа.

Доказательство

Это доказательство применимо только к матрицам и многочленам над комплексными числами (или к любому алгебраически замкнутому полю). В этом случае характеристический многочлен любой квадратной матрицы всегда можно разложить на множители как ${\displaystyle p_{A}(t)=(t-\lambda _{1})(t-\lambda _{2})\cdots (t-\lambda _{n})}$ куда ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}}$ являются собственными значениями ${\displaystyle A}$, возможно, повторяется. Теорема Жордана о разложении гарантирует, что любая квадратная матрица ${\displaystyle A}$ можно разложить как ${\displaystyle A=S^{-1}US}$, куда ${\displaystyle S}$ является обратимая матрица и ${\displaystyle U}$ является верхний треугольный с ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$ на диагонали (каждое собственное значение повторяется в соответствии с его алгебраической кратностью) (жорданова нормальная форма имеет более сильные свойства, но их достаточно; в качестве альтернативы Разложение Шура можно использовать, что менее популярно, но несколько легче доказать). Позволять ${\displaystyle f(t)=\textstyle \sum _{i}\alpha _{i}t^{i}}$.Потом ${\displaystyle f(A)=\textstyle \sum \alpha _{i}(S^{-1}US)^{i}=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}USS^{-1}US\cdots S^{-1}US=\textstyle \sum \alpha _{i}S^{-1}U^{i}S=S^{-1}(\textstyle \sum \alpha _{i}U^{i})S=S^{-1}f(U)S}$. Легко проверить верхнетреугольную матрицу ${\displaystyle U}$ с диагональю ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$, матрица ${\displaystyle U^{i}}$ верхнетреугольный с диагональю ${\displaystyle \lambda _{1}^{i},\dots ,\lambda _{n}^{i}}$ в ${\displaystyle U^{i}}$,и поэтому ${\displaystyle f(U)}$ верхнетреугольный с диагональю ${\displaystyle f(\lambda _{1}),\dots ,f(\lambda _{n})}$, Следовательно, собственные значения ${\displaystyle f(U)}$ находятся ${\displaystyle f(\lambda _{1}),\dots ,f(\lambda _{n})}$.С ${\displaystyle f(A)=S^{-1}f(U)S}$ является похожий к ${\displaystyle f(U)}$, он имеет те же собственные значения с той же алгебраической кратностью.

Секулярная функция и секулярное уравнение

Светская функция

Период, термин светская функция был использован для того, что сейчас называется характеристический многочлен (в некоторой литературе до сих пор используется термин светская функция). Термин происходит от того факта, что характеристический многочлен использовался для вычисления светские волнения (в масштабе века, т.е. медленном по сравнению с годовым движением) планетных орбит, согласно Лагранж Русская теория колебаний.

Светское уравнение

Светское уравнение может иметь несколько значений.

• В линейная алгебра иногда его используют вместо характеристического уравнения.
• В астрономия это алгебраическое или численное выражение величины неравенств в движении планеты, которые остаются после того, как неравенства короткого периода были учтены.^[10]

• В молекулярная орбиталь В расчетах, касающихся энергии электрона и его волновой функции, оно также используется вместо характеристического уравнения.

Для общих ассоциативных алгебр

Приведенное выше определение характеристического полинома матрицы ${\displaystyle A\in M_{n}(F)}$ с записями в поле F обобщает без изменений случай, когда F это просто коммутативное кольцо. Гарибальди (2004) определяет характеристический многочлен для элементов произвольного конечномерного (ассоциативный, но не обязательно коммутативная) алгебра над полем F и доказывает стандартные свойства характеристического многочлена в этой общности.

Смотрите также

• Характеристическое уравнение (значения)
• Минимальный многочлен (линейная алгебра)
• Инварианты тензоров
• Сопутствующая матрица
• Алгоритм Фаддеева – Леверье
• Теорема Кэли – Гамильтона
• Алгоритм Самуэльсона – Берковица

Рекомендации

1. Гиймен, Эрнст (1953). Теория вводных схем. Вайли. С. 366, 541. ISBN  0471330663. Сложить резюме.
2. Форсайт, Джордж Э .; Моцкин, Теодор (январь 1952 г.). «Расширение преобразования Гаусса для улучшения состояния систем линейных уравнений» (PDF). Американское математическое общество - математика вычислений. 6 (37): 18–34. Получено 3 октября 2020.
3. Франк, Эвелин (1946). «О нулях многочленов с комплексными коэффициентами». Бюллетень Американского математического общества. 52 (2): 144–157. Получено 3 октября 2020. Сложить резюме.
4. "Характеристический многочлен графа - Wolfram MathWorld". Получено 26 августа, 2011.
5. Стивен Роман (1992). Продвинутая линейная алгебра (2-е изд.). Springer. п.137. ISBN  3540978372.
6. Предложение 28 в этих конспект лекций^{[постоянная мертвая ссылка ]}
7. Теорема 4 в этих конспект лекций
8. Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. С. 108–109, раздел 2.4.2. ISBN  978-0-521-54823-6.
9. Ланг, Серж (1993). Алгебра. Нью-Йорк: Спрингер. с.567, теорема 3.10. ISBN  978-1-4613-0041-0. OCLC  852792828.
10. "светское уравнение". Получено 21 января, 2010.

• Т.С. Блит и Э.Ф. Робертсон (1998) Базовая линейная алгебра, стр. 149, Springer ISBN  3-540-76122-5 .
• Джон Б. Фролей и Раймонд А. Борегар (1990) Линейная алгебра 2-е издание, стр. 246, Эддисон-Уэсли ISBN  0-201-11949-8 .
• Гарибальди, Скип (2004), «Характеристический многочлен и определитель не являются специальными конструкциями», Американский математический ежемесячный журнал, 111 (9): 761–778, arXiv:математика / 0203276, Дои:10.2307/4145188, МИСТЕР  2104048
• Вернер Грой (1974) Линейная алгебра 4-е издание, стр. 120–5, Springer, ISBN  0-387-90110-8 .
• Пол С. Шилдс (1980) Элементарная линейная алгебра 3-е издание, стр. 274, Стоящие издатели ISBN  0-87901-121-1 .
• Гилберт Стрэнг (1988) Линейная алгебра и ее приложения 3-е издание, стр. 246, Брукс / Коул ISBN  0-15-551005-3 .