Внешний продукт - Outer product

Не путать с Внешний продукт.

В линейная алгебра, то внешний продукт из двух векторы координат это матрица. Если два вектора имеют размеры п и м, то их внешний продукт - п × м матрица. В более общем плане, учитывая два тензоры (многомерные массивы чисел), их внешнее произведение - тензор. Внешнее произведение тензоров также называется их тензорное произведение, и может использоваться для определения тензорная алгебра.

Внешний вид изделия контрастирует с

• В скалярное произведение, который принимает пару координатных векторов в качестве входных данных и производит скаляр
• В Кронекер продукт, который принимает пару матриц в качестве входных данных и создает блочную матрицу
• Стандартное матричное умножение

Определение

Учитывая два вектора

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=\left(u_{1},u_{2},\dots ,u_{m}\right)\\\mathbf {v} &=\left(v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}\right)\end{aligned}}}$

их внешний продукт, обозначенный ты ⊗ v,^[1] определяется как м × п матрица А полученный путем умножения каждого элемента ты каждым элементом v:^[2]

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&\dots &u_{1}v_{n}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&\dots &u_{2}v_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\u_{m}v_{1}&u_{m}v_{2}&\dots &u_{m}v_{n}\end{bmatrix}}}$

Или в индексной записи:

${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{ij}=u_{i}v_{j}}$

Внешний продукт ты ⊗ v эквивалентно матричное умножение УФ^Т, при условии, что ты представлен как м × 1 вектор столбца и v как п × 1 вектор-столбец (который делает v^Т вектор-строка).^[3][4] Например, если м = 4 и п = 3, тогда

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&u_{1}v_{3}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&u_{2}v_{3}\\u_{3}v_{1}&u_{3}v_{2}&u_{3}v_{3}\\u_{4}v_{1}&u_{4}v_{2}&u_{4}v_{3}\end{bmatrix}}.}$^[5]

За сложный векторов, часто бывает полезно взять сопряженный транспонировать из v, обозначенный ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\dagger }}$или же ${\displaystyle \left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}}$ :

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\dagger }=\mathbf {u} \left(\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)^{*}}$.

Контраст с евклидовым внутренним продуктом

Если м = п, то можно взять матричное произведение другим способом, получив скаляр (или 1 × 1 матрица):

${\displaystyle \left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \right\rangle =\mathbf {u} ^{\textsf {T}}\mathbf {v} }$

что является стандартом внутренний продукт за Евклидовы векторные пространства,^[4] более известный как скалярное произведение. Внутренний продукт - это след внешнего продукта.^[6] в отличие от внутренний продукт, внешний продукт не коммутативен.

Внешнее произведение тензоров

Учитывая два тензора ты, v с размерами ${\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m})}$ и ${\displaystyle (l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})}$, их внешний продукт ${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }$ тензор размерности ${\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m},l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})}$ и записи

${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{i_{1},i_{2},\dots i_{m},j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}=u_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m}}v_{j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}}$

Например, если А имеет порядок 3 с размерами (3, 5, 7) и B имеет порядок 2 с размерами (10, 100), то их внешний продукт C порядка 5 с размерами (3, 5, 7, 10, 100). Если А имеет компонент А_{[2, 2, 4]} = 11 и B имеет компонент B_{[8, 88]} = 13, то составляющая C образованный внешний продукт C_{[2, 2, 4, 8, 88]} = 143.

Связь с продуктом Кронекера

Внешний продукт и продукт Кронекера тесно связаны; фактически для обозначения обеих операций обычно используется один и тот же символ.

Если ${\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ и ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}4&5\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$, у нас есть:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} &={\begin{bmatrix}4\\5\\8\\10\\12\\15\end{bmatrix}},&\mathbf {u} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {v} &={\begin{bmatrix}4&5\\8&10\\12&15\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

В случае векторов-столбцов произведение Кронекера можно рассматривать как форму векторизация (или сплющивание) внешнего продукта. В частности, для двух векторов-столбцов ${\displaystyle \mathbf {u} }$ и ${\displaystyle \mathbf {v} }$, мы можем написать:

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} =\operatorname {vec} (\mathbf {v} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {u} )}$

Обратите внимание, что порядок векторов в правой части уравнения обратный.

Еще одна похожая идентичность, которая еще больше подчеркивает сходство между операциями, -

${\displaystyle \mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} ^{\textsf {T}}=\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}=\mathbf {u} \otimes _{\mathrm {outer} }\mathbf {v} }$

где порядок векторов не нужно менять. Среднее выражение использует умножение матриц, где векторы рассматриваются как матрицы столбцов / строк.

Характеристики

Внешнее произведение векторов удовлетворяет следующим свойствам:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )^{\textsf {T}}&=(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )\\(\mathbf {v} +\mathbf {w} )\otimes \mathbf {u} &=\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {w} \otimes \mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} \\c(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )&=(c\mathbf {v} )\otimes \mathbf {u} =\mathbf {v} \otimes (c\mathbf {u} )\end{aligned}}}$

Внешнее произведение тензоров удовлетворяет дополнительному ассоциативность свойство:

${\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} =\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )}$

Ранг внешнего продукта

Если ты и v оба ненулевые, то внешняя матрица произведения УФ^Т всегда есть ранг матрицы 1. Действительно, все столбцы внешнего продукта пропорциональны первому столбцу. Таким образом, они все линейно зависимый в этом столбце, следовательно, матрица имеет ранг один.

(«Матричный ранг» не следует путать с «тензорный порядок ", или" тензорная степень ", которую иногда называют" рангом ".)

Определение (аннотация)

Позволять V и W быть двумя векторные пространства. Внешний продукт ${\displaystyle v\in V}$ и ${\displaystyle w\in W}$ это элемент ${\displaystyle v\otimes w\in V\otimes W}$.

Если V является внутреннее пространство продукта, то внешний продукт можно определить как линейную карту V → W. В этом случае линейная карта ${\displaystyle x\mapsto \langle v,x\rangle }$ является элементом двойное пространство из V. Внешний продукт V → W тогда дается

${\displaystyle (v\otimes w)(x)=\langle v,x\rangle w}$

Это показывает, почему сопряженное транспонирование v обычно используется в сложном случае.

В языках программирования

В некоторых языках программирования с учетом функции с двумя аргументами ж (или бинарный оператор), внешний продукт ж и два одномерных массива А и B это двумерный массив C такой, что C [i, j] = f (A [i], B [j]). Синтаксически это представлено различными способами: в APL, как инфиксный бинарный оператор ∘.ж; в J, как постфиксное наречие ж/; в р, как функция внешний(А, B, ж) или специальные % o%;^[7] в Mathematica, так как Внешний[ж,А,B]. В MATLAB функция крон(А, B) используется для этого продукта. Они часто обобщаются на многомерные аргументы и более чем на два аргумента.

в Python библиотека NumPy, внешний продукт может быть вычислен с помощью функции np.outer ().^[8]В отличие, np.kron приводит к плоскому массиву. Внешнее произведение многомерных массивов может быть вычислено с помощью np.multiply.outer.

Приложения

Поскольку внешний продукт тесно связан с Кронекер продукт, в некоторых приложениях продукта Kronecker используются внешние продукты. Эти приложения находятся в квантовой теории, обработка сигналов, и сжатие изображений.^[9]

Спиноры

Предполагать s, t, w, z ∈ ℂ, так что (с, т) и (ш, г) находятся в ℂ². Тогда внешнее произведение этих комплексных 2-векторов является элементом M (2, ℂ), комплексных матриц 2 × 2:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}sw&tw\\sz&tz\end{pmatrix}}.}$ В детерминант этой матрицы SWTZ − sztw = 0 из-за коммутативная собственность из ℂ.

В теории спиноры в трех измерениях, эти матрицы связаны с изотропные векторы из-за этого нулевого свойства. Эли Картан описал эту конструкцию в 1937 г.,^[10] но это было введено Вольфганг Паули в 1927 г.^[11] так что M (2, ℂ) стал называться Алгебра Паули.

Концепции

Блочная форма внешних продуктов полезна при классификации. Анализ концепции это исследование, которое зависит от определенных внешних продуктов:

Когда вектор имеет только нули и единицы в качестве записей, он называется логический вектор, частный случай логическая матрица. Логическая операция и занимает место умножения. Внешнее произведение двух логических векторов (ты_я) и (v_j) задается логической матрицей ${\displaystyle \left(a_{ij}\right)=\left(u_{i}\land v_{j}\right)}$. Этот тип матрицы используется при исследовании бинарные отношения, и называется прямоугольное отношение или кросс-вектор.^[12]

Смотрите также

• Диадики
• Преобразование домохозяина
• Норма (математика)
• Матрица разброса
• Исчисление Риччи

Товары

• Декартово произведение
• Перекрестный продукт
• Внешний продукт
• Произведение Адамара

Двойственность

• Комплексное сопряжение
• Конъюгат транспонировать
• Транспонировать
• Обозначение бюстгальтера для внешнего продукта

Рекомендации

1. «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-09-07.
2. Lerner, R.G .; Тригг, Г. Л. (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). VHC. ISBN  0-89573-752-3.
3. Lipschutz, S .; Липсон, М. (2009). Линейная алгебра. Очерки Шаума (4-е изд.). Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-07-154352-1.
4. Келлер, Франк (23 февраля 2020 г.). «Алгебраические свойства матриц; транспонирование; внутренний и внешний продукт» (PDF). inf.ed.ac.uk. Получено 6 сентября, 2020.
5. Джеймс М. Ортега (1987) Матричная теория: второй курс, стр. 7, Пленум Пресс ISBN  0-306-42433-9
6. Стенгель, Роберт Ф. (1994). Оптимальное управление и оценка. Нью-Йорк: Dover Publications. п. 26. ISBN  0-486-68200-5.
7. "внешняя функция | Документация по R". www.rdocumentation.org. Получено 2020-09-07.
8. "numpy.outer - Руководство NumPy v1.19". numpy.org. Получено 2020-09-07.
9. Стиб, Вилли-Ханс; Харди, Йорик (2011). «Приложения (Глава 3)». Матричное исчисление и произведение Кронекера: практический подход к линейной и полилинейной алгебре (2-е изд.). World Scientific. ISBN  981-4335-31-2.
10. Эли Картан (1937) Lecons sur la theorie des spineurs, переведено 1966 г .: Теория спиноров, Герман, Париж
11. Пертти Лаунесто (1997) Алгебры и спиноры Клиффорда, стр. 51, Издательство Кембриджского университета ISBN  0-521-59916-4
12. Ки Ханг Ким (1982) Теория логических матриц и приложения, стр. 37, Марсель Деккер ISBN  0-8247-1788-0

дальнейшее чтение

• Карлен, Эрик; Кансикао Карвалью, Мария (2006). «Внешние продукты и ортогональные проекции». Линейная алгебра: с самого начала. Макмиллан. С. 217–218.