Конъюгат транспонировать - Conjugate transpose

Сюда перенаправляется «сопряженная матрица». Для транспонирования кофактора см. Адъюгированная матрица.

В математика, то сопряженный транспонировать (или же Эрмитово транспонирование) из м-к-п матрица ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ с сложный записи, это п-к-м матрица, полученная из ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ взяв транспонировать а затем взяв комплексно сопряженный каждой записи (комплексное сопряжение ${\displaystyle a+ib}$ существование ${\displaystyle a-ib}$, для действительных чисел ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$). Часто обозначается как ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ или же ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}}$.^[1][2][3]

Для реальных матриц сопряженное транспонирование - это просто транспонирование, ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}$.

Определение

Сопряженное транспонирование ${\displaystyle m\times n}$ матрица ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ формально определяется как

${\displaystyle \left({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }\right)_{ij}={\overline {{\boldsymbol {A}}_{ji}}}}$

(Уравнение 1)

где нижние индексы обозначают ${\displaystyle (i,j)}$-я запись, для ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ и ${\displaystyle 1\leq j\leq m}$, а черта сверху обозначает скалярное комплексное сопряжение.

Это определение также можно записать как^[3]

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }=\left({\overline {\boldsymbol {A}}}\right)^{\mathsf {T}}={\overline {{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}}}$

куда ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}}$ обозначает транспонирование и ${\displaystyle {\overline {\boldsymbol {A}}}}$ обозначает матрицу с комплексно сопряженными элементами.

Другие названия сопряженного транспонирования матрицы: Эрмитово сопряжение, зубчатая матрица, сопряженная матрица или же трансъюгировать. Сопряженное транспонирование матрицы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ можно обозначить любым из этих символов:

• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}}$, обычно используется в линейная алгебра^[3]
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$, обычно используется в линейной алгебре^[1]
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\dagger }}$ (иногда произносится как А кинжал ), обычно используемый в квантовая механика
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{+}}$, хотя этот символ чаще используется для обозначения Псевдообратная матрица Мура – ​​Пенроуза

В некоторых случаях ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{*}}$ обозначает матрицу только с комплексно сопряженными элементами и без транспонирования.

Пример

Предположим, мы хотим вычислить сопряженное транспонирование следующей матрицы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}}}$

Сначала транспонируем матрицу:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}}}$

Затем мы сопрягаем каждую запись матрицы:

${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}}$

Основные замечания

Квадратная матрица ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ с записями ${\displaystyle a_{ij}}$ называется

• Эрмитский или же самосопряженный если ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$; т.е. ${\displaystyle a_{ij}={\overline {a_{ji}}}}$ .
• Косой эрмит или антиэрмитский, если ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$; т.е. ${\displaystyle a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}}$ .
• Нормальный если ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$.
• Унитарный если ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{-1}}$, что эквивалентно ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {I}}}$, что эквивалентно ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {I}}}$.

Даже если ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ не квадрат, две матрицы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ являются одновременно эрмитскими и фактически положительные полуопределенные матрицы.

Сопряженная транспонированная «сопряженная» матрица ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ не следует путать с сопоставлять, ${\displaystyle \operatorname {adj} ({\boldsymbol {A}})}$, который также иногда называют прилегающий.

Сопряженное транспонирование матрицы ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ с настоящий записи сводятся к транспонировать из ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, поскольку сопряжение действительного числа - это само число.

Мотивация

Сопряженное транспонирование может быть мотивировано тем, что комплексные числа могут быть удобно представлены вещественными матрицами 2 × 2, подчиняясь сложению и умножению матриц:

${\displaystyle a+ib\equiv {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.}$

То есть обозначая каждый сложный номер z посредством настоящий 2 × 2 матрица линейного преобразования на Диаграмма Аргана (рассматривается как настоящий векторное пространство ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$), подверженных сложному z-умножение на ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Таким образом, м-к-п Матрица комплексных чисел может быть хорошо представлена ​​2мна 2п матрица действительных чисел. Следовательно, сопряженное транспонирование возникает очень естественно как результат простого транспонирования такой матрицы - если снова рассматривать его как п-к-м матрица, составленная из комплексных чисел.

Свойства сопряженного транспонирования

• ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }+{\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }}$ для любых двух матриц ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ и ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ таких же размеров.
• ${\displaystyle (z{\boldsymbol {A}})^{\mathrm {H} }={\overline {z}}{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ для любого комплексного числа ${\displaystyle z}$ и любой м-к-п матрица ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.
• ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}})^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {B}}^{\mathrm {H} }{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ для любого м-к-п матрица ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ и любой п-к-п матрица ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$. Обратите внимание, что порядок факторов обратный.^[2]
• ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} })^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {A}}}$ для любого м-к-п матрица ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, т.е. эрмитова транспозиция - это инволюция.
• Если ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ квадратная матрица, то ${\displaystyle \operatorname {det} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} })={\overline {\operatorname {det} ({\boldsymbol {A}})}}}$ куда ${\displaystyle \operatorname {det} (A)}$ обозначает детерминант из ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ .
• Если ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ квадратная матрица, то ${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} })={\overline {\operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}})}}}$ куда ${\displaystyle \operatorname {tr} (A)}$ обозначает след из ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.
• ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ является обратимый если и только если ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ обратима, и в этом случае ${\displaystyle ({\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} })^{-1}=({\boldsymbol {A}}^{-1})^{\mathrm {H} }}$.
• В собственные значения из ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ являются комплексно сопряженными собственные значения из ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$.
• ${\displaystyle \langle {\boldsymbol {A}}x,y\rangle _{m}=\langle x,{\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }y\rangle _{n}}$ для любого м-к-п матрица ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$, любой вектор в ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ и любой вектор ${\displaystyle y\in \mathbb {C} ^{m}}$. Здесь, ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{m}}$ обозначает стандартный комплекс внутренний продукт на ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m}}$, и аналогично для ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{n}}$.

Обобщения

Последнее свойство, приведенное выше, показывает, что если кто-либо ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$ как линейное преобразование из Гильбертово пространство ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ к ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m},}$ тогда матрица ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\mathrm {H} }}$ соответствует сопряженный оператор из ${\displaystyle {\boldsymbol {A}}}$. Таким образом, понятие сопряженных операторов между гильбертовыми пространствами можно рассматривать как обобщение сопряженного транспонирования матриц по отношению к ортонормированному базису.

Есть еще одно обобщение: предположим ${\displaystyle A}$ линейная карта из комплекса векторное пространство ${\displaystyle V}$ другому, ${\displaystyle W}$, то комплексно сопряженное линейное отображение так же хорошо как транспонированная линейная карта определены, и поэтому мы можем взять сопряженное транспонирование ${\displaystyle A}$ быть комплексным сопряжением транспонирования ${\displaystyle A}$. Он отображает сопряженное двойной из ${\displaystyle W}$ к сопряженному двойственному ${\displaystyle V}$.

Смотрите также

• Сложный точечный продукт
• Эрмитово сопряженный
• Адъюгированная матрица

Рекомендации

1. «Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Получено 2020-09-08.
2. Вайсштейн, Эрик В. "Сопряженное транспонирование". mathworld.wolfram.com. Получено 2020-09-08.
3. "сопряженное транспонирование". planetmath.org. Получено 2020-09-08.

внешняя ссылка

• «Сопряженная матрица», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]