Унитарная матрица - Unitary matrix

Для матриц с ортогональностью по настоящий номер поле, см. ортогональная матрица. Об ограничении на разрешенную эволюцию квантовых систем, которое гарантирует, что сумма вероятностей всех возможных исходов любого события всегда равна 1, см. унитарность.

В линейная алгебра, а сложный квадратная матрица U является унитарный если это сопряженный транспонировать U^* также его обратный, то есть если

${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}=I,}$

куда я это единичная матрица.

В физике, особенно в квантовой механике, Эрмитово сопряженный матрицы обозначается кинжал (†) и приведенное выше уравнение принимает вид

${\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I.}$

Действительным аналогом унитарной матрицы является ортогональная матрица. Унитарные матрицы имеют большое значение в квантовой механике, потому что они сохраняют нормы, и поэтому, амплитуды вероятности.

Характеристики

Для любой унитарной матрицы U конечного размера выполняется следующее:

• Учитывая два комплексных вектора Икс и у, умножение на U сохраняет их внутренний продукт; то есть, ⟨Ux, Уй⟩ = ⟨Икс, у⟩.
• U является нормальный (${\displaystyle U^{*}U=UU^{*}}$).
• U является диагонализуемый; то есть, U является унитарно похожий к диагональной матрице, как следствие спектральная теорема. Таким образом, U имеет разложение вида

${\displaystyle U=VDV^{*},}$

куда V унитарен, и D диагональна и унитарна.

• ${\displaystyle \left|\operatorname {det} (U)\right|=1}$.
• Его собственные подпространства ортогональны.
• U можно записать как U = е^яЧАС, куда е указывает на матрица экспонента, я - мнимая единица, а ЧАС это Эрмитова матрица.

Для любого неотрицательного целое число п, набор всех п × п унитарные матрицы с матричным умножением образует группа, называется унитарная группа U (п).

Любая квадратная матрица с единичной евклидовой нормой является средним значением двух унитарных матриц.^[1]

Эквивалентные условия

Если U является квадратной комплексной матрицей, то следующие условия эквивалентны:^[2]

1. U унитарен.
2. U^∗ унитарен.
3. U обратимо с U⁻¹ = U^∗.
4. Столбцы U для мужчин ортонормированный базис из ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ по отношению к обычному внутреннему продукту. Другими словами, U^∗U =я.
5. Ряды U образуют ортонормированный базис ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ по отношению к обычному внутреннему продукту. Другими словами, U U^∗ = я.
6. U является изометрия относительно обычной нормы. То есть, ${\displaystyle \|Ux\|_{2}=\|x\|_{2}}$ для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$, куда ${\displaystyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}$.
7. U это нормальная матрица (эквивалентно, существует ортонормированный базис, образованный собственными векторами U) с собственные значения лежа на единичный круг.

Элементарные конструкции

2 × 2 унитарная матрица

Общее выражение 2 × 2 унитарная матрица

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix}},\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1,}$

которая зависит от 4-х реальных параметров (фаза а, фаза б, относительная величина между а и б, а угол φ). В детерминант такой матрицы

${\displaystyle \det(U)=e^{i\varphi }.}$

Подгруппа этих элементов ${\displaystyle U}$ с ${\displaystyle \det(U)=1}$ называется особая унитарная группа СУ (2).

Матрица U также можно записать в этой альтернативной форме:

${\displaystyle U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\varphi _{1}}\cos \theta &e^{i\varphi _{2}}\sin \theta \\-e^{-i\varphi _{2}}\sin \theta &e^{-i\varphi _{1}}\cos \theta \\\end{bmatrix}},}$

который, вводя φ₁ = ψ + Δ и φ₂ = ψ - Δ, принимает следующую факторизацию:

${\displaystyle U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta }&0\\0&e^{-i\Delta }\end{bmatrix}}.}$

Это выражение подчеркивает связь между 2 × 2 унитарные матрицы и 2 × 2 ортогональные матрицы угла θ.

Другая факторизация^[3]

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \beta &\sin \beta \\-\sin \beta &\cos \beta \\\end{bmatrix}}.}$

Возможны многие другие факторизации унитарной матрицы в базовые матрицы.

Смотрите также

• Эрмитова матрица
• Разложение матрицы
• Ортогональная группа O (п)
• Специальная ортогональная группа SO (п)
• Ортогональная матрица
• Квантовый логический вентиль
• Специальная унитарная группа SU (п)
• Симплектическая матрица
• Унитарная группа U (п)
• Унитарный оператор

Рекомендации

1. Ли, Чи-Квонг; Пун, Эдвард (2002). «Аддитивное разложение вещественных матриц». Линейная и полилинейная алгебра. 50 (4): 321–326. Дои:10.1080/03081080290025507.
2. Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (2013). Матричный анализ. Издательство Кембриджского университета. Дои:10.1017/9781139020411. ISBN  9781139020411.
3. Führ, Hartmut; Жешотник, Ziemowit (2018). «Замечание о факторинге унитарных матриц». Линейная алгебра и ее приложения. 547: 32–44. Дои:10.1016 / j.laa.2018.02.017. ISSN  0024-3795.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Унитарная матрица». MathWorld. Тодд Роуленд.
• Иванова, О. А. (2001) [1994], «Унитарная матрица», Энциклопедия математики, EMS Press
• «Покажите, что собственные значения унитарной матрицы имеют модуль 1». Обмен стеком. 28 марта 2016 г.