Альтернантная матрица - Alternant matrix

Не путать с знакопеременная матрица.

В линейная алгебра, альтернативная матрица это матрица формируется путем поточечного применения конечного списка функций к фиксированному столбцу входных данных. An альтернативный определитель это детерминант квадратной альтернативной матрицы.

Обычно, если ${displaystyle f_{1},f_{2},dots f_{n}}$ являются функциями из множества ${displaystyle X}$ в поле ${displaystyle F}$, и ${displaystyle {alpha _{1},alpha _{2},...alpha _{m}}in X}$, то альтернантная матрица имеет размер ${displaystyle m imes n}$ и определяется

${displaystyle M={egin{bmatrix}f_{1}(alpha _{1})&f_{2}(alpha _{1})&dots &f_{n}(alpha _{1})f_{1}(alpha _{2})&f_{2}(alpha _{2})&dots &f_{n}(alpha _{2})f_{1}(alpha _{3})&f_{2}(alpha _{3})&dots &f_{n}(alpha _{3})vdots &vdots &ddots &vdots f_{1}(alpha _{m})&f_{2}(alpha _{m})&dots &f_{n}(alpha _{m})end{bmatrix}}}$

или, более компактно,${displaystyle M_{ij}=f_{j}(alpha _{i})}$. (Некоторые авторы используют транспонировать приведенной выше матрицы.) Примеры альтернативных матриц включают Матрицы Вандермонда, для которого ${displaystyle f_{j}(alpha )=alpha ^{j-1}}$, и Матрицы Мура, для которого ${displaystyle f_{j}(alpha )=alpha ^{q^{j-1}}}$.

Свойства

• Альтернант можно использовать для проверки линейная независимость функций ${displaystyle f_{1},f_{2},dots f_{n}}$ в функциональное пространство. Например, пусть ${displaystyle f_{1}(x)=sin(x),f_{2}(x)=cos(x)}$ и выберите ${displaystyle alpha _{1}=0,alpha _{2}=pi /2}$. Тогда альтернант - это матрица ${displaystyle {egin{bmatrix}0&11&0end{bmatrix}}}$ а альтернативный определитель ${displaystyle -1eq 0}$. Следовательно M обратима, а векторы ${displaystyle {sin(x),cos(x)}}$ составляют основу их остовного множества: в частности, ${displaystyle sin(x)}$ и ${displaystyle cos(x)}$ линейно независимы.

• Линейная зависимость столбцов альтернанта делает не подразумевают, что функции линейно зависимы в функциональном пространстве. Например, пусть ${displaystyle f_{1}(x)=sin(x),f_{2}(x)=cos(x)}$ и выберите ${displaystyle alpha _{1}=0,alpha _{2}=pi }$. Тогда альтернант ${displaystyle {egin{bmatrix}0&1�&-1end{bmatrix}}}$ а альтернативный определитель равен 0, но мы уже видели, что ${displaystyle sin(x)}$ и ${displaystyle cos(x)}$ линейно независимы.

• Несмотря на это, альтернант можно использовать для нахождения линейной зависимости, если уже известно, что она существует. Например, мы знаем из теории частичные фракции что есть реальные числа А и B для которого ${displaystyle {frac {A}{x+1}}+{frac {B}{x+2}}={frac {1}{(x+1)(x+2)}}.}$ Выбор ${displaystyle f_{1}(x)={frac {1}{x+1}},f_{2}(x)={frac {1}{x+2}},f_{3}={frac {1}{(x+1)(x+2)}}}$ и ${displaystyle (alpha _{1},alpha _{2},alpha _{3})=(1,2,3)}$, получаем альтернативу ${displaystyle {egin{bmatrix}1/2&1/3&1/61/3&1/4&1/121/4&1/5&1/20end{bmatrix}}sim {egin{bmatrix}1&0&1�&1&-1�&0&0end{bmatrix}}.}$ Следовательно ${displaystyle (1,-1,-1)}$ находится в пустое пространство матрицы: то есть ${displaystyle f_{1}-f_{2}-f_{3}=0}$. Переезд ${displaystyle f_{3}}$ к другой части уравнения дает разложение на частную дробь ${displaystyle A=1,B=-1}$.

• Если ${displaystyle n=m}$ и ${displaystyle alpha _{i}=alpha _{j}}$ для любого ${displaystyle ieq j}$, то определитель альтернативы равен нулю (при повторении строки).

• Если ${displaystyle n=m}$ и функции ${displaystyle f_{j}(x)}$ все являются полиномами, то ${displaystyle (alpha _{j}-alpha _{i})}$ делит альтернативный определитель на все ${displaystyle 1leq i<jleq n}$. В частности, если V это Матрица Вандермонда, тогда ${displaystyle prod _{i<j}(alpha _{j}-alpha _{i})=det V}$ делит такие полиномиальные альтернативные определители. Соотношение ${displaystyle {frac {det M}{det V}}}$ поэтому является полиномом от ${displaystyle alpha _{1},...,alpha _{m}}$ называется двунаправленный. В Полином Шура ${displaystyle s_{(lambda _{1},dots ,lambda _{n})}}$ классически определяется как биальтернант многочленов ${displaystyle f_{j}(x)=x^{lambda _{j}}}$.

Приложения

• Альтернативные матрицы используются в теория кодирования в строительстве альтернативные коды.

Смотрите также

• Список матриц
• Вронскиан

использованная литература

• Томас Мьюир (1960). Трактат по теории детерминант. Dover Publications. стр.321 –363.
• А. К. Эйткен (1956). Детерминанты и матрицы. Оливер и Бойд, Ltd., стр. 111–123.
• Ричард П. Стэнли (1999). Перечислительная комбинаторика. Издательство Кембриджского университета. стр.334 –342.