Нильпотентная матрица - Nilpotent matrix

В линейная алгебра, а нильпотентная матрица это квадратная матрица N такой, что

${\displaystyle N^{k}=0\,}$

для некоторых положительных целое число ${\displaystyle k}$. Самый маленький такой ${\displaystyle k}$ называется индекс из ${\displaystyle N}$^[1], иногда степень из ${\displaystyle N}$.

В более общем плане нильпотентное преобразование это линейное преобразование ${\displaystyle L}$ из векторное пространство такой, что ${\displaystyle L^{k}=0}$ для некоторого положительного целого числа ${\displaystyle k}$ (и поэтому, ${\displaystyle L^{j}=0}$ для всех ${\displaystyle j\geq k}$).^[2][3][4] Обе эти концепции являются частными случаями более общей концепции нильпотентность это относится к элементам кольца.

Примеры

Пример 1

Матрица

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}}$

нильпотентна с индексом 2, так как ${\displaystyle A^{2}=0}$.

Пример 2

В общем, любой ${\displaystyle n}$-размерный треугольная матрица с нулями вдоль главная диагональ нильпотентен, с индексом ${\displaystyle \leq n}$. Например, матрица

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}$

нильпотентен, с

${\displaystyle B^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ B^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ B^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Индекс ${\displaystyle B}$ поэтому 4.

Пример 3

Хотя приведенные выше примеры имеют большое количество нулевых элементов, типичная нильпотентная матрица этого не делает. Например,

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{bmatrix}}\qquad C^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

хотя в матрице нет нулевых записей.

Пример 4

Кроме того, любые матрицы вида

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{1}&\cdots &a_{1}\\a_{2}&a_{2}&\cdots &a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&\ldots &-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}\end{bmatrix}}}$

Такие как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}5&5&5\\6&6&6\\-11&-11&-11\end{bmatrix}}}$

или же

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\4&4&4&4\\-7&-7&-7&-7\end{bmatrix}}}$

квадрат к нулю.

Пример 5

Пожалуй, одними из самых ярких примеров нильпотентных матриц являются ${\displaystyle n\times n}$ квадратные матрицы вида:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&2&2&\cdots &1-n\\n+2&1&1&\cdots &-n\\1&n+2&1&\cdots &-n\\1&1&n+2&\cdots &-n\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \end{bmatrix}}}$

Первые из них:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&-1\\4&-2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&-2\\5&1&-3\\1&5&-3\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&-3\\6&1&1&-4\\1&6&1&-4\\1&1&6&-4\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&2&-4\\7&1&1&1&-5\\1&7&1&1&-5\\1&1&7&1&-5\\1&1&1&7&-5\end{bmatrix}}\qquad \ldots }$

Эти матрицы нильпотентны, но в любых их степенях, меньших индекса, нет нулевых элементов.^[5]

Характеристика

Для ${\displaystyle n\times n}$ квадратная матрица ${\displaystyle N}$ с настоящий (или же сложный ) записи эквивалентны:

• ${\displaystyle N}$ нильпотентен.
• В характеристический многочлен за ${\displaystyle N}$ является ${\displaystyle \det \left(xI-N\right)=x^{n}}$.
• В минимальный многочлен за ${\displaystyle N}$ является ${\displaystyle x^{k}}$ для некоторого положительного целого числа ${\displaystyle k\leq n}$.
• Единственное комплексное собственное значение для ${\displaystyle N}$ равно 0.
• tr (N^k) = 0 для всех ${\displaystyle k>0}$.

Последняя теорема верна для матриц над любым поле характеристики 0 или достаточно большой характеристики. (ср. Личности Ньютона )

Эта теорема имеет несколько следствий, в том числе:

• Индекс ${\displaystyle n\times n}$ нильпотентная матрица всегда меньше или равна ${\displaystyle n}$. Например, каждый ${\displaystyle 2\times 2}$ нильпотентная матрица обращается в ноль.
• В детерминант и след нильпотентной матрицы всегда равны нулю. Следовательно, нильпотентная матрица не может быть обратимый.
• Единственный нильпотентный диагонализуемая матрица - нулевая матрица.

Классификация

Рассмотрим ${\displaystyle n\times n}$ матрица сдвига:

${\displaystyle S={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.}$

Эта матрица имеет единицы вдоль супердиагональ и 0 везде. В качестве линейного преобразования матрица сдвига "сдвигает" компоненты вектора на одну позицию влево, при этом ноль появляется в последней позиции:

${\displaystyle S(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(x_{2},\ldots ,x_{n},0).}$^[6]

Эта матрица нильпотентна со степенью ${\displaystyle n}$, и является канонический нильпотентная матрица.

В частности, если ${\displaystyle N}$ - любая нильпотентная матрица, то ${\displaystyle N}$ является похожий к блочно-диагональная матрица формы

${\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{bmatrix}}}$

где каждый из блоков ${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots ,S_{r}}$ - матрица сдвига (возможно, разных размеров). Эта форма является частным случаем Иорданская каноническая форма для матриц.^[7]

Например, любая ненулевая нильпотентная матрица 2 × 2 аналогична матрице

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.}$

То есть, если ${\displaystyle N}$ - любая ненулевая нильпотентная матрица 2 × 2, то существует базис б₁, б₂ такой, что Nб₁ = 0 и Nб₂ = б₁.

Эта классификационная теорема верна для матриц над любым поле. (Необязательно, чтобы поле было алгебраически замкнутым.)

Флаг подпространств

Нильпотентное преобразование ${\displaystyle L}$ на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ естественно определяет флаг подпространств

${\displaystyle \{0\}\subset \ker L\subset \ker L^{2}\subset \ldots \subset \ker L^{q-1}\subset \ker L^{q}=\mathbb {R} ^{n}}$

и подпись

${\displaystyle 0=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{q-1}<n_{q}=n,\qquad n_{i}=\dim \ker L^{i}.}$

Подпись характеризует ${\displaystyle L}$ вплоть до обратимый линейное преобразование. Кроме того, он удовлетворяет неравенствам

${\displaystyle n_{j+1}-n_{j}\leq n_{j}-n_{j-1},\qquad {\mbox{for all }}j=1,\ldots ,q-1.}$

И наоборот, любая последовательность натуральных чисел, удовлетворяющая этим неравенствам, является сигнатурой нильпотентного преобразования.

Дополнительные свойства

• Если ${\displaystyle N}$ нильпотентен, то ${\displaystyle I+N}$ и ${\displaystyle I-N}$ находятся обратимый, куда ${\displaystyle I}$ это ${\displaystyle n\times n}$ единичная матрица. Обратные значения даются выражением

${\displaystyle {\begin{aligned}(I+N)^{-1}&=\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\left(-N\right)^{m}=I-N+N^{2}-N^{3}+N^{4}-N^{5}+N^{6}-N^{7}+\cdots ,\\(I-N)^{-1}&=\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }N^{m}=I+N+N^{2}+N^{3}+N^{4}+N^{5}+N^{6}+N^{7}+\cdots \\\end{aligned}}}$

Так долго как ${\displaystyle N}$ нильпотентна, обе суммы сходятся, так как только конечное число членов ненулевое.

• Если ${\displaystyle N}$ нильпотентен, то

${\displaystyle \det(I+N)=1,\!\,}$

куда ${\displaystyle I}$ обозначает ${\displaystyle n\times n}$ единичная матрица. Наоборот, если ${\displaystyle A}$ матрица и

${\displaystyle \det(I+tA)=1\!\,}$

для всех значений ${\displaystyle t}$, тогда ${\displaystyle A}$ нильпотентен. Фактически, поскольку ${\displaystyle p(t)=\det(I+tA)-1}$ является многочленом степени ${\displaystyle n}$, этого достаточно для ${\displaystyle n+1}$ различные ценности ${\displaystyle t}$.

• Каждый сингулярная матрица можно записать как произведение нильпотентных матриц.^[8]
• Нильпотентная матрица - это частный случай сходящаяся матрица.

Обобщения

А линейный оператор ${\displaystyle T}$ является локально нильпотентный если для каждого вектора ${\displaystyle v}$, существует ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ такой, что

${\displaystyle T^{k}(v)=0.\!\,}$

Для операторов в конечномерном векторном пространстве локальная нильпотентность эквивалентна нильпотентности.

Примечания

1. Герштейн (1975, п. 294)
2. Борегар и Фрали (1973), п. 312)
3. Герштейн (1975, п. 268)
4. Неринг (1970 г., п. 274)
5. Мерсер, Идрис Д. (31 октября 2005 г.). "Нахождение" неочевидных "нильпотентных матриц" (PDF). math.sfu.ca. самоиздан; личные данные: кандидат математических наук, Университет Саймона Фрейзера. Получено 22 августа 2020.
6. Борегар и Фрали (1973), п. 312)
7. Борегар и Фрали (1973), стр. 312, 313)
8. Р. Салливан, Произведения нильпотентных матриц, Линейная и полилинейная алгебра, Vol. 56, № 3

Рекомендации

• Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля, Бостон: Houghton Mifflin Co., ISBN  0-395-14017-X
• Герштейн, И. (1975), Темы по алгебре (2-е изд.), Джон Уайли и сыновья
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, LCCN  76091646

внешняя ссылка

• Нильпотентная матрица и нильпотентное преобразование на PlanetMath.