Флаг (линейная алгебра) - Flag (linear algebra)

В математика, особенно в линейная алгебра, а флаг это возрастающая последовательность подпространства конечномерного векторное пространство V. Здесь «возрастающий» означает, что каждое является собственным подпространством следующего (см. фильтрация ):

${\displaystyle \{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.}$

Если мы напишем тусклый V_я = d_я тогда у нас есть

${\displaystyle 0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,}$

где п это измерение из V (предполагается конечномерным). Следовательно, мы должны иметь k ≤ п. Флаг называется полный флаг если d_я = я для всех я, иначе это называется частичный флаг.

Частичный флаг может быть получен из полного флага путем удаления некоторых подпространств. И наоборот, любой частичный флаг может быть дополнен (многими различными способами) путем вставки подходящих подпространств.

В подпись флага - последовательность (d₁, … d_k).

При определенных условиях результирующая последовательность напоминает флаг с точкой, соединенной с линией, соединенной с поверхностью.

Базы

Заказанный основа за V называется адаптированным к флагу, если первый d_я базисные векторы составляют основу V_я для каждого 0 ≤ я ≤ k. Стандартные аргументы линейной алгебры могут показать, что любой флаг имеет адаптированный базис.

Любая упорядоченная основа порождает полный флаг, позволяя V_я быть размахом первого я базисные векторы. Например, стандартный флаг в р^п индуцируется из стандартная основа (е₁, ..., е_п) где е_я обозначает вектор с единицей в я-й слот и 0 в другом месте. Конкретно стандартный флаг - это подпространства:

${\displaystyle 0<\left\langle e_{1}\right\rangle <\left\langle e_{1},e_{2}\right\rangle <\cdots <\left\langle e_{1},\ldots ,e_{n}\right\rangle =K^{n}.}$

Адаптированный базис почти никогда не бывает уникальным (тривиальные контрпримеры); Смотри ниже.

Полный флаг на внутреннее пространство продукта имеет по сути уникальный ортонормированный базис: он уникален вплоть до умножения каждого вектора на единицу (скаляр единичной длины, например 1, -1, я). Проще всего доказать индуктивно, отметив, что ${\displaystyle v_{i}\in V_{i-1}^{\perp }<V_{i}}$, что однозначно определяет его с точностью до единицы.

Говоря более абстрактно, он уникален до действия максимальный тор: флаг соответствует Группа Бореля, а внутренний продукт соответствует максимальная компактная подгруппа.^[1]

Стабилизатор

Подгруппа стабилизатора стандартного флага - это группа обратимых верхний треугольный матрицы.

В более общем смысле, стабилизатор флага ( линейные операторы на V такой, что ${\displaystyle T(V_{i})<V_{i}}$ для всех я) в терминах матрицы алгебра блока верхний треугольный матрицы (относительно адаптированного базиса), где размеры блоков ${\displaystyle d_{i}-d_{i-1}}$. Подгруппа стабилизатора полного флага - это множество обратимых верхний треугольный матрицы по любому базису, адаптированные к флагу. Подгруппа нижний треугольный матрицы относительно такого базиса зависит от этого базиса и, следовательно, может нет можно охарактеризовать только с точки зрения флага.

Подгруппа стабилизатора любого полного флага - это Подгруппа Бореля (из общая линейная группа ), а стабилизатором любых частичных флагов является параболическая подгруппа.

Подгруппа стабилизатора флага действует просто транзитивно на адаптированных основаниях для флага, и, следовательно, они не уникальны, если стабилизатор не является тривиальным. Это очень исключительное обстоятельство: это происходит только для векторного пространства размерности 0 или для векторного пространства над ${\displaystyle \mathbf {F} _{2}}$ размерности 1 (именно в тех случаях, когда существует только один базис, независимо от любого флага).

Подпространственное гнездо

В бесконечномерном пространстве V, как используется в функциональный анализ, идея флага обобщается на гнездо подпространства, а именно набор подпространств V это общий заказ для включения и которая в дальнейшем замкнута относительно произвольных пересечений и замкнутых линейных пролетов. Увидеть алгебра гнезда.

Теоретико-множественные аналоги

Дальнейшая информация: Поле с одним элементом

С точки зрения поле с одним элементом, множество можно рассматривать как векторное пространство над полем с одним элементом: это формализует различные аналогии между Группы Кокстера и алгебраические группы.

При этом соответствии порядок на множестве соответствует максимальному флагу: порядок эквивалентен максимальной фильтрации множества. Например, фильтрация (флаг) ${\displaystyle \{0\}\subset \{0,1\}\subset \{0,1,2\}}$ соответствует заказу ${\displaystyle (0,1,2)}$.

Смотрите также

• Фильтрация (математика)
• Флаговый коллектор
• Грассманиан
• Matroid

использованная литература

1. Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс, п. 95. Спрингер. ISBN  0387974954.

• Шафаревич, И.; Ремизов А.О. (2012). Линейная алгебра и геометрия. Springer. ISBN  978-3-642-30993-9.