Математика - Mathematics

Эта статья посвящена области обучения. Для использования в других целях см. Математика (значения) и Математика (значения).

Греческий математик Евклид (держа суппорты ), 3 век до н.э., как это представлял Рафаэль в этой детали из Афинская школа (1509–1511)^[а]

Математика (из Греческий: μάθημα, матема, 'знание, изучение, обучение') включает изучение таких тем, как количество (теория чисел ),^[1] структура (алгебра ),^[2] Космос (геометрия ),^[1] и изменять (математический анализ ).^[3][4][5] Не имеет общепринятых определение.^[6][7]

Математики ищут и используют узоры^[8][9] сформулировать новые догадки; они решают правда или ложь математическое доказательство. Когда математические структуры являются хорошими моделями реальных явлений, математические рассуждения можно использовать для получения понимания или предсказаний о природе. За счет использования абстракция и логика, математика развивалась из подсчет, расчет, измерение, и систематическое изучение формы и движения из физические объекты. Практическая математика была человеческой деятельностью с давних времен. письменные записи существовать. В исследование для решения математических задач могут потребоваться годы или даже столетия непрерывных исследований.

Строгие аргументы впервые появился в Греческая математика, особенно в Евклид с Элементы.^[10] Начиная с новаторской работы Джузеппе Пеано (1858–1932), Дэвид Гильберт (1862–1943) и др. по аксиоматическим системам в конце 19 века, стало обычным рассматривать математические исследования как установление истины путем тщательный вычет из правильно выбранных аксиомы и определения. Математика развивалась относительно медленно, пока эпоха Возрождения, когда математические инновации взаимодействуют с новыми научные открытия привело к быстрому увеличению скорости математических открытий, которое продолжается и по сей день.^[11]

Математика важна во многих областях, в том числе естественные науки, инженерное дело, лекарство, финансы, а социальные науки. Прикладная математика привело к появлению совершенно новых математических дисциплин, таких как статистика и теория игры. Математики занимаются чистая математика (математика сама по себе), не имея в виду какого-либо приложения, но практические применения того, что начиналось как чистая математика, часто обнаруживаются позже.^[12][13]

История

Основная статья: История математики

Историю математики можно рассматривать как постоянно увеличивающийся ряд абстракции. Первая абстракция, которую разделяют многие животные,^[14] Вероятно, это были числа: осознание того, что набор из двух яблок и набор из двух апельсинов (например) имеют нечто общее, а именно количество их членов.

Как свидетельствует подсчеты на кости, в дополнение к распознаванию того, как считать физические объекты, доисторический люди, возможно, также научились считать абстрактные величины, такие как время - дни, времена года или годы.^[15][16]

Вавилонская математическая табличка Плимптон 322, датированная 1800 годом до нашей эры.

Доказательства более сложной математики появляются только примерно в 3000 г.до н.э, когда Вавилоняне и египтяне начали использовать арифметика, алгебра и геометрия для налогообложения и других финансовых расчетов, для строительства, а также для астрономия.^[17] Древнейшие математические тексты из Месопотамия и Египет относятся к периоду с 2000 по 1800 год до нашей эры.^[18] Во многих ранних текстах упоминается Пифагорейские тройки и поэтому, по заключению, теорема Пифагора кажется самым древним и широко распространенным математическим развитием после основ арифметики и геометрии.^[19] Он находится в Вавилонская математика который элементарная арифметика (добавление, вычитание, умножение и разделение ) впервые появляются в археологической летописи. Вавилоняне также обладали системой позиционного значения и использовали шестидесятеричный система счисления ^[19] который до сих пор используется для измерения углов и времени.^[20]

Архимед использовал метод истощения приблизить значение число Пи.

Начиная с VI века до н.э. Пифагорейцы, то Древние греки начал систематическое изучение математики как самостоятельного предмета с Греческая математика.^[21] Около 300 г. до н.э., Евклид представил аксиоматический метод все еще используется в математике сегодня, состоит из определения, аксиомы, теоремы и доказательства. Его учебник Элементы широко считается самым успешным и влиятельным учебником всех времен.^[22] Величайшего математика древности часто считают Архимед (ок. 287–212 до н. э.) Сиракузы.^[23] Он разработал формулы для расчета площади поверхности и объема твердые тела вращения и использовал метод истощения рассчитать площадь под дугой парабола с суммирование бесконечного ряда, в манере, не слишком отличной от современной математики.^[24] Другие известные достижения греческой математики: конические секции (Аполлоний Пергский, 3 век до н.э.),^[25] тригонометрия (Гиппарх Никейский, 2 век до н.э.),^[26] и истоки алгебры (Диофант, III век нашей эры).^[27]

Цифры, используемые в Бахшалинская рукопись, датируемый между II веком до нашей эры и II веком нашей эры.

В Индусско-арабская система счисления и правила использования его операций, используемые сегодня во всем мире, развивались в течение первого тысячелетия нашей эры в Индия и были переданы западный мир через Исламская математика.^[28] Другие заметные достижения индийской математики включают современное определение и приближение синус и косинус,^[28] и ранняя форма бесконечная серия.

Страница из книги аль-Хваризми Алгебра

Вовремя Золотой век ислама, особенно в IX и X веках, в математике произошло много важных нововведений, основанных на греческой математике. Наиболее заметное достижение Исламская математика был развитием алгебра. Другими заметными достижениями исламского периода являются достижения в сферическая тригонометрия и добавление десятичная точка в арабскую систему счисления.^[29][30] Многие известные математики этого периода были персами, например Аль-Хоресми, Омар Хайям и Шараф ад-Дин аль-Хуси.

Вовремя ранний современный период, математика стала развиваться ускоренными темпами в западная Европа. Развитие исчисление Ньютон и Лейбниц в 17 веке произвели революцию в математике.^[31] Леонард Эйлер был самым известным математиком 18 века, сделавшим множество теорем и открытий.^[32] Возможно, крупнейшим математиком XIX века был немецкий математик. Карл Фридрих Гаусс,^[33] которые внесли большой вклад в такие области, как алгебра, анализ, дифференциальная геометрия, матричная теория, теория чисел, и статистика. В начале 20 века Курт Гёдель преобразовал математику, опубликовав теоремы о неполноте, которые частично показывают, что любая непротиворечивая аксиоматическая система - если она достаточно мощная для описания арифметики - будет содержать истинные утверждения, которые нельзя доказать.^[34]

С тех пор математика значительно расширилась, и между математикой и естествознанием произошло плодотворное взаимодействие на благо обоих. Математические открытия продолжают делаться и сегодня. По словам М.Б. Севрюка, в январском номере журнала за 2006 г. Бюллетень Американского математического общества, "Количество статей и книг, включенных в Математические обзоры база данных с 1940 года (первый год работы MR) сейчас составляет более 1,9 миллиона, и более 75 тысяч позиций добавляются в базу данных каждый год. Подавляющее большинство работ в этом океане содержат новые математические теоремы и их доказательства."^[35]

Этимология

Слово математика происходит от Древнегреческий матема (μάθημα), что означает «то, что изучено»,^[36] «то, что нужно знать», отсюда также «изучение» и «наука». Слово «математика» стало иметь более узкое и техническое значение «математическое исследование» еще в классические времена.^[37] Его прилагательное является mathēmatikós (μαθηματικός), что означает «связанный с обучением» или «прилежный», что в дальнейшем также стало означать «математический». Особенно, mathēmatikḗ tékhnē (μαθηματικὴ τέχνη; латинский: ars mathematica) означало «математическое искусство».

Точно так же одна из двух основных школ мысли в Пифагореизм был известен как mathēmatikoi (μαθηματικοί) - что в то время означало «учащихся», а не «математиков» в современном смысле.^[38]

В латинском и английском языках примерно до 1700 года термин математика чаще означало "астрология "(или иногда"астрономия "), а не" математика "; значение постепенно изменилось на нынешнее примерно с 1500 до 1800. Это привело к нескольким ошибочным переводам. Например, Святой Августин предупреждение, что христиане должны остерегаться математика, имея в виду астрологов, иногда неправильно переводится как осуждение математиков.^[39]

Очевидное множественное число форма в английском языке, как и французская форма множественного числа les mathématiques (и менее часто используемое единственное число производная la mathématique) восходит к латинскому средний множественное число математика (Цицерон ), основанный на греческом множественном числе та математика (τὰ μαθηματικά), использован Аристотель (384–322 гг. До н.э.) и означая примерно «все математические», хотя вполне вероятно, что английский заимствовал только прилагательное математический (др.) и образовал существительное математика заново, по образцу физика и метафизика, которые были унаследованы от греч.^[40] В английском языке существительное математика принимает глагол единственного числа. Его часто сокращают до математика или в Северной Америке математика.^[41]

Определения математики

Леонардо Фибоначчи, итальянский математик, который ввел Индусско-арабская система счисления изобретен между 1 и 4 веками индийскими математиками для западного мира.

Основная статья: Определения математики

У математики нет общепринятого определения.^[6][7] Аристотель определил математику как «науку о количестве», и это определение преобладало до 18 века. Однако Аристотель также отметил, что сосредоточение внимания только на количестве может не отличить математику от таких наук, как физика; с его точки зрения, абстракция и изучение количества как свойства, «мысленно отделяемого» от реальных примеров, выделяют математику.^[42]

В 19 веке, когда изучение математики стало более строгим и стало затрагивать такие абстрактные темы, как теория групп и проективная геометрия, которые не имеют четкого отношения к количеству и измерению, математики и философы начали предлагать множество новых определений.^[43]

Многие профессиональные математики не интересуются определением математики или считают его неопределимым.^[6] Нет даже единого мнения о том, является ли математика искусством или наукой.^[7] Некоторые просто говорят: «Математика - это то, чем занимаются математики».^[6]

Три ведущих типа

Сегодняшние три основных типа определения математики называются логик, интуиционист, и формалист, каждый из которых отражает другую философскую школу.^[44] У всех есть серьезные недостатки, ни один не получил широкого признания, и никакое примирение не представляется возможным.^[44]

Определения логиков

Раннее определение математики с точки зрения логики было следующим: Бенджамин Пирс (1870 г.): «наука, делающая необходимые выводы».^[45] в Principia Mathematica, Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед продвинул философскую программу, известную как логицизм, и попытался доказать, что все математические концепции, утверждения и принципы могут быть определены и доказаны полностью в терминах символическая логика. Логицистское определение математики - это Рассел (1903) «Вся математика есть символическая логика».^[46]

Интуиционистские определения

Интуиционист определения, развивающиеся из философии математика Л. Э. Дж. Брауэр отождествляйте математику с определенными умственными явлениями. Пример интуиционистского определения: «Математика - это умственная деятельность, заключающаяся в выполнении построений один за другим».^[44] Особенность интуиционизма состоит в том, что он отвергает некоторые математические идеи, считающиеся действительными согласно другим определениям. В частности, в то время как другие философии математики допускают объекты, существование которых можно доказать, даже если они не могут быть сконструированы, интуиционизм допускает только математические объекты, которые можно построить. Интуиционисты также отвергают закон исключенного среднего (т.е. ${displaystyle Pvee eg P}$). Хотя такая позиция заставляет их отвергать одну распространенную версию доказательство от противного как эффективный метод доказательства, а именно вывод ${displaystyle P}$ из ${displaystyle eg P o ot }$, они все еще могут сделать вывод ${displaystyle eg P}$ из ${displaystyle P o ot }$. Для них, ${displaystyle eg (eg P)}$ строго более слабое утверждение, чем ${displaystyle P}$.^[47]

Формалистские определения

Формалист определения отождествляют математику с ее символами и правилами работы с ними. Хаскелл Карри определил математику просто как «науку о формальных системах».^[48] А формальная система набор символов, или жетоны, и немного правила о том, как жетоны должны быть объединены в формулы. В формальных системах слово аксиома имеет особое значение, отличное от обычного значения «самоочевидной истины», и используется для обозначения комбинации лексем, которые включены в данную формальную систему без необходимости извлечения с использованием правил системы.

Математика как наука

Карл Фридрих Гаусс, известный как князь математиков

Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс назвал математику «Королевой наук».^[49] В последнее время, Маркус дю Сотуа назвал математику «королевой науки ... главной движущей силой научных открытий».^[50] Философ Карл Поппер заметил, что «большинство математических теорий, как и теории физика и биология, гипотетико -дедуктивный: чистая математика, таким образом, оказывается намного ближе к естественным наукам, гипотезы которых являются предположениями, чем это казалось еще недавно ».^[51] Поппер также отметил, что «я обязательно признаю систему эмпирической или научной, только если она может быть проверена опытом».^[52]

Некоторые авторы считают, что математика - это не наука, потому что она не опирается на эмпирическое доказательство.^{[53][54][55][56]}

Математика имеет много общего со многими областями физических наук, особенно с исследование логических следствий предположений. Интуиция и эксперименты также играют роль в формулировании догадки как в математике, так и в (других) науках. Экспериментальная математика продолжает расти в математике, а вычисления и моделирование играют все более важную роль как в естественных науках, так и в математике.

Мнения математиков по этому поводу разнятся. Многие математики^[57] считают, что называть их область наукой - значит преуменьшать важность ее эстетической стороны и ее истории в традиционных семи гуманитарные науки; другие считают, что игнорировать ее связь с науками - значит закрывать глаза на тот факт, что взаимодействие между математикой и ее приложениями в науке и технике привело к значительному развитию математики.^[58] Один из способов проявления этой разницы во взглядах - философские дебаты о том, является ли математика созданный (как в искусстве) или обнаруженный (как в науке). На практике математики обычно объединяются с учеными общего уровня, но разделяются на более тонких уровнях. Это один из многих вопросов, рассмотренных в философия математики.^[59]

Вдохновение, чистая и прикладная математика и эстетика

Основная статья: Математическая красота

Исаак Ньютон (слева) и Готфрид Вильгельм Лейбниц развитое исчисление бесконечно малых.

Математика возникает из множества различных задач. Сначала они были найдены в торговле, измерение земли, архитектура и позже астрономия; сегодня все науки предлагают проблемы, изучаемые математиками, и многие проблемы возникают внутри самой математики. Например, физик Ричард Фейнман изобрел формулировка интеграла по путям из квантовая механика используя сочетание математических рассуждений и физических способностей, и сегодняшние теория струн, все еще развивающаяся научная теория, которая пытается объединить четыре фундаментальные силы природы, продолжает вдохновлять на новую математику.^[60]

Некоторая математика актуальна только в той области, которая ее вдохновила, и применяется для решения дальнейших задач в этой области. Но часто математика, вдохновленная одной областью, оказывается полезной во многих областях и присоединяется к общему арсеналу математических понятий. Часто проводится различие между чистая математика и Прикладная математика. Однако темы чистой математики часто имеют приложения, например теория чисел в криптография. Этот замечательный факт, что даже самая «чистая» математика часто имеет практическое применение, - вот что Юджин Вигнер позвонил "необоснованная эффективность математики ".^[13] Как и в большинстве областей обучения, бурный рост знаний в век науки привел к специализации: сейчас существуют сотни специализированных областей в математике и новейших Классификация предметов математики занимает 46 страниц.^[61] Некоторые области прикладной математики слились со смежными традициями за пределами математики и стали самостоятельными дисциплинами, включая статистику, исследование операций, и Информатика.

Для тех, кто склонен к математике, большая часть математики часто имеет определенный эстетический аспект. Многие математики говорят о элегантность математики, ее внутренней эстетика и внутренняя красота. Простота и общность ценятся. Красота в простом и элегантном доказательство, Такие как Евклид доказательство того, что существует бесконечно много простые числа, и в элегантном численный метод это ускоряет расчет, например быстрое преобразование Фурье. Г. Х. Харди в Извинения математика выразил уверенность в том, что эти эстетические соображения сами по себе достаточны, чтобы оправдать изучение чистой математики. Он определил такие критерии, как значимость, неожиданность, неизбежность и экономичность, как факторы, способствующие математической эстетике.^[62] Математические исследования часто ищут критические характеристики математического объекта. Теорема выражается как характеристика объекта по этим характеристикам является приз. Примеры особенно сжатых и разоблачающих математических аргументов были опубликованы в Доказательства из КНИГИ.

Популярность развлекательная математика - еще один признак удовольствия, которое многие находят при решении математических вопросов. Другая социальная крайность заключается в том, что философы продолжают находить проблемы в философия математики, например, характер математическое доказательство.^[63]

Обозначения, язык и строгость

Основная статья: Математические обозначения

Леонард Эйлер создал и популяризировал большинство используемых сегодня математических обозначений.

Большинство используемых сегодня математических обозначений не было изобретено до 16 века.^[64] До этого математика была записана словами, что ограничивало математические открытия.^[65] Эйлер (1707–1783) был ответственным за многие из используемых сегодня обозначений. Современные обозначения значительно упрощают математику для профессионалов, но новички часто находят ее сложной. В соответствии с Барбара Окли, это может быть связано с тем, что математические идеи более Абстрактные и больше зашифрованный чем естественный язык.^[66] В отличие от естественного языка, где люди часто могут приравнивать слово (например, корова) с физическим объектом, которому он соответствует, математические символы абстрактны и не имеют никакого физического аналога.^[67] Математические символы также более надежно зашифрованы, чем обычные слова, что означает, что один символ может кодировать ряд различных операций или идей.^[68]

Математический язык может быть сложно понять новичкам, потому что даже общие термины, такие как или же и Только, имеют более точное значение, чем в повседневной речи, и другие термины, такие как открыто и поле относятся к конкретным математическим идеям, не охватываемым их непрофессиональным значением. Математический язык также включает множество технических терминов, таких как гомеоморфизм и интегрируемый которые не имеют значения вне математики. Кроме того, сокращенные фразы, такие как если только за "если и только если " принадлежать математический жаргон. Есть причина для специальных обозначений и технической лексики: математика требует большей точности, чем повседневная речь. Математики называют эту точность языка и логики «строгостью».

Математическое доказательство в основном вопрос строгость. Математики хотят, чтобы их теоремы вытекали из аксиом посредством систематических рассуждений. Это сделано во избежание ошибки "теоремы ", основанный на ошибочной интуиции, много примеров которой произошло в истории этого предмета.^[b] Уровень строгости, ожидаемой от математики, со временем менялся: греки ожидали подробных аргументов, но во времена Исаак Ньютон используемые методы были менее строгими. Проблемы, присущие определениям, используемым Ньютоном, приведут к возрождению тщательного анализа и формальных доказательств в 19 веке. Непонимание строгости является причиной некоторых распространенных неправильных представлений о математике. Сегодня математики продолжают спорить между собой о компьютерные доказательства. Поскольку большие вычисления трудно проверить, такие доказательства могут быть ошибочными, если используемая компьютерная программа ошибочна.^[c][69] С другой стороны, помощники доказательства позволяют проверить все детали, которые не могут быть указаны в рукописном доказательстве, и обеспечить уверенность в правильности длинных доказательств, таких как доказательство Теорема Фейта – Томпсона.^[d]

Аксиомы в традиционной мысли были «самоочевидные истины», но такая концепция проблематична.^[70] На формальном уровне аксиома - это просто строка символов, которая имеет внутреннее значение только в контексте всех выводимых формул аксиоматическая система. Это была цель Программа Гильберта поставить всю математику на прочную аксиоматическую основу, но согласно Теорема Гёделя о неполноте каждая (достаточно мощная) аксиоматическая система имеет неразрешимый формулы; и так последний аксиоматизация математики невозможно. Тем не менее математика часто представляется (с точки зрения ее формального содержания) не чем иным, как теория множеств в некоторой аксиоматизации, в том смысле, что каждое математическое утверждение или доказательство может быть преобразовано в формулы в рамках теории множеств.^[71]

Области математики

Смотрите также: Области математики и Глоссарий по разделам математики

В счеты это простой расчетный инструмент, используемый с древних времен.

В широком смысле математику можно подразделить на изучение количества, структуры, пространства и изменений (т.е. арифметика, алгебра, геометрия, и анализ ). В дополнение к этим основным задачам, есть также подразделения, посвященные изучению связей из самого сердца математики с другими областями: логика, к теория множеств (основы ), эмпирической математике различных наук (Прикладная математика ), а в последнее время к тщательному изучению неуверенность. Хотя некоторые области могут показаться не связанными друг с другом, Программа Langlands обнаружил связи между областями, ранее считавшимися несвязанными, такими как Группы Галуа, Римановы поверхности и теория чисел.

Дискретная математика обычно объединяет области математики, изучающие математические структуры, которые по своей сути дискретны, а не непрерывны.

Основы и философия

Чтобы прояснить основы математики, поля математическая логика и теория множеств были разработаны. Математическая логика включает математическое изучение логика и приложения формальной логики к другим областям математики; теория множеств - это раздел математики, изучающий наборы или коллекции предметов. Выражение «кризис основ» описывает поиск прочного основания математики, который велся примерно с 1900 по 1930 год.^[72] Некоторые разногласия по поводу основ математики сохраняются и по сей день. Кризис фондов был вызван рядом споров того времени, в том числе полемика по теории множеств Кантора и Противоречие Брауэра-Гильберта.

Математическая логика занимается установкой математики в строгие аксиоматический рамки и изучение последствий такой структуры. Таким образом, это дом для Теоремы Гёделя о неполноте которые (неофициально) подразумевают, что любой эффективный формальная система содержащий основную арифметику, если звук (что означает, что все теоремы, которые могут быть доказаны, верны), обязательно неполный (это означает, что есть истинные теоремы, которые нельзя доказать в этой системе). Какой бы конечный набор теоретико-числовых аксиом ни был взят за основу, Гёдель показал, как построить формальное утверждение, которое является истинным теоретико-числовым фактом, но которое не следует из этих аксиом. Следовательно, ни одна формальная система не является полной аксиоматизацией полной теории чисел. Современная логика делится на теория рекурсии, теория моделей, и теория доказательств, и тесно связан с теоретическая информатика,^{[нужна цитата ]} а также теория категорий. В контексте теории рекурсии невозможность полной аксиоматизации теории чисел также может быть формально продемонстрирована как следствие теоремы MRDP.

Теоретическая информатика включает теория вычислимости, теория сложности вычислений, и теория информации. Теория вычислимости исследует ограничения различных теоретических моделей компьютера, включая наиболее известную модель - модель Машина Тьюринга. Теория сложности - это исследование управляемости компьютером; некоторые проблемы, хотя теоретически и решаемые с помощью компьютера, являются настолько дорогостоящими с точки зрения времени и пространства, что их решение, вероятно, останется практически невыполнимым даже с быстрым развитием компьютерного оборудования. Известная проблема - "п = НП? "проблема, одна из Задачи Премии тысячелетия.^[73] Наконец, теория информации связана с объемом данных, которые могут храниться на данном носителе, и, следовательно, имеет дело с такими понятиями, как сжатие и энтропия.

${displaystyle pRightarrow q}$
Математическая логика	Теория множеств	Теория категорий	Теория вычислений

Чистая математика

Основная статья: Чистая математика

Системы счисления и теория чисел

Основные статьи: Арифметика, Система счисления, и Теория чисел

Изучение количества начинается с цифр, сначала знакомых натуральные числа${displaystyle mathbb {N} }$и целые числа ${displaystyle mathbb {Z} }$(«целые числа») и арифметические операции над ними, которые характеризуются арифметика. Более глубокие свойства целых чисел изучаются в теория чисел, откуда приходят такие популярные результаты, как Последняя теорема Ферма. В двойной премьер предположение и Гипотеза Гольдбаха это две нерешенные проблемы теории чисел.

По мере дальнейшего развития системы счисления целые числа распознаются как подмножество из рациональное число${displaystyle mathbb {Q} }$("фракции "). Они, в свою очередь, содержатся в действительные числа,${displaystyle mathbb {R} }$которые используются для представления пределов последовательностей рациональных чисел и непрерывный количества. Действительные числа обобщаются на сложные числа${displaystyle mathbb {C} }$.Согласно основная теорема алгебры, все полиномиальные уравнения в одном неизвестном с комплексными коэффициентами есть решение в комплексных числах, независимо от степени полинома.${displaystyle mathbb {N} , mathbb {Z} , mathbb {Q} , mathbb {R} }$ и ${displaystyle mathbb {C} }$это первые шаги иерархии чисел, которая включает кватернионы и октонионы. Рассмотрение натуральных чисел также приводит к трансфинитные числа, которые формализуют понятие "бесконечность ". Еще одна область изучения - размер наборов, который описывается Количественные числительные. К ним относятся числа алеф, которые позволяют осмысленно сравнивать размеры бесконечно больших множеств.

${displaystyle (0),1,2,3,ldots }$	${displaystyle ldots ,-2,-1,0,1,2,ldots }$	${displaystyle -2,{frac {2}{3}},1.21}$	${displaystyle -e,{sqrt {2}},3,pi }$	${displaystyle 2,i,-2+3i,2e^{i{frac {4pi }{3}}}}$	${displaystyle aleph _{0},aleph _{1},aleph _{2},ldots ,aleph _{alpha },ldots . }$
Натуральные числа	Целые числа	Рациональное число	Действительные числа	Сложные числа	Бесконечные кардиналы

Структура

Основная статья: Алгебра

Многие математические объекты, такие как наборы чисел и функции, проявляют внутреннюю структуру как следствие операции или же связи которые определены на множестве. Затем математика изучает свойства этих множеств, которые могут быть выражены в терминах этой структуры; например теория чисел изучает свойства набора целые числа что может быть выражено через арифметика операции. Более того, часто бывает, что разные такие структурированные множества (или структуры ) обладают схожими свойствами, что позволяет на следующем этапе абстракция, чтобы заявить аксиомы для класса структур, а затем сразу изучить весь класс структур, удовлетворяющих этим аксиомам. Таким образом можно изучать группы, кольца, поля и другие абстрактные системы; вместе такие исследования (для структур, определяемых алгебраическими операциями) составляют область абстрактная алгебра.

Благодаря своей большой общности абстрактная алгебра часто может применяться к, казалось бы, не связанным между собой проблемам; например, ряд древних проблем, касающихся конструкции компаса и линейки были окончательно решены с использованием Теория Галуа, который включает теорию поля и теорию групп. Другой пример алгебраической теории: линейная алгебра, который является общим исследованием векторные пространства, элементы которого называются векторов имеют как количество, так и направление, и могут использоваться для моделирования (отношений между) точками в пространстве. Это один из примеров явления, когда изначально не связанные между собой области геометрия и алгебра очень сильно взаимодействуют с современной математикой. Комбинаторика изучает способы перечисления количества объектов, которые соответствуют заданной структуре.

${displaystyle {egin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)(2,1,3)&(2,3,1)(3,1,2)&(3,2,1)end{matrix}}}$
Комбинаторика	Теория чисел	Теория групп	Теория графов	Теория порядка	Алгебра

Космос

Основная статья: Геометрия

Изучение космоса берет свое начало с геометрия -особенно, Евклидова геометрия, который сочетает в себе пробелы и числа и включает в себя хорошо известные теорема Пифагора. Тригонометрия это раздел математики, который занимается отношениями между сторонами и углами треугольников, а также тригонометрическими функциями. Современные исследования пространства обобщают эти идеи, включая геометрию более высоких измерений, неевклидовы геометрии (которые играют центральную роль в общая теория относительности ) и топология. Количество и пространство играют роль в аналитическая геометрия, дифференциальная геометрия, и алгебраическая геометрия. Выпуклый и дискретная геометрия были разработаны для решения проблем в теория чисел и функциональный анализ но сейчас мы ищем приложения в оптимизация и Информатика. В рамках дифференциальной геометрии существуют концепции пучки волокон и расчет на коллекторы, особенно, вектор и тензорное исчисление. В алгебраической геометрии есть описание геометрических объектов как наборов решений многочлен уравнения, объединяющие понятия количества и пространства, а также изучение топологические группы, сочетающие структуру и пространство. Группы Ли используются для изучения пространства, структуры и изменений. Топология со всеми своими многочисленными ответвлениями, возможно, была самой большой областью роста в математике 20 века; это включает в себя точечная топология, теоретико-множественная топология, алгебраическая топология и дифференциальная топология. В частности, примеры современной топологии теория метризуемости, аксиоматическая теория множеств, теория гомотопии, и Теория Морса. Топология также включает решенные Гипотеза Пуанкаре, и все еще нерешенные области Гипотеза Ходжа. Другие результаты в геометрии и топологии, включая теорема четырех цветов и Гипотеза Кеплера, были доказаны только с помощью компьютеров.

Геометрия	Тригонометрия	Дифференциальная геометрия	Топология	Фрактальная геометрия	Теория меры

Изменять

Основная статья: Исчисление

Понимание и описание изменений - общая тема в естественные науки, и исчисление был разработан как инструмент для его исследования. Функции возникают здесь как центральное понятие, описывающее изменяющуюся величину. Строгое изучение действительные числа а функции действительной переменной известны как реальный анализ, с комплексный анализ эквивалентное поле для сложные числа. Функциональный анализ фокусирует внимание на (обычно бесконечном) пробелы функций. Одним из многих приложений функционального анализа является квантовая механика. Многие проблемы естественным образом приводят к отношениям между величиной и скоростью ее изменения, и они изучаются как дифференциальные уравнения. Многие явления в природе можно описать динамические системы; теория хаоса уточняет способы, которыми многие из этих систем демонстрируют непредсказуемые, но все же детерминированный поведение.

Исчисление	Векторное исчисление	Дифференциальные уравнения	Динамические системы	Теория хаоса	Комплексный анализ

Прикладная математика

Основная статья: Прикладная математика

Прикладная математика занимается математическими методами, которые обычно используются в наука, инженерное дело, бизнес, и промышленность. Таким образом, «прикладная математика» - это математическая наука со специализированными знание. Период, термин Прикладная математика также описывает профессиональную специальность, по которой математики работают над практическими задачами; как профессия, ориентированная на практические задачи, Прикладная математика фокусируется на «формулировании, изучении и использовании математических моделей» в науке, технике и других областях математической практики.

В прошлом практическое применение мотивировало развитие математических теорий, которые затем стали предметом изучения чистой математики, где математика развивалась в первую очередь ради нее самой. Таким образом, деятельность прикладной математики жизненно связана с исследованиями в чистая математика.

Статистика и другие науки о принятии решений

Основная статья: Статистика

Прикладная математика во многом пересекается с дисциплиной статистики, теория которой формулируется математически, особенно теория вероятности. Статистики (работающие в рамках исследовательского проекта) «создают разумные данные» с помощью случайная выборка и с рандомизированным эксперименты;^[74] план статистической выборки или эксперимента определяет анализ данных (до того, как данные станут доступны). При пересмотре данных экспериментов и образцов или при анализе данных из наблюдательные исследования статистики "разбираются в данных", используя искусство моделирование и теория вывод -с выбор модели и оценка; предполагаемые модели и последующие предсказания должно быть проверено на новые данные.^[e]

Статистическая теория исследования проблемы решения например, минимизация рисковать (ожидаемый убыток ) статистического действия, такого как использование процедура в, например, оценка параметров, проверка гипотезы, и отбор лучших. В этих традиционных областях математическая статистика, задача статистического решения формулируется путем минимизации целевая функция, например, ожидаемый убыток или Стоимость при определенных ограничениях: например, планирование обследования часто включает в себя минимизацию затрат на оценку среднего значения совокупности с заданным уровнем достоверности.^[75] Из-за использования оптимизация математическая теория статистики разделяет озабоченность других наука о принятии решений, Такие как исследование операций, теория управления, и математическая экономика.^[76]

Вычислительная математика

Вычислительная математика предлагает и изучает методы решения математические задачи которые обычно слишком велики для числового потенциала человека. Числовой анализ изучает методы решения проблем в анализ с помощью функциональный анализ и теория приближения; численный анализ включает изучение приближение и дискретизация в целом с особым вниманием к ошибки округления. Численный анализ и, в более широком смысле, научные вычисления также изучают неаналитические темы математической науки, особенно алгоритмический матрица и теория графов. Другие области вычислительной математики включают: компьютерная алгебра и символьное вычисление.

Теория игры	Динамика жидкостей	Числовой анализ	Оптимизация	Теория вероятности	Статистика	Криптография
Математические финансы	Математическая физика	Математическая химия	Математическая биология	Математическая экономика	Теория управления

Математические награды

Пожалуй, самая престижная награда в области математики - это Медаль Филдса,^[77][78] учреждена в 1936 году и присуждается каждые четыре года (кроме периода Второй мировой войны) целым четырем лицам. Медаль Филдса часто считают математическим эквивалентом Нобелевской премии.

В Премия Вольфа по математике, учрежденная в 1978 году, отмечает достижения на протяжении всей жизни и другую крупную международную награду - Премия Абеля, был учрежден в 2003 году. Медаль Черна был введен в 2010 году для признания достижений за всю жизнь Эти награды присуждаются в знак признания определенной работы, которая может быть инновационной или предлагать решение нерешенной проблемы в установленной области.

Знаменитый список из 23 открытые проблемы, называется "Проблемы Гильберта ", был составлен в 1900 г. немецким математиком Дэвид Гильберт. Этот список получил широкую известность среди математиков, и по крайней мере девять из задач уже решены. Новый список из семи важных проблем под названием "Задачи Премии тысячелетия ", была опубликована в 2000 году. Только одна из них, Гипотеза Римана, дублирует одну из проблем Гильберта. Решение любой из этих проблем приносит вознаграждение в 1 миллион долларов. В настоящее время только одна из этих проблем, Гипотеза Пуанкаре, было решено.

Смотрите также

• Математический портал

• Международная математическая олимпиада
• Списки математических тем
• Математические науки
• Математика и искусство
• Математическое образование
• Национальный музей математики
• Философия математики
• Связь математики и физики
• Наука, технологии, инженерия и математика

Примечания

1. Никакие сходства или описания внешнего вида Евклида, сделанные при его жизни, не сохранились в древности. Поэтому изображение Евклида в произведениях искусства зависит от воображения художника (см. Евклид ).
2. Видеть ложное доказательство для простых примеров того, что может пойти не так в формальном доказательстве.
3. Для того чтобы считать надежным большое вычисление, происходящее в доказательстве, обычно требуется два вычисления с использованием независимого программного обеспечения.
4. Книга, содержащая полное доказательство, насчитывает более 1000 страниц.
5. Как и другие математические науки, такие как физика и Информатика, статистика - это автономная дисциплина, а не раздел прикладной математики. Подобно физикам-исследователям и специалистам по информатике, статистики-исследователи являются учеными-математиками. Многие статистики имеют степень в области математики, а некоторые статистики также являются математиками.

Рекомендации

1. "математика, п.". Оксфордский словарь английского языка. Издательство Оксфордского университета. 2012 г. В архиве с оригинала 16 ноября 2019 г.. Получено 16 июня, 2012. Наука о пространстве, числе, количестве и расположении, методы которой включают логические рассуждения и обычно использование символических обозначений, а также геометрию, арифметику, алгебру и анализ.
2. Коленная, G.T. (1963). Математическая логика и основы математики: вводный обзор. Дувр. п.4. ISBN  978-0-486-41712-7. Математика ... это просто изучение абстрактных структур или формальных моделей связности.
3. LaTorre, Donald R .; Кенелли, Джон В .; Biggers, Sherry S .; Карпентер, Лорел Р .; Рид, Ирис Б .; Харрис, Синтия Р. (2011). Концепции исчисления: неформальный подход к математике изменений. Cengage Learning. п.2. ISBN  978-1-4390-4957-0. Исчисление - это исследование изменений: как вещи меняются и как быстро они меняются.
4. Рамана (2007). Прикладная математика. Тата Макгроу – Хилл Образование. п.2.10. ISBN  978-0-07-066753-2. Математическое изучение изменений, движения, роста или распада - это исчисление.
5. Циглер, Гюнтер М. (2011). «Что такое математика?». Приглашение к математике: от соревнований к исследованиям. Springer. п.vii. ISBN  978-3-642-19532-7.
6. Мура, Роберта (декабрь 1993 г.). «Образы математики, проводимые университетскими преподавателями математических наук». Образовательные исследования по математике. 25 (4): 375–85. Дои:10.1007 / BF01273907. JSTOR  3482762. S2CID  122351146.
7. Тобис, Ренате И Гельмут Нойнцерт (2012). Ирис Рунге: жизнь на стыке математики, науки и промышленности. Springer. п.9. ISBN  978-3-0348-0229-1. [I] Сначала необходимо спросить, что имеется в виду под математика в целом. Знаменитые ученые обсуждали этот вопрос, пока не посинели, но до сих пор не было достигнуто единого мнения о том, является ли математика естественной наукой, отраслью гуманитарных наук или видом искусства.
8. Стин, Л.А. (29 апреля 1988 г.). Наука о моделях Наука, 240: 611–16. И резюмировано в Ассоциация по надзору и разработке учебных программ В архиве 28 октября 2010 г. Wayback Machine, www.ascd.org.
9. Девлин, Кит, Математика: наука о закономерностях: поиск порядка в жизни, разуме и Вселенной (Библиотека в мягкой обложке Scientific American) 1996 г., ISBN  978-0-7167-5047-5
10. Мудрый, Дэвид. «Влияние Евдокса на элементы Евклида с вниманием к методу истощения». jwilson.coe.uga.edu. В архиве с оригинала на 1 июня 2019 г.. Получено 26 октября, 2019.
11. Eves, стр. 306
12. Петерсон, стр. 12
13. Вигнер, Юджин (1960). «Неоправданная эффективность математики в естествознании». Сообщения по чистой и прикладной математике. 13 (1): 1–14. Bibcode:1960CPAM ... 13 .... 1 Вт. Дои:10.1002 / cpa.3160130102. В архиве из оригинала 28 февраля 2011 г.
14. Дехайн, Станислав; Дехен-Ламбертц, Гислен; Коэн, Лоран (август 1998 г.). «Абстрактные представления чисел в мозгу животных и человека». Тенденции в неврологии. 21 (8): 355–61. Дои:10.1016 / S0166-2236 (98) 01263-6. PMID  9720604. S2CID  17414557.
15. См., Например, Раймонд Л. Уайлдер, Эволюция математических понятий; элементарное исследование, пассим
16. Заславский, Клавдия. (1999). Африка имеет значение: число и закономерности в африканской культуре. Чикаго Ревью Пресс. ISBN  978-1-61374-115-3. OCLC  843204342.
17. Клайн 1990, Глава 1.
18. «Египетская математика - история математики». www.storyofmat Mathematics.com. В архиве из оригинала 16 сентября 2018 г.. Получено 27 октября, 2019.
19. "Шумерская / вавилонская математика - история математики". www.storyofmat Mathematics.com. В архиве с оригинала 7 сентября 2019 г.. Получено 27 октября, 2019.
20. Бойер 1991, «Месопотамия», стр. 24–27.
21. Хит, Томас Литтл (1981) [1921]. История греческой математики: от Фалеса до Евклида. Нью-Йорк: Dover Publications. п.1. ISBN  978-0-486-24073-2.
22. Бойер 1991, «Евклид Александрийский» с. 119.
23. Бойер 1991, «Архимед Сиракузский» с. 120.
24. Бойер 1991, «Архимед Сиракузский» с. 130.
25. Бойер 1991, "Аполлоний Пергский" с. 145.
26. Бойер 1991, "Греческая тригонометрия и измерение" с. 162.
27. Бойер 1991, "Возрождение и упадок греческой математики" с. 180.
28. «Индийская математика - история математики». www.storyofmat Mathematics.com. В архиве с оригинала 13 апреля 2019 г.. Получено 27 октября, 2019.
29. «Исламская математика - история математики». www.storyofmat Mathematics.com. В архиве с оригинала 17 октября 2019 г.. Получено 27 октября, 2019.
30. Салиба, Джордж. (1994). История арабской астрономии: планетарные теории в золотой век ислама. Издательство Нью-Йоркского университета. ISBN  978-0-8147-7962-0. OCLC  28723059.
31. "Математика 17 века - история математики". www.storyofmat Mathematics.com. В архиве из оригинала 16 сентября 2018 г.. Получено 27 октября, 2019.
32. "Эйлер - Математика XVIII века - История математики". www.storyofmat Mathematics.com. В архиве из оригинала 2 мая 2019 г.. Получено 27 октября, 2019.
33. "Гаусс - Математика XIX века - История математики". www.storyofmat Mathematics.com. В архиве с оригинала 25 июля 2019 г.. Получено 27 октября, 2019.
34. "Математика ХХ века - Гёдель". История математики. В архиве из оригинала 16 сентября 2018 г.. Получено 27 октября, 2019.
35. Севрюк 2006, стр. 101–09.
36. "математический (сущ.)". Интернет-словарь этимологии. В архиве из оригинала 7 марта 2013 г.
37. Оба значения можно найти у Платона, более узкое - в Республика 510c, но Платон не использовал математика слово; Аристотель комментировал это. μαθηματική. Лидделл, Генри Джордж; Скотт, Роберт; Греко-английский лексикон на Проект Персей. OED Online, "Математика".
38. «Пифагор - Греческая математика - История математики». www.storyofmat Mathematics.com. В архиве из оригинала 17 сентября 2018 г.. Получено 27 октября, 2019.
39. Боас, Ральф (1995) [1991]. «Чего Августин не сказал о математиках». Охота на львов и другие математические занятия: сборник математики, стихов и рассказов покойного Ральфа П. Боаса-младшего. Издательство Кембриджского университета. п. 257. ISBN  978-0-88385-323-8.
40. Оксфордский словарь этимологии английского языка, Оксфордский словарь английского языка, суб «математика», «математика», «математика»
41. "математика, п." и "математика, № 3". Оксфордский словарь английского языка, он-лайн версия (2012 г.).
42. Франклин, Джеймс (8 июля 2009 г.). Философия математики. С. 104–106. ISBN  978-0-08-093058-9. В архиве из оригинала 6 сентября 2015 г.. Получено 1 июля, 2020.
43. Кахори, Флориан (1893). История математики. Американское математическое общество (переиздание 1991 г.). стр.285–86. ISBN  978-0-8218-2102-2.
44. Снаппер, Эрнст (сентябрь 1979 г.). «Три кризиса в математике: логицизм, интуиционизм и формализм». Математический журнал. 52 (4): 207–16. Дои:10.2307/2689412. JSTOR  2689412.
45. Пирс, Бенджамин (1882). Линейная ассоциативная алгебра. Ван Ностранд. п.1.
46. Рассел, Бертран (1903). Принципы математики. п.5. Получено 20 июня, 2015.
47. Интуиционизм в философии математики (Стэнфордская энциклопедия философии)
48. Карри, Хаскелл (1951). Очертания формалистской философии математики. Эльзевир. п.56. ISBN  978-0-444-53368-5.
49. Вальтерсхаузен, стр. 79
50. дю Сотуа, Маркус (25 июня 2010 г.). "Николя Бурбаки". Краткая история математики. Событие происходит на мин. 12:50. Радио BBC 4. В архиве с оригинала 16 декабря 2016 г.. Получено 26 октября, 2017.
51. Поппер 1995, стр. 56
52. Поппер, Карл (2002) [1959 ]. Логика научных открытий. Абингдон-он-Темз: Рутледж. п. [18]. ISBN  978-0-415-27843-0.
53. Бишоп, Алан (1991). «Экологическая деятельность и математическая культура». Математическая культура: культурный взгляд на математическое образование. Норвелл, Массачусетс: Kluwer Academic Publishers. С. 20–59. ISBN  978-0-792-31270-3.
54. Шаша, Деннис Эллиот; Лазер, Кэти А. (1998). Не в их уме: жизни и открытия 15 великих ученых-компьютерщиков. Springer. п. 228.
55. Никлз, Томас (2013). «Проблема демаркации». Философия псевдонауки: новый взгляд на проблему демаркации. Чикаго: Издательство Чикагского университета. п. 104.
56. Пильуччи, Массимо (2014). «Есть ли« другие »способы узнать?». Философия сейчас. Получено 6 апреля, 2020.
57. См. Например Бертран Рассел утверждение «Математика, если смотреть правильно, обладает не только истиной, но и высшей красотой ...» в его История западной философии
58. «Применен контрольный список по естествознанию: математика». undsci.berkeley.edu. В архиве с оригинала 27 октября 2019 г.. Получено 27 октября, 2019.
59. Борель, Арман (март 2017 г.). «Математика: искусство и наука». Информационный бюллетень EMS. 3 (103): 37–45. Дои:10.4171 / новости / 103/8. ISSN  1027-488X.
60. Мейнхард Э. Майер (2001). "Интеграл Фейнмана и операционное исчисление Фейнмана". Физика сегодня. 54 (8): 48. Bibcode:2001ФТ .... 54х..48Дж. Дои:10.1063/1.1404851.
61. «Классификация предметов математики 2010» (PDF). В архиве (PDF) из оригинала 14 мая 2011 г.. Получено 9 ноября, 2010.
62. Харди, Г. Х. (1940). Извинения математика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-42706-7.
63. Золото, Бонни; Саймонс, Роджерс А. (2008). Доказательство и другие дилеммы: математика и философия. MAA.
64. «Раннее использование различных математических символов». В архиве из оригинала от 20 февраля 2016 г.. Получено 14 сентября, 2014.
65. Клайн, стр. 140, по Диофант; п. 261, по Виета.
66. Oakley 2014, стр. 16: «Сфокусированное решение задач в математике и естествознании часто требует больше усилий, чем сфокусированное мышление с участием языка и людей. Это может быть связано с тем, что люди на протяжении тысячелетий не эволюционировали, чтобы манипулировать математическими идеями, которые часто зашифрованы более абстрактно, чем идеи традиционный язык ".
67. Oakley 2014, стр. 16: «Что я имею в виду под абстрактностью? Вы можете указать на настоящую живую корова жует жвачку на пастбище и приравнивает к буквам корова на странице. Но вы не можете указать на настоящую жизнь знак плюс что символ '+' смоделирован после - идея, лежащая в основе знака плюс, больше Абстрактные."
68. Oakley 2014, стр. 16: "Автор зашифрованность, Я имею в виду, что один символ может обозначать несколько различных операций или идей, так же как знак умножения символизирует повторяющееся сложение ».
69. Иварс Петерсон, Математический турист, Фримен, 1988, ISBN  978-0-7167-1953-3. п. 4 «Некоторые жалуются, что компьютерная программа не может быть проверена должным образом» (со ссылкой на доказательство Хакена – Эппл теоремы о четырех цветах).
70. «Метод« постулирования »того, чего мы хотим, имеет много преимуществ; они те же, что и преимущества воровства над честным трудом». Бертран Рассел (1919), Введение в математическую философию, Нью-Йорк и Лондон, п. 71. В архиве 20 июня 2015 г. Wayback Machine
71. Патрик Суппес, Аксиоматическая теория множеств, Дувр, 1972 г., ISBN  978-0-486-61630-8. п. 1, «Среди множества разделов современной математики теория множеств занимает уникальное место: за редкими исключениями, объекты, которые изучаются и анализируются в математике, могут рассматриваться как определенные частные множества или классы объектов».
72. Люк Ховард Ходжкин и Люк Ходжкин, История математики, Oxford University Press, 2005.
73. Институт математики Клэя, P = NP, Claymath.org
74. Рао, К. (1997) Статистика и правда: шанс работать, World Scientific. ISBN  978-981-02-3111-8
75. Рао, К. (1981). «Предисловие». В Arthanari, T.S .; Додж, Ядола (ред.). Математическое программирование в статистике. Ряд Уайли по вероятности и математической статистике. Нью-Йорк: Вили. стр. vii – viii. ISBN  978-0-471-08073-2. МИСТЕР  0607328.
76. Уиттл (1994), стр. 10–11, 14–18): Уиттл, Питер (1994). "Почти дома". В Келли, Ф. (ред.). Вероятность, статистика и оптимизация: дань уважения Питеру Уиттлу (ранее «Реализованный путь: Кембриджская статистическая лаборатория до 1993 г. (редакция 2002 г.)» ред.). Чичестер: Джон Вили. С. 1–28. ISBN  978-0-471-94829-2. В архиве с оригинала от 19 декабря 2013 г.
77. Монастырский 2001, п. 1: «Медаль Поля теперь, бесспорно, самый известный и наиболее влиятельной награды в области математики.»
78. Рием 2002 С. 778–82.

Библиография

• Бойер, К. (1991). История математики (2-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN  978-0-471-54397-8.
• Курант, Ричард; Роббинс, Герберт (1996). Что такое математика?: Элементарный подход к идеям и методам (2-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-510519-3.
• дю Сотуа, Маркус (25 июня 2010 г.). "Николя Бурбаки". Краткая история математики. BBC Radio 4. Получено 26 октября, 2017.
• Эйнштейн, Альберт (1923). Взгляд на теорию относительности: I. Эфир и относительность. II. Геометрия и опыт (перевод Дж. Б. Джеффри, доктора наук, и У. Перретта, доктора философии). E.P. Dutton & Co., Нью-Йорк.
• Евс, Ховард (1990). Введение в историю математики (6-е изд.). Сондерс. ISBN  978-0-03-029558-4.
• Клайн, Моррис (1990). Математическая мысль от древних до наших дней (Мягкая обложка ред.). Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-506135-2.
• Монастырский, Михаил (2001). «Некоторые тенденции в современной математике и медаль Филдса» (PDF). CMS - ПРИМЕЧАНИЯ - de la SMC. Канадское математическое общество. 33 (2–3). Получено 28 июля, 2006.
• Окли, Барбара (2014). Ум для чисел: как хорошо разбираться в математике и естественных науках (даже если вы завалили алгебру). Нью-Йорк: Penguin Random House. ISBN  978-0-399-16524-5. Ум для чисел.
• Папас, Теони (июнь 1989 г.). Радость математики (Пересмотренная ред.). Издательство Wide World Publishing. ISBN  978-0-933174-65-8.
• Пирс, Бенджамин (1881). Пирс, Чарльз Сандерс (ред.). «Линейная ассоциативная алгебра». Американский журнал математики (Исправленная, расширенная и аннотированная редакция с использованием статьи Б. Пирса 1875 года и аннотаций его сына К.С. Пирса к литографическому изданию 1872 года). 4 (1–4): 97–229. Дои:10.2307/2369153. HDL:2027 / hvd.32044030622997. JSTOR  2369153. Исправленная, расширенная и аннотированная редакция с использованием статьи Б. Пирса 1875 г. и аннотаций его сына К. С. Пирса к литографическому изданию 1872 г. Google Eprint и как отрывок из D. Van Nostrand, 1882, Google Eprint..
• Петерсон, Иварс (2001). Математический турист, новые и обновленные снимки современной математики. Совиные книги. ISBN  978-0-8050-7159-7.
• Поппер, Карл Р. (1995). «О знаниях». В поисках лучшего мира: лекции и очерки за тридцать лет. Нью-Йорк: Рутледж. Bibcode:1992sbwl.book ..... P. ISBN  978-0-415-13548-1.
• Рим, Карл (август 2002). "Ранняя история медали Филдса" (PDF). Уведомления AMS. 49 (7): 778–72.
• Севрюк, Михаил Б. (январь 2006 г.). "Отзывы о книге" (PDF). Бюллетень Американского математического общества. 43 (1): 101–09. Дои:10.1090 / S0273-0979-05-01069-4. Получено 24 июня, 2006.
• Вальтерсхаузен, Вольфганг Сарториус фон (1965) [впервые опубликовано в 1856 году]. Gauss zum Gedächtniss. Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend. ISBN  978-3-253-01702-5.

дальнейшее чтение

В Викиверситет, ты можешь выучить
больше и учить других Математика на Школа математики.

• Математика на Британская энциклопедия
• Бенсон, Дональд С. (2000). Момент доказательства: математические прозрения. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-513919-8.
• Дэвис, Филип Дж .; Херш, Рувим (1999). Математический опыт (Перепечатка ред.). Mariner Books. ISBN  978-0-395-92968-1.
• Гуллберг, Ян (1997). Математика: от рождения чисел (1-е изд.). W. W. Norton & Company. ISBN  978-0-393-04002-9.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2000). Энциклопедия математики. Kluwer Academic Publishers. - Переведенная и расширенная версия советской математической энциклопедии в десяти томах. Также в мягкой обложке и на CD-ROM, и онлайн.
• Журден, Филип Э. Б. (2003). «Природа математики». В Джеймс Р. Ньюман (ред.). Мир математики. Dover Publications. ISBN  978-0-486-43268-7.
• Майер, Аннализа (1982). Стивен Сарджент (ред.). На пороге точной науки: избранные труды Аннелиз Майер по натурфилософии позднего средневековья. Филадельфия: Университет Пенсильвании Press.