Теоретико-множественная топология - Set-theoretic topology

Пространство целые числа имеет мощность ${displaystyle aleph _{0}}$, в то время как действительные числа имеет мощность ${displaystyle 2^{aleph _{0}}}$. Топологии обоих пространств имеют мощность ${displaystyle 2^{aleph _{0}}}$. Это примеры кардинальных функций, тема теоретико-множественной топологии.

В математика, теоретико-множественная топология это предмет, который объединяет теория множеств и общая топология. Он фокусируется на топологических вопросах, которые независимый из Теория множеств Цермело – Френкеля (ZFC).

Объекты, изучаемые в теоретико-множественной топологии

Пространства Даукера

Основная статья: Пространство Даукера

в математический поле общая топология, а Пространство Даукера это топологическое пространство то есть Т₄ но нет счетно паракомпактный.

Даукер предположил, что пространств Даукера не существует, и эта гипотеза не была разрешена до тех пор, пока М.Е. Рудин построил один^[1] в 1971 году. Контрпример Рудина - очень большое пространство ( мощность ${displaystyle aleph _{omega }^{aleph _{0}}}$) и обычно не хорошо воспитанный. Золтан Балог дал первый ZFC строительство^[2] малой (мощности континуум ) пример, который был больше хорошо воспитанный чем у Рудина. С помощью Теория ПКФ, М. Койман и С. Шелах построен^[3] подпространство пространства Даукера Рудина мощности ${displaystyle aleph _{omega +1}}$ это тоже Даукер.

Нормальные пространства Мура

Основная статья: Гипотеза о нормальном пространстве Мура

Известная проблема - это нормальный космический вопрос Мура, вопрос общей топологии, который был предметом интенсивных исследований. В конечном итоге было доказано, что ответ на обычный вопрос о пространстве Мура не зависит от ZFC.

Кардинальные функции

Основная статья: Кардинальная функция

Кардинальные функции широко используются в топология как инструмент для описания различных топологические свойства.^[4][5] Ниже приведены некоторые примеры. (Примечание: некоторые авторы, утверждая, что «в общей топологии нет конечных кардинальных чисел»,^[6] предпочитают определять кардинальные функции, перечисленные ниже, чтобы они никогда не принимали конечные кардинальные числа в качестве значений; это требует модификации некоторых определений, приведенных ниже, например добавляя "${displaystyle ;;+;aleph _{0}}$"в правую часть определений и т. д.)

• Пожалуй, самые простые кардинальные инварианты топологического пространства Икс - его мощность и мощность топологии, обозначаемые соответственно через |Икс | и о(Икс).
• В масса w (Икс ) топологического пространства Икс наименьшая возможная мощность основание за Икс. Когда w (Икс ) ${displaystyle leq aleph _{0}}$ космос Икс как говорят второй счетный.
  • В ${displaystyle pi }$-масса пространства Икс наименьшая мощность ${displaystyle pi }$-база для Икс.
• В персонаж топологического пространства Икс в какой-то момент Икс наименьшая мощность местная база за Икс. В персонаж пространства Икс является ${displaystyle chi (X)=sup ;{chi (x,X):xin X}.}$ Когда ${displaystyle chi (X)leq aleph _{0}}$ космос Икс как говорят первый счетный.
• В плотность d (Икс ) пространства Икс - наименьшая мощность плотного подмножества Икс. Когда ${displaystyle {m {{d}(X)leq aleph _{0}}}}$ космос Икс как говорят отделяемый.
• В Число Линделёфа L (Икс ) пространства Икс наименьшая бесконечная мощность такая, что каждое открытая крышка имеет подпокрытие мощности не более L (Икс ). Когда ${displaystyle {m {{L}(X)=aleph _{0}}}}$ космос Икс считается Пространство Линделёфа.
• В клеточность пространства Икс является ${displaystyle {m {c}}(X)=sup{|{mathcal {U}}|:{mathcal {U}}}$ это семья взаимно непересекающийся непустой открыто подмножества ${displaystyle X}}$.
  • В Наследственная клеточность (иногда распространять) - точная верхняя грань клеточностей его подмножеств: ${displaystyle s(X)={m {hc}}(X)=sup{{m {c}}(Y):Ysubseteq X}}$ или же ${displaystyle s(X)=sup{|Y|:Ysubseteq X}$ с подпространство топология дискретный ${displaystyle }}$.
• В герметичность т(Икс, Икс) топологического пространства Икс в какой-то момент ${displaystyle xin X}$ это наименьшее кардинальное число ${displaystyle alpha }$ так что всякий раз, когда ${displaystyle xin {m {cl}}_{X}(Y)}$ для некоторого подмножества Y из Икс, существует подмножество Z из Y, с |Z | ≤ ${displaystyle alpha }$, так что ${displaystyle xin {m {cl}}_{X}(Z)}$. Символично, ${displaystyle t(x,X)=sup {ig {}min{|Z|:Zsubseteq Y wedge xin {m {cl}}_{X}(Z)}:Ysubseteq X wedge xin {m {cl}}_{X}(Y){ig }}.}$ В теснота пространства Икс является ${displaystyle t(X)=sup{t(x,X):xin X}}$. Когда t (X) = ${displaystyle aleph _{0}}$ космос Икс как говорят счетно генерируемый или же счетно туго.
  • В повышенная герметичность пространства Икс, ${displaystyle t^{+}(X)}$ самый маленький обычный кардинал ${displaystyle alpha }$ такой, что для любого ${displaystyle Ysubseteq X}$, ${displaystyle xin {m {cl}}_{X}(Y)}$ есть подмножество Z из Y с мощностью меньше чем ${displaystyle alpha }$, так что ${displaystyle xin {m {cl}}_{X}(Z)}$.

Аксиома мартина

Основная статья: Аксиома мартина

Для любого кардинала k, определим утверждение, обозначенное MA (k):

Для любого частичный заказ п удовлетворение условие счетной цепи (далее ccc) и любая семья D плотных множеств в п такой, что | D | ≤ k, Существует фильтр F на п такой, что F ∩ d не-пустой для каждого d в D.

Поскольку это теорема ZFC, MA (c) не выполняется, аксиома Мартина формулируется следующим образом:

Аксиома Мартина (MA): Для каждого k < c, Массачусетс (k) имеет место.

В этом случае (для применения ccc) антицепь является подмножеством А из п так что любые два различных члена А несовместимы (два элемента называются совместимыми, если существует общий элемент ниже обоих в частичном порядке). Это отличается, например, от понятия антицепи в контексте деревья.

MA (${displaystyle 2^{aleph _{0}}}$) ложно: [0, 1] является компактный Пространство Хаусдорфа, который отделяемый и так ccc. Нет изолированные точки, поэтому точки в нем нигде не плотные, но это объединение ${displaystyle 2^{aleph _{0}}}$ много очков.

Эквивалентная формулировка: если Икс компактный хаусдорф топологическое пространство который удовлетворяет ccc, тогда Икс это не союз k или меньше нигде не плотный подмножества.

У аксиомы Мартина есть ряд других интересных комбинаторный, аналитический и топологический последствия:

• Союз k или меньше нулевые наборы в безатомной σ-конечной Мера Бореля на Польское пространство нулевой. В частности, объединение k или меньше подмножеств р из Мера Лебега 0 также имеет меру Лебега 0.
• Компактное хаусдорфово пространство Икс с | X | < 2^k является последовательно компактный, т.е. каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.
• Нет непринципиального ультрафильтр на N имеет базу мощности < k.
• Равнозначно для любого Икс в βNN имеем χ (Икс) ≥ k, где χ - персонаж из Икс, поэтому χ (βN) ≥ k.
• MA (${displaystyle aleph _{1}}$) означает, что произведение топологических пространств ccc есть ccc (это, в свою очередь, означает, что нет Линии Суслина ).
• MA + ¬CH означает, что существует Группа Уайтхеда это не бесплатно; Шела использовал это, чтобы показать, что Проблема Уайтхеда не зависит от ZFC.

Принуждение

Основная статья: Принуждение (математика)

Принуждение это техника, изобретенная Пол Коэн для доказательства последовательность и независимость полученные результаты. Впервые он был использован в 1963 году, чтобы доказать независимость аксиома выбора и гипотеза континуума из Теория множеств Цермело – Френкеля. Принуждение было значительно переработано и упрощено в 1960-х годах и оказалось чрезвычайно мощным методом как в теории множеств, так и в областях математическая логика Такие как теория рекурсии.

Интуитивно понятно, что принуждение заключается в расширении теоретического набора вселенная V в большую вселенную V*. Например, в этой большой вселенной может появиться много новых подмножества из ω = {0,1,2,…}, которых не было в старой вселенной, и тем самым нарушают гипотеза континуума. Хотя это невозможно на первый взгляд, это всего лишь еще одна версия Парадокс Кантора о бесконечности. В принципе, можно было бы рассмотреть

${displaystyle V^{*}=V imes {0,1},,}$

идентифицировать ${displaystyle xin V}$с ${displaystyle (x,0)}$, а затем ввести расширенное отношение членства, включающее «новые» множества формы ${displaystyle (x,1)}$. Принуждение - это более сложная версия этой идеи, сводящая расширение к существованию одного нового набора и позволяющая точно контролировать свойства расширенной вселенной.

См. Основные статьи о таких приложениях, как случайные числа.

Рекомендации

1. Рудин М.Е. Нормальное пространство. Икс для которого X × I это не нормально, Fundam. Математика. 73 (1971) 179-186. Zbl. 0224.54019
2. З. Балог, «Небольшое пространство Даукера в ZFC», Proc. Амер. Математика. Soc. 124 (1996) 2555-2560. Zbl. 0876.54016
3. М. Койман, С. Шелах: "Помещение ZFC Dowker в ${displaystyle aleph _{omega +1}}$: приложение теории ПКФ к топологии ", Proc. Амер. Математика. Soc., 126(1998), 2459-2465.
4. Юхас, Иштван (1979). Кардинальные функции в топологии (PDF). Математика. Center Tracts, Амстердам. ISBN  90-6196-062-2.
5. Юхас, Иштван (1980). Кардинальные функции в топологии - десять лет спустя (PDF). Математика. Center Tracts, Амстердам. ISBN  90-6196-196-3.
6. Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология. Heldermann Verlag, Берлин. ISBN  3885380064.

дальнейшее чтение

• Кеннет Кунен; Джерри Э. Воган (ред.). Справочник по теоретико-множественной топологии. Северная Голландия. ISBN  0-444-86580-2.