Нормальное пространство - Normal space

Аксиомы разделения; в топологические пространства
Колмогоров классификация
Т0	(Колмогоров)
Т1	(Фреше)
Т2	(Хаусдорф)
Т2½	(Урысон)
полностью T2	(полностью Хаусдорф)
Т3	(обычный Хаусдорф)
Т3½	(Тихонов)
Т4	(нормальный Хаусдорф)
Т5	(совершенно нормально; Хаусдорф)
Т6	(совершенно нормально; Хаусдорф)
	История;

В топология и смежные отрасли математика, а нормальное пространство это топологическое пространство Икс это удовлетворяет Аксиома T₄: каждые два непересекающихся закрытые наборы из Икс не пересекаются открытые кварталы. Нормальный Пространство Хаусдорфа также называется Т₄ Космос. Эти условия являются примерами аксиомы разделения и их дальнейшее усиление определяет вполне нормальные хаусдорфовы пространства, или же Т₅ пробелы, и совершенно нормальные хаусдорфовы пространства, или же Т₆ пробелы.

Определения

А топологическое пространство Икс это нормальное пространство если, учитывая любой непересекающийся закрытые наборы E и F, Существуют окрестности U из E и V из F которые также не пересекаются. Более интуитивно это условие говорит, что E и F возможно разделены районами.

Закрытые множества E и F, здесь представленные замкнутыми дисками на противоположных сторонах изображения, разделены соответствующими окрестностями U и V, здесь представлены более крупными, но все же непересекающимися открытыми дисками.

А Т₄ Космос это Т₁ Космос Икс это нормально; это эквивалентно Икс быть нормальным и Хаусдорф.

А совершенно нормальное пространство или наследственно нормальное пространство топологическое пространство Икс так что каждый подпространство из Икс с топологией подпространства - нормальное пространство. Оказывается, что Икс совершенно нормально тогда и только тогда, когда каждые два отдельные наборы могут быть разделены районами. Также, Икс полностью нормально тогда и только тогда, когда каждое открытое подмножество Икс нормально с топологией подпространства.

А полностью T₄ Космос, или же Т₅ Космос это совершенно нормальный Т₁ Космос топологическое пространство Икс, откуда следует, что Икс является Хаусдорф; эквивалентно, каждое подпространство Икс должен быть T₄ Космос.

А совершенно нормальное пространство топологическое пространство Икс в котором каждые два непересекающихся замкнутых множества E и F можно точно разделить непрерывная функция ж из Икс к реальная линия р: the прообразы из {0} и {1} меньше ж являются, соответственно, E и F. (В этом определении реальную линию можно заменить на единичный интервал [0,1].)

Оказывается, что Икс совершенно нормально тогда и только тогда, когда Икс нормально, и каждое замкнутое множество является грамм_δ набор. Эквивалентно, Икс совершенно нормально тогда и только тогда, когда каждое замкнутое множество является нулевой набор. Каждое совершенно нормальное пространство автоматически становится совершенно нормальным.^[1]

Совершенно нормальное пространство Хаусдорфа Икс это Т₆ Космос, или же отлично Т₄ Космос.

Обратите внимание, что термины «нормальное пространство» и «T₄"и производные понятия иногда имеют разное значение. (Тем не менее," T₅"всегда означает то же, что и" полностью T₄", что бы это ни было.) Приведенные здесь определения обычно используются сегодня. Подробнее по этому вопросу см. История аксиом разделения.

Такие термины, как "нормальный" обычное пространство "и" нормальное хаусдорфово пространство "также встречаются в литературе - они просто означают, что пространство и нормально, и удовлетворяет другому упомянутому условию. В частности, нормальное хаусдорфово пространство - это то же самое, что и T₄ Космос. Учитывая историческую путаницу значений терминов, полезны словесные описания, когда они применимы, то есть «нормальный Хаусдорф» вместо «Т₄", или" совершенно нормальный Хаусдорф "вместо" T₅".

Полностью нормальные пространства и полностью T₄ пробелы обсуждаются в другом месте; они связаны с паракомпактность.

А локально нормальное пространство является топологическим пространством, в котором каждая точка имеет нормальную открытую окрестность. Каждое нормальное пространство локально нормально, но обратное неверно. Классическим примером полностью регулярного локально нормального пространства, которое не является нормальным, является Немыцкий самолет.

Примеры нормальных пространств

Большинство мест, встречающихся в математический анализ - нормальные хаусдорфовы пространства или, по крайней мере, нормальные регулярные пространства:

Все метрические пространства (а значит, и все метризуемые пространства ) совершенно нормальные хаусдорфовы;
Все псевдометрические пространства (а значит, и все псевдометризуемые пространства ) совершенно нормальные регулярные, хотя и не в целом по Хаусдорфу;
Все компактный Хаусдорфовы пространства нормальны;
В частности, Каменно-чешская компактификация из Тихоновское пространство нормальный Хаусдорф;
Обобщая приведенные выше примеры, все паракомпакт Хаусдорфовы пространства нормальны, и все паракомпактные регулярные пространства нормальны;
Все паракомпактные топологические многообразия совершенно нормальные Хаусдорфа. Однако существуют непаракомпактные многообразия, которые даже не являются нормальными.
Все заказать топологии на полностью упорядоченные наборы наследственно нормальны и хаусдорфовы.
Каждый регулярный секундомер совершенно нормально, и каждый обычный Пространство Линделёфа это нормально.

Также все полностью нормальные пространства нормальные (даже если не обычные). Пространство Серпинского является примером нормального пространства, которое не является регулярным.

Примеры ненормальных пространств

Важный пример ненормальной топологии дается Топология Зарисского на алгебраическое многообразие или на спектр кольца, который используется в алгебраическая геометрия.

Необычным пространством, имеющим некоторое отношение к анализу, является топологическое векторное пространство из всех функции от реальная линия р себе, с топология поточечной сходимости.В общем, теорема Артур Гарольд Стоун заявляет, что товар из бесчисленное множество не-компактный метрические пространства никогда не бывает нормальным.

Характеристики

Каждое замкнутое подмножество нормального пространства нормально. Непрерывный и замкнутый образ нормального пространства - это нормально.^[2]

Основное значение нормальных пространств состоит в том, что они допускают «достаточно» непрерывный настоящий -значен функции, что выражается следующими теоремами, справедливыми для любого нормального пространства Икс.

Лемма Урысона:Если А и B два непересекающийся закрытые подмножества Икс, то существует непрерывная функция ж из Икс к реальной линии р такой, что ж(Икс) = 0 для всех Икс в А и ж(Икс) = 1 для всех Икс в BФактически, мы можем принять значения ж быть полностью в пределах единичный интервал [0,1] (проще говоря, непересекающиеся замкнутые множества не только разделены окрестностями, но и разделены функцией.)

В более общем плане Теорема Титце о продолжении:Если А является замкнутым подмножеством Икс и ж является непрерывной функцией из А к р, то существует непрерывная функция F: Икс → р что расширяет ж в том смысле, что F(Икс) = ж(Икс) для всех Икс в А.

Если U является локально конечным открытая крышка нормального пространства Икс, то есть разделение единства точно подчиняться U. (Это показывает отношение нормальных пробелов к паракомпактность.)

Фактически, любое пространство, удовлетворяющее любому из этих трех условий, должно быть нормальным.

А товар нормальных пространств не обязательно является нормальным. Этот факт был впервые доказан Роберт Соргенфри. Примером этого явления является Самолет Соргенфри. Фактически, поскольку существуют пространства, которые Даукер, произведение нормального пространства и [0, 1] не обязательно должно быть нормальным. Кроме того, подмножество нормального пространства не обязательно должно быть нормальным (т.е. не каждое нормальное хаусдорфово пространство является полностью нормальным хаусдорфовым пространством), поскольку каждое тихоновское пространство является подмножеством своей компактификации Стоуна – Чеха (которая является нормальной хаусдорфовой). Более явным примером является Тихоновская доска. Единственный большой класс пространств произведений нормальных пространств, известных как нормальные, - это произведения компактных хаусдорфовых пространств, поскольку обе компактности (Теорема Тихонова ) и T₂ аксиомы сохраняются при произвольных произведениях.^[3]

Связь с другими аксиомами разделения

Если нормальное пространство р₀, то это на самом деле полностью обычный.Таким образом, что угодно из "нормального R₀"нормальным полностью регулярным" - то же самое, что мы обычно называем нормальный обычный.Взятие Колмогоровские коэффициенты, мы видим, что все нормально Т₁ пробелы находятся Тихонов.Это то, что мы обычно называем нормальный Хаусдорф пробелы.

Топологическое пространство называется псевдонормальный если в нем заданы два непересекающихся замкнутых множества, одно из которых счетно, то существуют непересекающиеся открытые множества, содержащие их. Любое нормальное пространство псевдонормально, но не наоборот.

Контрпримеры к некоторым вариациям этих утверждений можно найти в приведенных выше списках. Пространство Серпинского нормально, но не регулярно, а пространство функций из р для себя это Тихонов, но не нормальный.

Цитаты

^ Мункрес 2000, п. 213
^ Уиллард 1970, стр.100–101.
^ Уиллард 1970, Раздел 17.