История аксиом разделения - History of the separation axioms
| Аксиомы разделения в топологические пространства | |
|---|---|
| Колмогоров классификация | |
| Т0 | (Колмогоров) |
| Т1 | (Фреше) |
| Т2 | (Хаусдорф) |
| Т2½ | (Урысон) |
| полностью T2 | (полностью Хаусдорф) |
| Т3 | (обычный Хаусдорф) |
| Т3½ | (Тихонов) |
| Т4 | (нормальный Хаусдорф) |
| Т5 | (совершенно нормально Хаусдорф) |
| Т6 | (совершенно нормально Хаусдорф) |
 | Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. (Октябрь 2014 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) |
В история аксиомы разделения в общая топология был запутанным, с множеством значений, конкурирующих за одни и те же термины, и множеством терминов, конкурирующих за одну и ту же концепцию.
Происхождение
До нынешнего общего определения топологическое пространство было предложено множество определений, некоторые из которых предполагали (что мы сейчас понимаем как) некоторые аксиомы разделения. Например, определение, данное Феликс Хаусдорф в 1914 году эквивалентно современному определению плюс Аксиома разделения Хаусдорфа.
Аксиомы разделения, как группа, стали важными в изучении метризуемость: вопрос о том, какие топологические пространства могут быть заданы структура из метрическое пространство. Метрические пространства удовлетворяют всем аксиомам разделения; но на самом деле изучение пространств, удовлетворяющих только немного аксиомы помогают развить понятие полной метризуемости.
Аксиомы разделения, которые впервые были изучены вместе таким образом, были аксиомами для доступные пространства, Хаусдорфовы пространства, регулярные пространства, и нормальные пространства. Топологи присвоили этим классам пространств имена T1, Т2, Т3, и т4. Позже эта система нумерации была расширена за счет включения Т0, Т21⁄2, Т31⁄2 (или Tπ), Т5, и Т6.
Но у этой последовательности были свои проблемы. Идея заключалась в том, чтобы каждый Tя пространство - это особый вид Tj пространство, если я > j. Но это не обязательно так, поскольку определения различаются. Например, обычное пространство (называемое T3) не обязательно должно быть хаусдорфовым пространством (называемым T2), по крайней мере, не согласно простейшему определению регулярных пространств.
Различные определения
Каждый автор согласился с T0, Т1, и т2. Однако для других аксиом разные авторы могли использовать существенно разные определения, в зависимости от того, над чем они работали. Эти различия могут развиваться, потому что, если предположить, что топологическое пространство удовлетворяет T1 аксиома, то различные определения (в большинстве случаев) эквивалентны. Таким образом, если кто-то собирается сделать это предположение, то нужно использовать самое простое определение. Но если бы кто-то не сделал этого предположения, то самое простое определение могло бы не подходить для наиболее полезной концепции; в любом случае, это разрушит (переходный) логическое следствие Тя автор: Tj, допускающую (например) нехаусдорфовы регулярные пространства.
Топологи, работающие над проблемой метризации в целом сделал предположим T1; ведь все метрические пространства - это T1. Таким образом, они использовали простейшие определения Tя. Затем, в тех случаях, когда они нет предположить T1они использовали слова («обычный» и «нормальный») для более сложных определений, чтобы противопоставить их более простым. Этот подход использовался еще в 1970 году с публикацией Контрпримеры в топологии к Линн А. Стин и Дж. Артур Сибах-младший
В отличие, общие топологи во главе с Джон Л. Келли в 1955 г. обычно не принимали T1, поэтому они с самого начала изучили аксиомы разделения в наибольшей степени. Они использовали более сложные определения Tя, так что у них всегда будет хорошее свойство, связывающее Tя к Тj. Затем для более простых определений они использовали слова (опять же, «обычный» и «нормальный»). Можно сказать, что оба соглашения следуют «первоначальному» значению; разные значения одинаковы для T1 пробелы, которые были исходным контекстом. Но в результате разные авторы использовали разные термины совершенно противоположным образом. Путаницу усугубляет то, что в некоторой литературе можно заметить хорошее различие между аксиомой и пространством, которое удовлетворяет этой аксиоме, так что T3 Космос может потребоваться удовлетворить аксиомы Т3 и т0 (например, в Энциклопедический математический словарь2-е изд.).
С 1970 года термины общих топологов становятся все более популярными, в том числе в других разделах математики, таких как анализ. (Таким образом, мы используем их термины в Википедии.) Но использование все еще непоследовательно.
Полностью Хаусдорф, Урысон и Т.21⁄2 пробелы
Стин и Зеебах определяют пространство Урысона как «пространство с функцией Урысона для любых двух точек». Уиллард называет это полностью хаусдорфовым пространством. Стин и Зеебах определяют полностью хаусдорфово пространство или T21⁄2 пространство как пространство, в котором каждые две точки разделены замкнутыми окрестностями, которое Уиллард называет пространством Урысона или T21⁄2 Космос. (Википедия следует за Уиллардом.)
Смотрите также
Рекомендации
- Джон Л. Келли; Общая топология; ISBN 0-387-90125-6
- Стин, Линн Артур; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Контрпримеры в топологии (Дувр переиздание изд. 1978 г.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, МИСТЕР 0507446
- Стивен Уиллард, Общая топология, Addison-Wesley, 1970. Перепечатано Dover Publications, Нью-Йорк, 2004. ISBN 0-486-43479-6 (Дуврское издание).
- Уиллард, Стивен (2004) [1970]. Общая топология. Дуврские книги по математике (Первое изд.). Минеола, Нью-Йорк.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.