Пространство Хаусдорфа - Hausdorff space

Аксиомы разделения; в топологические пространства
Колмогоров классификация
Т0	(Колмогоров)
Т1	(Фреше)
Т2	(Хаусдорф)
Т2½	(Урысон)
полностью T2	(полностью Хаусдорф)
Т3	(обычный Хаусдорф)
Т3½	(Тихонов)
Т4	(нормальный Хаусдорф)
Т5	(совершенно нормально; Хаусдорф)
Т6	(совершенно нормально; Хаусдорф)
	История;

В топология и смежные отрасли математика, а Пространство Хаусдорфа, разделенное пространство или же Т₂ Космос это топологическое пространство где для любых двух различных точек существуют окрестности каждого из которых непересекающийся друг от друга. Из многих аксиомы разделения которое можно наложить на топологическое пространство, "условие Хаусдорфа" (T₂) является наиболее часто используемым и обсуждаемым. Это предполагает уникальность пределы из последовательности, сети, и фильтры.^[1]

Хаусдорфовы пространства названы в честь Феликс Хаусдорф, один из основоположников топологии. Первоначальное определение топологического пространства Хаусдорфом (1914 г.) включало условие Хаусдорфа как аксиома.

Определения

Точки x и y, разделенные своими окрестностями U и V.

Точки ${displaystyle x}$ и ${displaystyle y}$ в топологическом пространстве ${displaystyle X}$ возможно разделены районами если Существует а район ${displaystyle U}$ из ${displaystyle x}$ и окрестности ${displaystyle V}$ из ${displaystyle y}$ такой, что ${displaystyle U}$ и ${displaystyle V}$ находятся непересекающийся ( ${displaystyle Ucap V = emptyset}$ ). ${displaystyle X}$ это Пространство Хаусдорфа если все различные точки в ${displaystyle X}$ попарно окрестностно отделимы. Это условие третье аксиома разделения (после ${displaystyle T_ {0}, T_ {1}}$ ), поэтому хаусдорфовы пространства еще называют ${displaystyle T_ {2}}$ пробелы. Название разделенное пространство также используется.

Родственное, но более слабое понятие - понятие предрегулярное пространство. ${displaystyle X}$ является дорегулярным пространством, если любые два топологически различимый точки могут быть разделены непересекающимися окрестностями. Пререгулярные пространства также называют ${displaystyle R_ {1}}$ пробелы.

Связь между этими двумя условиями следующая. Топологическое пространство хаусдорфово если и только если он и предрегулярен (т.е. топологически различимые точки разделены окрестностями) и Колмогоров (т.е. различные точки топологически различимы). Топологическое пространство предрегулярно тогда и только тогда, когда его Фактор Колмогорова Хаусдорф.

Эквивалентности

Для топологического пространства Икс, следующие эквиваленты:^[2]

Икс является хаусдорфовым пространством.
Пределы сети в Икс уникальны.^[3]
Пределы фильтры на Икс уникальны.^[4]
Любой одноэлементный набор {Икс} ⊂ Икс равно пересечению всех закрытые районы из Икс.^[5] (Замкнутая окрестность Икс это закрытый набор который содержит открытый набор, содержащий Икс.)
Диагональ Δ = {(Икс,Икс) | Икс ∈ Икс} является закрыто как подмножество пространство продукта Икс × Икс.

Примеры и не примеры

Почти все места, встречающиеся в анализ хаусдорфовы; самое главное действительные числа (по стандарту метрическая топология на действительных числах) являются хаусдорфовым пространством. В общем, все метрические пространства Хаусдорфовы. Фактически, многие области использования в анализе, такие как топологические группы и топологические многообразия, в их определениях явно указано условие Хаусдорфа.

Простой пример топологии, которая Т₁ но не Хаусдорф конфинитная топология определено на бесконечный набор.

Псевдометрические пространства обычно не хаусдорфовы, но они дорегулярны, и их использование в анализе обычно только при построении Хаусдорфа. калибровочные пространства. В самом деле, когда аналитики сталкиваются с нехаусдорфовым пространством, оно, вероятно, все еще является, по крайней мере, дорегулярным, а затем они просто заменяют его частным Колмогорова, которым является Хаусдорф.^[6]

Напротив, нерегулярные пространства встречаются гораздо чаще в абстрактная алгебра и алгебраическая геометрия, в частности как Топология Зарисского на алгебраическое многообразие или спектр кольца. Они также возникают в теория моделей из интуиционистская логика: каждый полный Алгебра Гейтинга это алгебра открытые наборы некоторого топологического пространства, но это пространство не обязательно должно быть предрегулярным, тем более хаусдорфовым, и на самом деле обычно таковым не является. Родственная концепция Скотт домен также состоит из нерегулярных пространств.

Хотя существование уникальных пределов для сходящихся сетей и фильтров означает, что пространство является хаусдорфовым, существуют нехаусдорфовы T₁ пространства, в которых каждая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.^[7]

Характеристики

Подпространства и товары хаусдорфовых пространств хаусдорфовы,^[8] но факторпространства хаусдорфовых пространств не обязательно должны быть хаусдорфовыми. Фактически, каждый топологическое пространство может быть реализовано как фактор некоторого хаусдорфова пространства.^[9]

Хаусдорфовы пространства Т₁, что означает, что все синглтоны закрыты. Точно так же пререгулярные пространства р₀.

Еще одно замечательное свойство хаусдорфовых пространств состоит в том, что компактные наборы всегда закрыты.^[10] Это может потерпеть неудачу в нехаусдорфовых пространствах, таких как Пространство Серпинского.

Определение пространства Хаусдорфа говорит, что точки могут быть разделены окрестностями. Оказывается, отсюда следует нечто более сильное: в хаусдорфовом пространстве каждую пару непересекающихся компактов можно разделить окрестностями,^[11] другими словами, существует окрестность одного набора и окрестность другого, так что эти две окрестности не пересекаются. Это пример общего правила, согласно которому компактные множества часто ведут себя как точки.

Условия компактности вместе с предрегулярностью часто подразумевают более сильные аксиомы разделения. Например, любой локально компактный предрегулярное пространство полностью обычный. Компактный пререгулярные пространства нормальный, что означает, что они удовлетворяют Лемма Урысона и Теорема Титце о продолжении и имеют разделы единства подчиненный локально конечному открытые крышки. Хаусдорфовы версии этих утверждений: каждое локально компактное хаусдорфово пространство является Тихонов, и всякое компактное хаусдорфово пространство нормально хаусдорфово.

Следующие результаты представляют собой некоторые технические свойства карт (непрерывный а в противном случае) в хаусдорфовы пространства и обратно.

Позволять ж : Икс → Y - непрерывная функция, и пусть Y Хаусдорф. Тогда график из ж, ${displaystyle {(x, f (x)) mid xin X}}$ , является замкнутым подмножеством Икс × Y.

Позволять ж : Икс → Y функция и пусть ${displaystyle operatorname {ker} (f) riangleq {(x, x ') mid f (x) = f (x')}}$ быть его ядро рассматривается как подпространство Икс × Икс.

Если ж непрерывно и Y хаусдорфово, то ker (ж) закрыто.
Если ж является открыто сюрприз и кер (ж) закрывается, то Y Хаусдорф.
Если ж - непрерывная открытая сюръекция (т. е. открытое фактор-отображение), то Y Хаусдорф если и только если ker (f) замкнуто.

Если f, g : Икс → Y являются непрерывными отображениями и Y Хаусдорф, то эквалайзер ${displaystyle {mbox {eq}} (f, g) = {xmid f (x) = g (x)}}$ закрыт в Икс. Отсюда следует, что если Y Хаусдорф и ж и грамм договориться о плотный подмножество Икс тогда ж = грамм. Другими словами, непрерывные функции в хаусдорфовых пространствах определяются своими значениями на плотных подмножествах.

Позволять ж : Икс → Y быть закрыто такое сюрприз, что ж⁻¹(у) является компактный для всех у ∈ Y. Тогда если Икс Хаусдорф таков Y.

Позволять ж : Икс → Y быть карта частных с Икс компактное хаусдорфово пространство. Тогда следующие эквиваленты:

Y Хаусдорф.
ж это закрытая карта.
кер (ж) закрыто.

Пререгулярность против регулярности

Все регулярные пространства предрегулярны, как и все хаусдорфовы пространства. Есть много результатов для топологических пространств, которые верны как для регулярных, так и для хаусдорфовых пространств. В большинстве случаев эти результаты верны для всех предрегулярных пространств; они были перечислены для регулярных и хаусдорфовых пространств отдельно, потому что идея предрегулярных пространств появилась позже. С другой стороны, те результаты, которые действительно касаются регулярности, обычно не применимы также к нерегулярным хаусдорфовым пространствам.

Есть много ситуаций, когда другое условие топологических пространств (например, паракомпактность или же локальная компактность ) будет подразумевать регулярность, если выполняется предрегулярность. Такие условия часто бывают двух версий: регулярная версия и хаусдорфова версия. Хотя хаусдорфовы пространства, в общем, не являются регулярными, хаусдорфово пространство, которое также (скажем) локально компактно, будет регулярным. , потому что любое хаусдорфово пространство является предрегулярным. Таким образом, с определенной точки зрения, в этих ситуациях имеет значение именно предрегулярность, а не регулярность. Однако определения обычно все еще формулируются в терминах регулярности, поскольку это условие более известно, чем пререгулярность.

Видеть История аксиом разделения для получения дополнительной информации по этому вопросу.

Варианты

Термины «Хаусдорф», «разделенный» и «предрегулярный» также могут применяться к таким вариантам топологических пространств, как равномерные пространства, Пространства Коши, и пространства сходимости Характеристика, объединяющая концепцию во всех этих примерах, заключается в том, что пределы сетей и фильтров (если они существуют) уникальны (для разделенных пространств) или уникальны с точностью до топологической неразличимости (для дорегулярных пространств).

Как оказалось, равномерные пространства и, в более общем смысле, пространства Коши всегда предрегулярны, поэтому условие Хаусдорфа в этих случаях сводится к T₀ условие. Это также пространства, в которых полнота имеет смысл, и хаусдорфность является естественным дополнением к полноте в этих случаях. В частности, пространство является полным тогда и только тогда, когда каждая сеть Коши имеет точку наименее один предел, а пространство хаусдорфово тогда и только тогда, когда каждая сеть Коши имеет в наиболее один предел (так как только сети Коши могут иметь ограничения в первую очередь).

Алгебра функций

Алгебра непрерывных (вещественных или комплексных) функций на компактном хаусдорфовом пространстве является коммутативной C * -алгебра, и наоборот Теорема Банаха – Стоуна топологию пространства можно восстановить, исходя из алгебраических свойств его алгебры непрерывных функций. Это ведет к некоммутативная геометрия, где некоммутативные C * -алгебры рассматриваются как представления алгебр функций на некоммутативном пространстве.

Академический юмор

Условие Хаусдорфа иллюстрируется каламбуром, согласно которому в пространствах Хаусдорфа любые две точки могут быть «отделены» друг от друга с помощью открытые наборы.^[12]
В Математическом институте Боннский университет, в котором Феликс Хаусдорф исследовал и читал лекции, есть определенная комната, обозначенная Хаусдорф-Раум. Это каламбур, так как Raum означает как комната и Космос на немецком.

Смотрите также

Квазитопологическое пространство
Слабое хаусдорфово пространство
Пространство с фиксированной точкой, пространство Хаусдорфа Икс такая, что каждая непрерывная функция $ж : Икс \to Икс$ имеет фиксированную точку.

Примечания

^ ^{[нужна цитата ]}https://ncatlab.org/nlab/show/separation+axioms
^ "аксиомы разделения в nLab". ncatlab.org. Получено 2020-01-01.
^ Уиллард, стр. 86–87.
^ Уиллард, стр. 86–87.
^ Бурбаки, с. 75.
^ См. Например Lp пробел # Lp пробел, Компакт Банаха – Мазура и Т. Д.
^ ван Доувен, Эрик К. (1993). «Антихаусдорфово пространство Фреше, в котором сходящиеся последовательности имеют единственные пределы». Топология и ее приложения. 51 (2): 147–158. Дои:10.1016/0166-8641(93)90147-6.
^ «Хаусдорфова собственность наследственная». PlanetMath.
^ Шимрат, М. (1956). «Пространства декомпозиции и разделительные свойства». Кварта. J. Math. 2: 128–129. Дои:10.1093 / qmath / 7.1.128.
^ «Доказательство того, что компакт в хаусдорфовом пространстве замкнут». PlanetMath.
^ Уиллард, стр. 124.
^ Колин Адамс и Роберт Франзоза. Введение в топологию: чистая и прикладная. п. 42

Топология
Поля	Общие (набор точек) Алгебраический Комбинаторный Continuum Дифференциальный Геометрический малоразмерный Гомология когомология Теоретико-множественный
Ключевые идеи	Открытый набор / Закрытый набор Непрерывность Космос компактный Хаусдорф метрика униформа Гомотопия гомотопическая группа фундаментальная группа Симплициальный комплекс CW комплекс Многообразие Место с подсчетом секунд
Категория Математический портал Викибук Викиверситет Темы Общее алгебраический геометрический Публикации