Единое пространство - Uniform space

в математический поле топология, а однородное пространство это набор с единообразная структура.^{[требуется разъяснение ]} Равномерные пространства топологические пространства с дополнительной структурой, которая используется для определения однородные свойства Такие как полнота, равномерная преемственность и равномерное схождение. Равномерные пространства обобщают метрические пространства и топологические группы, но концепция предназначена для формулирования самых слабых аксиом, необходимых для большинства доказательств в анализ.

Помимо обычных свойств топологической структуры, в однородном пространстве формализуется понятия относительной близости и близости точек. Другими словами, такие идеи, как "Икс ближе к а чем у должен б"имеют смысл в однородных пространствах. Для сравнения, в общем топологическом пространстве данные множества А, Б имеет смысл сказать, что точка Икс является произвольно закрыть к А (т.е. при закрытии А), или, возможно, что А это меньший район из Икс чем B, но понятия близости точек и относительной близости плохо описываются только топологической структурой.

Определение

Есть три эквивалентных определения равномерного пространства. Все они представляют собой пространство, имеющее единую структуру.

Определение антуража

Это определение обобщает представление топологического пространства в терминах системы соседства. Непустая коллекция ${\displaystyle \Phi }$ подмножеств ${\displaystyle U\subseteq X\times X}$ это единообразная структура (или единообразие), если он удовлетворяет следующим аксиомам:

1. Если ${\displaystyle U\in \Phi }$, тогда ${\displaystyle \Delta \subseteq U}$, куда ${\displaystyle \Delta =\{(x,x):x\in X\}}$ диагональ на ${\displaystyle X\times X}$.
2. Если ${\displaystyle U\in \Phi }$ и ${\displaystyle U\subseteq V\subseteq X\times X}$, тогда ${\displaystyle V\in \Phi }$.
3. Если ${\displaystyle U\in \Phi }$ и ${\displaystyle V\in \Phi }$, тогда ${\displaystyle U\cap V\in \Phi }$.
4. Если ${\displaystyle U\in \Phi }$, то есть ${\displaystyle V\in \Phi }$ такой, что ${\displaystyle V\circ V\subseteq U}$, куда ${\displaystyle V\circ V}$ обозначает совокупность ${\displaystyle V}$ с собой. (В составной из двух подмножеств ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle U}$ из ${\displaystyle X\times X}$ определяется ${\displaystyle V\circ U=\{(x,z):\exists y\in X:(x,y)\in U\wedge (y,z)\in V\}}$.)
5. Если ${\displaystyle U\in \Phi }$, тогда ${\displaystyle U^{-1}\in \Phi }$, куда ${\displaystyle U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}}$ это обратный из U.

Непустота Φ вместе с (2) и (3) утверждает, что Φ это фильтр на Икс × Икс. Если последнее свойство опущено, мы называем пространство квазиоднородный. Элементы U из Φ называются окрестности или же свита от французского слова для окружение.

Обычно пишут U[Икс] = {у : (Икс,у) ∈ U} = pr₂(U ∩ ({ Икс } × Икс )), куда U ∩ ({ Икс } × Икс ) вертикальное сечение U и пр₂ - проекция на вторую координату. На графике типичный антураж изображен в виде капли, окружающей "у = Икс"диагональ; все разные U[Икс]образуют вертикальные сечения. Если (Икс, у) ∈ U, говорят, что Икс и у находятся U-Закрыть. Аналогично, если все пары точек в подмножестве А из Икс находятся U-close (т.е. если А ×; А содержится в U), А называется U-маленький. Антураж U является симметричный если (Икс, у) ∈ U именно когда (у, Икс) ∈ U. Первая аксиома утверждает, что каждая точка U-Близко к себе для каждого антуража U. Третья аксиома гарантирует, что "оба U-закрыть и V-close »также является отношением близости в однородности. Четвертая аксиома утверждает, что для каждого антуража U есть антураж V то есть «не более чем вдвое меньше». Наконец, последняя аксиома утверждает, что свойство «близость» по отношению к однородной структуре симметрично в Икс и у.

А основание или же фундаментальная система антуража (или же окрестности) однородности Φ любой набор B антуража Φ так что каждый антураж Ф содержит набор, принадлежащий B. Таким образом, по свойству 2 выше, фундаментальные системы антуража B достаточно указать однородность Φ однозначно: Φ это множество подмножеств Икс × Икс которые содержат набор B. Каждое однородное пространство имеет фундаментальную систему антуражей, состоящую из симметричных антуражей.

Интуиция о единообразии дается на примере метрические пространства: если (Икс, d) метрическое пространство, множества

${\displaystyle U_{a}=\{(x,y)\in X\times X:d(x,y)\leq a\}\quad {\text{where}}\quad a>0}$

образуют фундаментальную систему антуража для стандартной единой структуры Икс. потом Икс и у находятся U_а-закрыть точно, когда расстояние между Икс и у самое большее а.

Единообразие Φ является тоньше чем другое единообразие Ψ на том же множестве, если Φ ⊇ Ψ; в таком случае Ψ как говорят грубее чем Φ.

Определение псевдометрики

Равномерные пространства могут быть определены альтернативно и эквивалентно с использованием систем псевдометрика, подход, который особенно полезен в функциональный анализ (с псевдометрикой, предоставленной полунормы ). Точнее, пусть ж: Икс × Икс → р быть псевдометрикой на множестве Икс. Обратные изображения U_а = ж⁻¹([0,а]) за а Можно показать, что> 0 образует фундаментальную систему однородных антуражей. Равномерность, порожденная U_а равномерность, определяемая одиночным псевдометрическим ж. Некоторые авторы называют пространства, топология которых определяется в терминах псевдометрики калибровочные пространства.

Для семья (ж_я) псевдометрики на Икс, равномерная структура, определяемая семейством, является наименьшая верхняя граница однородных структур, определяемых индивидуальной псевдометрикой ж_я. Фундаментальная система антуража этого единообразия обеспечивается набором конечный пересечения антуражей однородностей, определяемых индивидуальной псевдометрикой ж_я. Если семейство псевдометрики конечный, видно, что одна и та же однородная структура определяется Один псевдометрические, а именно верхний конверт Как дела ж_я семьи.

Менее тривиально можно показать, что однородная структура, допускающая счетный фундаментальная система антуражей (следовательно, в частности, однородность, определяемая счетным семейством псевдометрики) может быть определена одной псевдометрикой. Следствием этого является то, что любой равномерная структура может быть определена, как указано выше, с помощью (возможно, несчетного) семейства псевдометрик (см. Бурбаки: Общая топология, глава IX, §1, № 4).

Единое определение покрытия

А единое пространство (Икс, Θ) - это множество Икс оснащен выдающимся семейством покрытий Θ, называемые «униформными крышками», составленные из набора покрытия из Икс, которые образуют фильтр при заказе звездной доработкой. Один говорит, что крышка п это звездная утонченность покрытия Q, написано п <* Q, если для каждого А ∈ п, Существует U ∈ Q так что если А ∩ B ≠ ø, B ∈ п, тогда B ⊆ U. Аксиоматически условие быть фильтром сводится к:

1. {X} - равномерное покрытие (т.е. {X} ∈ Θ).
2. Если п <* Q и п равномерное покрытие, то Q это тоже единое покрытие.
3. Если п и Q равномерные покрытия, то есть единое покрытие р эта звезда уточняет оба п и Q.

Учитывая точку Икс и равномерное покрытие п, можно рассматривать объединение членов п которые содержат Икс как типичный район Икс "размера" п, и эта интуитивная мера применяется равномерно в пространстве.

Учитывая однородное пространство в смысле антуража, определите покрытие п быть единообразным, если есть антураж U так что для каждого Икс ∈ Икс, существует А ∈ п такой, что U[Икс] ⊆ А. Эти равномерные покрытия образуют единое пространство, как во втором определении. Наоборот, для данного равномерного пространства в смысле равномерного покрытия надмножества ⋃ {А × А : А ∈ п}, в качестве п пробегает равномерные покрытия, - антуражи для равномерного пространства, как в первом определении. Более того, эти два преобразования противоположны друг другу.

Топология равномерных пространств

Каждое единое пространство Икс становится топологическое пространство путем определения подмножества О из Икс быть открытым тогда и только тогда, когда для каждого Икс в О есть свита V такой, что V[Икс] является подмножеством О. В этой топологии фильтр окрестности точки Икс является {V[Икс]: V ∈ Φ}. Это можно доказать с помощью рекурсивного использования существования антуража «половинного размера». По сравнению с общим топологическим пространством наличие однородной структуры позволяет сравнивать размеры окрестностей: V[Икс] и V[у] считаются «одного размера».

Топология, определяемая равномерной структурой, называется индуцированный однородностью. Равномерная структура на топологическом пространстве - это совместимый с топологией, если топология, определяемая равномерной структурой, совпадает с исходной топологией. В общем, несколько различных однородных структур могут быть совместимы с данной топологией на Икс.

Единообразные пространства

Основная статья: Единообразное пространство

Топологическое пространство называется униформизируемый если есть единообразная структура, совместимая с топологией.

Каждое униформизируемое пространство - это полностью обычный топологическое пространство. Более того, для униформизуемого пространства Икс следующие эквивалентны:

• Икс это Колмогоровское пространство
• Икс это Пространство Хаусдорфа
• Икс это Тихоновское пространство
• для любой согласованной равномерной структуры пересечением всех антуражей является диагональ {(Икс, Икс) : Икс в Икс}.

Некоторые авторы (например, Энгелькинг) добавляют это последнее условие непосредственно в определение униформизируемого пространства.

Топология униформизируемого пространства всегда симметричная топология; то есть пространство р₀-Космос.

Наоборот, каждое вполне регулярное пространство униформизуемо. Равномерность, совместимая с топологией вполне регулярного пространства Икс можно определить как грубейшую однородность, которая делает все непрерывные действительные функции на Икс равномерно непрерывный. Фундаментальная система окружения для этой однородности обеспечивается всеми конечными пересечениями множеств (ж × ж)⁻¹(V),куда ж является непрерывной действительной функцией на Икс и V антураж единого пространства р. Эта единообразие определяет топологию, которая явно грубее, чем исходная топология Икс; то, что она также тоньше исходной топологии (следовательно, совпадает с ней), является простым следствием полной регулярности: для любого Икс ∈ Икс и окрестности V из Икс, существует непрерывная вещественная функция ж с ж(Икс) = 0 и равным 1 в дополнении V.

В частности, компактное хаусдорфово пространство униформизуемо. Фактически, для компактного хаусдорфова пространства Икс множество всех окрестностей диагонали в Икс × Икс сформировать уникальный однородность совместима с топологией.

Равномерное пространство Хаусдорфа называется метризуемый если его однородность может быть определена счетный семейство псевдометрики. Действительно, как обсуждалось над, такую ​​равномерность можно определить Один псевдометрикой, которая обязательно является метрикой, если пространство хаусдорфово. В частности, если топология векторное пространство хаусдорфова и определима счетным семейством полунормы, она метризуема.

Единая непрерывность

Основная статья: Единая непрерывность

Похожий на непрерывные функции между топологические пространства, которые сохраняют топологические свойства, являются равномерно непрерывные функции между однородными пространствами, которые сохраняют однородные свойства. Равномерные пространства с равномерными отображениями образуют категория. An изоморфизм между однородными пространствами называется равномерный изоморфизм.

Равномерно непрерывная функция определяется как функция, в которой прообразы окружения снова являются антуражами, или, что эквивалентно, функция, в которой прообразы однородных покрытий снова являются однородными покрытиями.

Все равномерно непрерывные функции непрерывны относительно индуцированных топологий.

Полнота

Обобщая понятие полное метрическое пространство, можно также определить полноту для равномерных пространств. Вместо того, чтобы работать с Последовательности Коши, один работает с Фильтры Коши (или же Сети Коши ).

А Фильтр Коши F на едином пространстве Икс это фильтр F такой, что для каждого антуража U, Существует А∈F с А×А ⊆ U. Другими словами, фильтр называется Коши, если он содержит «сколь угодно малые» множества. Из определений следует, что каждый фильтр, который сходится (относительно топологии, определяемой равномерной структурой), является фильтром Коши. Фильтр Коши называется фильтром Коши. минимальный если он не содержит меньшего (то есть более грубого) фильтра Коши (кроме него самого). Можно показать, что каждый фильтр Коши содержит уникальный минимальный фильтр Коши. Фильтр окрестностей каждой точки (фильтр, состоящий из всех окрестностей точки) является минимальным фильтром Коши.

И наоборот, однородное пространство называется полный если каждый фильтр Коши сходится. Любое компактное хаусдорфово пространство является полным равномерным пространством относительно единственной равномерности, согласованным с топологией.

Полные равномерные пространства обладают следующим важным свойством: если ж: А → Y это равномерно непрерывный функция от плотный подмножество А единого пространства Икс в полный единое пространство Y, тогда ж продолжается (однозначно) в равномерно непрерывную функцию на всех Икс.

Топологическое пространство, которое можно превратить в полное однородное пространство, однородность которого индуцирует исходную топологию, называется полностью унифицированное пространство.

Хаусдорфово пополнение однородного пространства

Как и в случае с метрическими пространствами, каждое равномерное пространство Икс имеет Хаусдорфово завершение: то есть существует полное хаусдорфово равномерное пространство Y и равномерно непрерывное отображение я: Икс → Y со следующим свойством:

для любого равномерно непрерывного отображения ж из Икс в полное хаусдорфово однородное пространство Z, существует единственное равномерно непрерывное отображение грамм: Y → Z такой, что ж = джи.

Завершение Хаусдорфа Y единственно с точностью до изоморфизма. В комплекте, Y можно считать состоящим из минимальный Фильтры Коши на Икс. Как фильтр соседства B(Икс) каждой точки Икс в Икс минимальный фильтр Коши, отображение я можно определить отображением Икс к B(Икс). Карта я таким образом определенное, в общем, не является инъективным; на самом деле график отношения эквивалентности я(Икс) = я(Икс ') является пересечением всех антуражей Икс, и поэтому я инъективен именно тогда, когда Икс Хаусдорф.

Единая структура на Y определяется следующим образом: для каждого симметричный свита V (т. е. такие, что (Икс,у) в V именно когда (у,Икс) в V), позволять C(V) - множество всех пар (F,грамм) минимальных фильтров Коши которые имеют общий хотя бы один V-маленький набор. Наборы C(V) можно показать, что они образуют фундаментальную систему антуража; Y имеет определенную таким образом единую структуру.

Набор я(Икс) является плотным подмножеством Y. Если Икс Хаусдорф, то я является изоморфизмом на я(Икс), и поэтому Икс можно отождествить с плотным подмножеством его завершения. Более того, я(Икс) всегда хаусдорф; это называется Равномерное пространство Хаусдорфа, ассоциированное с Икс. Если р обозначает отношение эквивалентности я(Икс) = я(Икс '), то фактор-пространство Икс/р гомеоморфен я(Икс).

Примеры

1. Каждый метрическое пространство (M, d) можно рассматривать как единое пространство. В самом деле, поскольку метрика тем более псевдометрический, псевдометрическое определение обставляет M с однородной структурой. Фундаментальную систему антуража этого единообразия составляют наборы

   ${\displaystyle \qquad U_{a}\triangleq d^{-1}([0,a])=\{(m,n)\in M\times M:d(m,n)\leq a\}.}$

   Эта единообразная структура на M порождает обычную топологию метрического пространства на M. Однако разные метрические пространства могут иметь одинаковую однородную структуру (тривиальный пример - постоянное кратное метрики). Эта единообразная структура дает также эквивалентные определения равномерная непрерывность и полнота для метрических пространств.
2. Используя метрики, можно построить простой пример различных однородных структур с совпадающими топологиями. Например, пусть d₁(Икс,у) = | х - у | быть обычной метрикой на р и разреши d₂(Икс,у) = | е^Икс - е^у |, Тогда обе метрики индуцируют обычную топологию на р, но однородные структуры различны, так как {(x, y): | х - у | <1} - антураж в единой структуре для d₁ но не для d₂. Неформально этот пример можно рассматривать как взятие обычного единообразия и искажение его посредством действия непрерывной, но неравномерно непрерывной функции.
3. Каждый топологическая группа грамм (в частности, каждый топологическое векторное пространство ) становится однородным пространством, если мы определим подмножество V из грамм × грамм быть антуражем тогда и только тогда, когда оно содержит множество {(Икс, у) : Икс⋅у⁻¹ в U } для некоторых район U из элемент идентичности из грамм. Эта единообразная структура на грамм называется правильное единообразие на грамм, потому что для каждого а в грамм, правильное умножение Икс → Икс⋅а является равномерно непрерывный относительно этой однородной структуры. Можно также определить левую равномерность на грамм; эти два не обязательно должны совпадать, но они оба генерируют данную топологию на грамм.
4. Для каждой топологической группы грамм и его подгруппа ЧАС набор левых смежные классы грамм/ЧАС является равномерным пространством относительно равномерности Φ, определенной следующим образом. Наборы ${\displaystyle {\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\}}$, куда U пробегает окрестности идентичности в грамм, образуют фундаментальную систему антуражей для равномерности Φ. Соответствующая индуцированная топология на грамм/ЧАС равно факторная топология определяется естественной картой грамм → грамм/ЧАС.
5. Тривиальная топология принадлежит однородное пространство в котором все декартово произведение Икс × Икс единственный свита.

История

Перед Андре Вайль дал первое явное определение единой структуры в 1937 году, единые понятия, такие как полнота, обсуждались с использованием метрические пространства. Николя Бурбаки дал определение единой структуры с точки зрения антуража в книге Topologie Générale и Джон Тьюки дал единообразное определение покрытия. Вейль также охарактеризовал равномерные пространства в терминах семейства псевдометрик.

Смотрите также

• Грубая структура
• Полное метрическое пространство - Набор с понятием расстояния, в котором каждая последовательность точек, которые постепенно приближаются друг к другу, будут сходиться
• Полное топологическое векторное пространство - TVS, где точки, которые постепенно становятся ближе друг к другу, всегда будут сходиться в точку
• Полностью униформизируемое пространство
• Фильтры в топологии - Использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Близкое пространство
• Космос (математика) - Математический набор с добавленной структурой
• Топология равномерной сходимости
• Единая преемственность - Функция, ограничивающая "рост" расстояний выходов равномерно по всей своей области
• Равномерный изоморфизм - Равномерно непрерывный гомеоморфизм
• Единая собственность - Объект исследования в категории однородных топологических пространств.
• Равномерно связанное пространство - Тип единого пространства

Рекомендации

• Николя Бурбаки, Общая топология (Topologie Générale), ISBN  0-387-19374-X (Гл. 1–4), ISBN  0-387-19372-3 (Гл. 5–10): глава II представляет собой исчерпывающий справочник по однородным структурам, в главе IX § 1 рассматривается псевдометрика, а в главе III § 3 рассматриваются однородные структуры на топологических группах.
• Рышард Энгелькинг, Общая топология. Исправленное и дополненное издание, Берлин 1989.
• Джон Р. Исбелл, Единые пространства ISBN  0-8218-1512-1
• И. М. Джеймс, Введение в однородные пространства ISBN  0-521-38620-9
• И. М. Джеймс, Топологические и равномерные пространства. ISBN  0-387-96466-5
• Джон Тьюки, Сходимость и единообразие топологии; ISBN  0-691-09568-X
• Андре Вайль, Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale, Действовать. Sci. Ind. 551, Париж, 1937 г.