Фундаментальная группа - Fundamental group

О фундаментальной группе фактора см. алгебра фон Неймана.

в математический поле алгебраическая топология, то фундаментальная группа из топологическое пространство это группа из классы эквивалентности под гомотопия из петли содержится в пространстве. Он записывает информацию об основной форме или отверстиях топологическое пространство. Фундаментальная группа - первая и простейшая гомотопическая группа. Фундаментальная группа - это гомотопический инвариант - топологические пространства, которые гомотопический эквивалент (или более сильный случай гомеоморфный ) имеют изоморфный фундаментальные группы.

Интуиция

Начните с пространства (например, поверхности) и некоторой точки на нем, и всех циклов, как начинающихся, так и заканчивающихся в этой точке - пути, которые начинаются в этой точке, блуждают вокруг и в конечном итоге возвращаются в исходную точку. Две петли можно объединить очевидным образом: проехать по первой петле, затем по второй. Две петли считаются эквивалентными, если одну можно деформировать в другую без разрыва. Набор всех таких петель с этим методом объединения и этой эквивалентностью между ними является фундаментальной группой для этого конкретного пространства.

История

Анри Пуанкаре определил фундаментальную группу в 1895 г. в своей статье "Место анализа ".^[1] Концепция возникла в теории Римановы поверхности, в работе Бернхард Риманн, Пуанкаре и Феликс Кляйн. Он описывает монодромия свойства комплексные функции, а также предоставление полного топологического классификация закрытых поверхностей.

Определение

В этой статье Икс является топологическим пространством. Типичный пример - поверхность, подобная изображенной справа. Более того, ${displaystyle x_{0}}$ это точка в Икс называется исходная точка. (Как поясняется ниже, ее роль скорее вспомогательная.) Идея определения гомотопической группы состоит в том, чтобы измерить, сколько (в широком смысле) кривых на Икс могут деформироваться друг в друга. Точное определение зависит от понятия гомотопии петель, которое объясняется в первую очередь.

Гомотопия петель

Учитывая топологическое пространство Икс, а петля основанный на ${displaystyle x_{0}}$ определяется как непрерывная функция (также известный как непрерывная карта )

${displaystyle gamma :[0,1] o X}$

так что как отправная точка ${displaystyle gamma (0)}$ и конечная точка ${displaystyle gamma (1)}$ оба равны ${displaystyle x_{0}.}$

Гомотопия петель

А гомотопия представляет собой непрерывную интерполяцию между двумя контурами. Точнее, гомотопия между двумя петлями ${displaystyle gamma ,gamma ':[0,1] o X}$ (на основе той же точки ${displaystyle x_{0}}$) - непрерывное отображение

${displaystyle hcolon [0,1] imes [0,1] o X,}$

такой, что

• ${displaystyle h(0,t)=x_{0}}$ для всех ${displaystyle tin [0,1],}$ то есть отправной точкой гомотопии является ${displaystyle x_{0}}$ для всех т (который часто считается параметром времени).
• ${displaystyle h(1,t)=x_{0}}$ для всех ${displaystyle tin [0,1],}$ то есть аналогично конечная точка остается в ${displaystyle x_{0}}$ для всех т.
• ${displaystyle h(r,0)=gamma (r),h(r,1)=gamma '(r)}$ для всех ${displaystyle rin [0,1].}$

Если такая гомотопия час существуют, ${displaystyle gamma }$ и ${displaystyle gamma '}$ как говорят гомотопный. Соотношение "${displaystyle gamma }$ гомотопен ${displaystyle gamma '}$" является отношение эквивалентности так что набор классы эквивалентности можно считать:

${displaystyle pi _{1}(X,x_{0}):={{ ext{all loops }}gamma { ext{ based at }}x_{0}}/{ ext{homotopy}}}$

Этот набор (с описанной ниже структурой группы) называется фундаментальная группа топологического пространства Икс и базовая точка ${displaystyle x_{0}.}$ Цель рассмотрения классов эквивалентности петель с точностью до гомотопии, в отличие от множества всех петель (т.н. пространство петли из Икс) заключается в том, что последний, будучи полезным для различных целей, является довольно большим и громоздким объектом. Напротив, указанное выше соотношение во многих случаях является более управляемым и вычислимым.

Структура группы

Добавление петель

По приведенному выше определению ${displaystyle pi _{1}(X,x_{0})}$ это просто набор. Он становится группой (и поэтому заслуживает названия фундаментальной группа), используя конкатенацию циклов. Точнее учитывая две петли ${displaystyle gamma _{0},gamma _{1},}$ их продукт определяется как цикл

${displaystyle {egin{aligned}gamma _{0}cdot gamma _{1}colon [0,1]& o X(gamma _{0}cdot gamma _{1})(t)&={egin{cases}gamma _{0}(2t)&0leq tleq { frac {1}{2}}gamma _{1}(2t-1)&{ frac {1}{2}}leq tleq 1.end{cases}}end{aligned}}}$

Таким образом, цикл ${displaystyle gamma _{0}cdot gamma _{1}}$ сначала следует по циклу ${displaystyle gamma _{0}}$ с "вдвое большей скоростью", а затем следует ${displaystyle gamma _{1}}$ с «вдвое большей скоростью».

Произведение двух гомотопических классов луп ${displaystyle [gamma _{0}]}$ и ${displaystyle [gamma _{1}]}$ тогда определяется как ${displaystyle [gamma _{0}cdot gamma _{1}].}$ Можно показать, что этот продукт не зависит от выбора представителей и, следовательно, дает четко определенную операцию на множестве ${displaystyle pi _{1}(X,x_{0}).}$ Эта операция превращает ${displaystyle pi _{1}(X,x_{0})}$ в группу. Его нейтральный элемент постоянный цикл, который остается на ${displaystyle x_{0}}$ на все времена т. Обратной петлей (гомотопический класс a) цикла является тот же цикл, но пройденный в противоположном направлении. Более формально

${displaystyle gamma ^{-1}(t):=gamma (1-t).}$

Учитывая три базовых цикла ${displaystyle gamma _{0},gamma _{1},gamma _{2},}$ продукт

${displaystyle (gamma _{0}cdot gamma _{1})cdot gamma _{2}}$

конкатенация этих циклов, проходящая ${displaystyle gamma _{0}}$ а потом ${displaystyle gamma _{1}}$ с четырехкратной скоростью, а затем ${displaystyle gamma _{2}}$ с двойной скоростью. По сравнению,

${displaystyle gamma _{0}cdot (gamma _{1}cdot gamma _{2})}$

проходит те же пути (в том же порядке), но ${displaystyle gamma _{0}}$ с двойной скоростью, и ${displaystyle gamma _{1},gamma _{2}}$ с четырехкратной скоростью. Таким образом, из-за разной скорости два пути не идентичны. В ассоциативность аксиома

${displaystyle [gamma _{0}]cdot left([gamma _{1}]cdot [gamma _{2}]ight)=left([gamma _{0}]cdot [gamma _{1}]ight)cdot [gamma _{2}]}$

поэтому решающим образом зависит от того, что пути рассматриваются с точностью до гомотопии. В самом деле, оба указанных выше композитных материала гомотопны, например, петле, которая пересекает все три петли ${displaystyle gamma _{0},gamma _{1},gamma _{2}}$ с тройной скоростью. Таким образом, набор базовых петель до гомотопии, снабженный описанной выше операцией ${displaystyle pi _{1}(X,x_{0})}$ в группу.

Зависимость от базовой точки

Хотя фундаментальная группа в целом зависит от выбора базовой точки, оказывается, что вплоть до изоморфизм (на самом деле даже до внутренний изоморфизм), этот выбор не имеет значения, пока пространство Икс является соединенный путём. Поэтому для пространств с линейной связностью многие авторы пишут ${displaystyle pi _{1}(X)}$ вместо ${displaystyle pi _{1}(X,x_{0}).}$

Конкретные примеры

Звездная область односвязна, поскольку любая петля может быть сокращена до центра области, обозначенной ${displaystyle x_{0}}$.

В этом разделе перечислены некоторые основные примеры фундаментальных групп. Для начала, в Евклидово пространство (${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$) или любой выпуклое подмножество из ${displaystyle mathbb {R} ^{n},}$ существует только один гомотопический класс петель, поэтому фундаментальной группой является тривиальная группа с одним элементом. В общем, любой звездный домен и, в более общем смысле, любой сжимаемое пространство имеет тривиальную фундаментальную группу. Таким образом, фундаментальная группа не различает такие пространства.

2-сфера

Петля на 2-сфера (поверхность шара) стягивается в точку

Линейно-связное пространство, фундаментальная группа которого тривиальна, называется односвязный. Например, 2-сфера ${displaystyle S^{2}={(x,y,z)in mathbb {R} ^{3}mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}}$ изображены слева, а также все многомерные сферы односвязны. Рисунок иллюстрирует гомотопию, сужающую одну конкретную петлю к постоянной петле. Эту идею можно адаптировать ко всем петлям. ${displaystyle gamma }$ так что есть смысл ${displaystyle (x,y,z)in S^{2}}$ то есть нет в образе ${displaystyle gamma .}$ Однако, поскольку существуют такие петли, что ${displaystyle gamma ([0,1])=S^{2}}$ (построен из Кривая Пеано, например), полное доказательство требует более тщательного анализа с помощью инструментов алгебраической топологии, таких как Теорема Зейферта – ван Кампена или клеточная аппроксимационная теорема.

Круг

Элементы гомотопической группы круга

В круг (также известный как 1-сфера)

${displaystyle S^{1}={(x,y)in mathbb {R} ^{2}mid x^{2}+y^{2}=1}}$

не просто связано. Вместо этого каждый гомотопический класс состоит из всех петель, которые наматываются по кругу заданное количество раз (которое может быть положительным или отрицательным, в зависимости от направления намотки). Продукт петли, которая наматывается м раз и еще один, который крутится вокруг п раз это петля, которая крутится вокруг ${displaystyle m+n}$ раз. Следовательно, фундаментальная группа круга равна изоморфный к ${displaystyle (mathbb {Z} ,+),}$ аддитивная группа целые числа. Этот факт можно использовать для доказательства Теорема Брауэра о неподвижной точке^[2] и Теорема Борсука – Улама. в измерении 2.^[3]

Цифра восемь

Фундаментальная группа восьмерки - это свободная группа на двух образующих. а и б.

Основная группа восьмерка это свободная группа на две буквы. Идея доказать это заключается в следующем: выбор базовой точки в качестве точки, где встречаются два круга (отмечены черными точками на картинке справа), любая петля ${displaystyle gamma }$ можно разложить как

${displaystyle gamma =a^{n_{1}}b^{m_{1}}dots a^{n_{k}}b^{m_{k}}}$

куда а и б две петли, обвивающие каждую половину фигуры, как показано, а показатели степени ${displaystyle n_{1},dots ,n_{k},m_{1},dots ,m_{k}}$ целые числа. В отличие от ${displaystyle pi _{1}(S^{1}),}$ фундаментальная группа восьмерки - это нет абелевский: два способа составления а и б не гомотопны друг другу:

${displaystyle [a]cdot [b]eq [b]cdot [a].}$

В более общем смысле, фундаментальная группа букет из р круги - это бесплатная группа на р буквы.

Фундаментальная группа сумма клина пространств, соединенных двумя путями Икс и Y можно вычислить как бесплатный продукт отдельных фундаментальных групп:

${displaystyle pi _{1}(Xvee Y)cong pi _{1}(X)*pi _{1}(Y).}$

Это обобщает вышеприведенные наблюдения, поскольку восьмерка представляет собой сумму клиньев двух окружностей.

Основная группа самолет пробит в п точки также свободная группа с п генераторы. В я-й генератор - это класс цикла, который обходит я-го прокола без обхода других проколов.

Графики

Фундаментальная группа может быть определена и для дискретных структур. В частности, рассмотрим связный граф грамм = (V, E), с обозначенной вершиной v₀ в V. Петли в грамм циклы, которые начинаются и заканчиваются в v₀.^[4] Позволять Т быть остовное дерево из грамм. Каждый простой цикл в грамм содержит ровно одно ребро в E Т; каждый цикл в грамм представляет собой конкатенацию таких простых циклов. Следовательно, фундаментальная группа график это свободная группа, в котором количество образующих в точности равно количеству ребер в E Т. Это число равно |E|-|V|+1.^[5]

Например, предположим грамм имеет 16 вершин, расположенных в 4 ряда по 4 вершины в каждом, с ребрами, соединяющими вершины, смежные по горизонтали или вертикали. потом грамм всего имеет 24 ребра, а количество ребер в каждом остовном дереве составляет 16-1 = 15, поэтому основная группа грамм свободная группа с 9 образующими.^[6] Обратите внимание, что грамм имеет 9 "отверстий", аналогично букет из 9 кругов, которые имеют ту же фундаментальную группу.

Группы узлов

А трилистник.

Группы узлов являются по определению фундаментальной группой дополнять узла K встроенный в ${displaystyle mathbb {R} ^{3}.}$ Например, группа узлов трилистника известна как узел группа кос ${displaystyle B_{3},}$ что дает еще один пример неабелевой фундаментальной группы. В Презентация Wirtinger явно описывает группы узлов в терминах образующих и отношений, основанных на диаграмме узла. Поэтому группы узлов имеют некоторое использование в теория узлов различать сучки: если ${displaystyle pi _{1}(mathbb {R} ^{3}setminus K)}$ не изоморфна какой-либо другой группе узлов ${displaystyle pi _{1}(mathbb {R} ^{3}setminus K')}$ другого узла K ', тогда K не может быть преобразован в ${displaystyle K'.}$ Таким образом, узел трилистника не может непрерывно превращаться в круг (также известный как развязанный ), поскольку последний имеет группу узлов ${displaystyle mathbb {Z} }$. Однако есть узлы, которые не деформируются друг в друга, но имеют изоморфные группы узлов.

Ориентированные поверхности

Фундаментальная группа род п ориентируемая поверхность можно вычислить в терминах генераторы и отношения в качестве

${displaystyle leftlangle A_{1},B_{1},cdots ,A_{n},B_{n}left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}ight.ightangle .}$

Это включает тор, являясь случаем рода 1, фундаментальная группа которого

${displaystyle leftlangle A_{1},B_{1}left|A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}ight.ightangle cong mathbb {Z} ^{2}.}$

Топологические группы

Фундаментальная группа топологическая группа Икс (относительно базовой точки, являющейся нейтральным элементом) всегда коммутативна. В частности, фундаментальная группа Группа Ли коммутативен. Фактически структура группы на Икс дает ${displaystyle pi _{1}(X)}$ с другой структурой группы: даны две петли ${displaystyle gamma }$ и ${displaystyle gamma '}$ в Икс, еще один цикл ${displaystyle gamma star gamma '}$ можно определить, используя групповое умножение в Икс:

${displaystyle (gamma star gamma ')(x)=gamma (x)cdot gamma '(x).}$

Эта бинарная операция ${displaystyle star }$ на множестве всех петель есть априори независимо от описанного выше. Тем не менее Аргумент Экмана – Хилтона показывает, что это действительно согласуется с приведенной выше конкатенацией петель, и, кроме того, что результирующая структура группы абелева.^[7][8]

Проверка доказательства показывает, что в более общем плане ${displaystyle pi _{1}(X)}$ абелева для любого H-пространство Икс, т. е. умножение не обязательно должно иметь обратное или ассоциативное. Например, это показывает, что фундаментальная группа пространство петли другого топологического пространства Y, ${displaystyle X=Omega (Y),}$ абелева. Связанные идеи приводят к вычислению Хайнцем Хопфом когомологии группы Ли.

Функциональность

Если ${displaystyle fcolon X o Y}$ - непрерывное отображение, ${displaystyle x_{0}in X}$ и ${displaystyle y_{0}in Y}$ с ${displaystyle f(x_{0})=y_{0},}$ затем каждый цикл в Икс с базовой точкой ${displaystyle x_{0}}$ может быть составлен с ж образовать петлю в Y с базовой точкой ${displaystyle y_{0}.}$ Эта операция совместима с отношением гомотопической эквивалентности и с композицией луп. Результирующий групповой гомоморфизм, называется индуцированный гомоморфизм, записывается как ${displaystyle pi (f)}$ или, чаще,

${displaystyle f_{*}colon pi _{1}(X,x_{0}) o pi _{1}(Y,y_{0}).}$

Это отображение непрерывных отображений в гомоморфизмы групп совместимо с композицией отображений и тождественных морфизмов. Говоря языком теория категорий, формация, связывающая топологическому пространству его фундаментальную группу, есть функтор

${displaystyle {egin{aligned}pi _{1}colon mathbf {Top} _{*}& o mathbf {Grp} (X,x_{0})&mapsto pi _{1}(X,x_{0})end{aligned}}}$

от категория топологических пространств вместе с базовой точкой к категория групп. Оказывается, этот функтор не различает отображения гомотопный относительно базовой точки: если ж, грамм : Икс → Y являются непрерывными отображениями с ж(Икс₀) = грамм(Икс₀) = у₀, и ж и грамм гомотопны относительно {Икс₀}, тогда ж_∗ = грамм_∗. Как следствие, два гомотопически эквивалентных линейно связных пространства имеют изоморфные фундаментальные группы:

${displaystyle Xsimeq YRightarrow pi _{1}(X,x_{0})cong pi _{1}(Y,y_{0}).}$

Например, включение круга в проколотый самолет

${displaystyle S^{1}subset mathbb {R} ^{2}setminus {0}}$

это гомотопическая эквивалентность и, следовательно, дает изоморфизм их фундаментальных групп.

Функтор фундаментальной группы принимает товары к товары и побочные продукты к побочным продуктам. То есть, если Икс и Y связаны пути, тогда

${displaystyle pi _{1}(X imes Y,(x_{0},y_{0}))cong pi _{1}(X,x_{0}) imes pi _{1}(Y,y_{0}).}$

Абстрактные результаты

Как упоминалось выше, вычисление фундаментальной группы даже относительно простых топологических пространств, как правило, не совсем тривиально, но требует некоторых методов алгебраической топологии.

Отношение к первой группе гомологии

В абелианизация фундаментальной группы можно отождествить с первым группа гомологии пространства.

Частный случай Теорема Гуревича утверждает, что первый группа особых гомологий ${displaystyle H_{1}(X)}$ является, в просторечии, ближайшим приближением к фундаментальной группе с помощью абелевой группы. Более подробно, сопоставление гомотопического класса каждой петли с гомологическим классом петли дает групповой гомоморфизм

${displaystyle pi _{1}(X) o H_{1}(X)}$

из фундаментальной группы топологического пространства Икс к его первому единственному группа гомологии ${displaystyle H_{1}(X).}$ Этот гомоморфизм, вообще говоря, не является изоморфизмом, поскольку фундаментальная группа может быть неабелевой, но группа гомологий, по определению, всегда абелева. Однако это различие единственное: если Икс линейно связен, этот гомоморфизм сюръективный и это ядро это коммутаторная подгруппа фундаментальной группы, так что ${displaystyle H_{1}(X)}$ изоморфен абелианизация фундаментальной группы.^[9]

Склейка топологических пространств

Обобщая приведенное выше утверждение, для семейства пространств с линейной связностью ${displaystyle X_{i},}$ фундаментальная группа ${displaystyle pi _{1}(igvee _{iin I}X_{i})}$ это бесплатный продукт фундаментальных групп ${displaystyle X_{i}.}$^[10] Этот факт является частным случаем Теорема Зейферта – ван Кампена, который позволяет вычислять, в более общем смысле, фундаментальные группы пространств, склеенных вместе из других пространств. Например, 2-сфера ${displaystyle S^{2}}$ можно получить, склеив две копии слегка перекрывающихся полусфер вдоль окрестности экватор. В этом случае теорема дает ${displaystyle pi _{1}(S^{2})}$ тривиально, так как две полусферы стягиваемы и, следовательно, имеют тривиальную фундаментальную группу. Фундаментальные группы поверхностей, как упоминалось выше, также могут быть вычислены с помощью этой теоремы.

Говоря языком теории категорий, теорему можно кратко сформулировать, сказав, что фундаментальный групповой функтор принимает выталкивания (в категории топологических пространств) от включений до выталкиваний (в категории групп).^[11]

Покрытия

Карта ${displaystyle mathbb {R} imes [0,1] o S^{1} imes [0,1]}$ это покрытие: прообраз U (выделено серым цветом) представляет собой несвязанное объединение копий U. Более того, это универсальное покрытие, поскольку ${displaystyle mathbb {R} imes [0,1]}$ стягивается и, следовательно, односвязно.

Учитывая топологическое пространство B, а непрерывная карта

${displaystyle f:E o B}$

называется покрытие или же E называется покрывающее пространство из B если каждая точка б в B допускает открытое соседство U так что есть гомеоморфизм между прообраз из U и несвязный союз копий U (проиндексировано некоторым набором я),

${displaystyle varphi :igsqcup _{iin I}U o f^{-1}(U)}$

таким образом, что ${displaystyle pi circ varphi }$ стандартная карта проекции ${displaystyle igsqcup _{iin I}U o U.}$^[12]

Универсальное покрытие

Покрытие называется универсальное покрытие из E является, в дополнение к предыдущему условию, односвязным.^[13] Он универсален в том смысле, что все другие покрытия могут быть построены путем подходящего определения точек в E. Зная универсальное покрытие

${displaystyle p:{widetilde {X}} o X}$

топологического пространства Икс помогает понять его основную группу несколькими способами: во-первых, ${displaystyle pi _{1}(X)}$ отождествляется с группой преобразования колоды, т.е. группа гомеоморфизмы ${displaystyle varphi :{widetilde {X}} o {widetilde {X}}}$ которые едут с картой в Икс, т.е. ${displaystyle pcirc varphi =p.}$Другое отношение к фундаментальной группе состоит в том, что ${displaystyle pi _{1}(X,x)}$ можно идентифицировать с волокном ${displaystyle p^{-1}(x).}$ Например, карта

${displaystyle p:mathbb {R} o S^{1},tmapsto exp(2pi it)}$

(или, что то же самое, ${displaystyle pi :mathbb {R} o mathbb {R} /mathbb {Z} , tmapsto [t]}$) - универсальное покрытие. Преобразования колоды - это карты ${displaystyle tmapsto t+n}$ за ${displaystyle nin mathbb {Z} .}$ Это соответствует идентификации ${displaystyle p^{-1}(1)=mathbb {Z} ,}$ в частности, это доказывает вышеуказанное утверждение ${displaystyle pi _{1}(S^{1})cong mathbb {Z} .}$

Любой путь подключен, локально путь подключен и локально односвязное топологическое пространство Икс допускает универсальное покрытие.^[14] Абстрактное построение происходит аналогично фундаментальной группе, взяв пары (Икс, γ), где Икс это точка в Икс а γ - гомотопический класс путей из Икс₀ к Икс. Переход от топологического пространства к его универсальному покрытию может быть использован для понимания геометрии Икс. Например, теорема униформизации показывает, что любой односвязный Риманова поверхность является (изоморфным) либо ${displaystyle S^{2},}$ ${displaystyle mathbb {C} ,}$ или верхняя полуплоскость.^[15] Общие римановы поверхности тогда возникают как фактор групповых действий на этих трех поверхностях.

В частное из действие из (дискретный ) группа грамм на односвязном пространстве Y имеет фундаментальную группу

${displaystyle pi _{1}(Y/G)cong G.}$

Например, настоящая п-размерный реальный проективное пространство ${displaystyle mathbb {R} mathrm {P} ^{n}}$ получается как частное от п-мерная сфера ${displaystyle S^{n}}$ за счет антиподального действия группы ${displaystyle mathbb {Z} /2}$ отправка ${displaystyle xin S^{n}}$ к ${displaystyle -x.}$ В качестве ${displaystyle S^{n}}$ просто связано для п ≥ 2, это универсальное покрытие ${displaystyle mathbb {R} mathrm {P} ^{n}}$ в этих случаях, что подразумевает ${displaystyle pi _{1}(mathbb {R} mathrm {P} ^{n})cong mathbb {Z} /2}$ за п ≥ 2.

Группы Ли

Позволять грамм быть связанным, односвязным компактная группа Ли, например, особая унитарная группа SU (п), и пусть Γ - конечная подгруппа в грамм. Тогда однородное пространство Икс = грамм/ Γ имеет фундаментальную группу Γ, которая действует правым умножением на универсальном накрывающем пространстве грамм. Среди множества вариантов этой конструкции одним из наиболее важных является локально симметричные пространства Икс = Γграмм/K, куда

• грамм является некомпактным односвязным, связным Группа Ли (довольно часто полупростой ),
• K - максимальная компактная подгруппа в грамм
• Γ - дискретная счетная без кручения подгруппа грамм.

В этом случае фундаментальной группой является Γ, а универсальное накрывающее пространство грамм/K на самом деле стягиваемый (посредством Картановское разложение за Группы Ли ).

В качестве примера возьмем грамм = SL (2, р), K = SO (2) и Γ любая без кручения подгруппа конгруэнции из модульная группа SL (2, Z).

Из явной реализации также следует, что универсальное накрывающее пространство пути, соединенного топологическая группа ЧАС снова линейно связная топологическая группа грамм. Более того, накрывающее отображение является непрерывным открытым гомоморфизмом грамм на ЧАС с ядро Γ, замкнутая дискретная нормальная подгруппа группы грамм:

${displaystyle 1 o Gamma o G o H o 1.}$

С грамм - связная группа с непрерывным действием сопряжения на дискретной группе Γ, она должна действовать тривиально, так что Γ должна быть подгруппой центр из грамм. В частности, π₁(ЧАС) = Γ является абелева группа; это также можно легко увидеть напрямую, не используя закрытые пространства. Группа грамм называется универсальная группа покрытий изЧАС.

Как предполагает универсальная накрывающая группа, существует аналогия между фундаментальной группой топологической группы и центром группы; это разработано в Решетка накрывающих групп.

Волокна

Волокна предоставляют очень мощные средства для вычисления гомотопических групп. Расслоение ж так называемой общая площадь, а базовое пространство B обладает, в частности, тем свойством, что все его волокна ${displaystyle f^{-1}(b)}$ гомотопически эквивалентны и поэтому не могут быть выделены с помощью фундаментальных групп (и высших гомотопических групп) при условии, что B связано с путями.^[16] Следовательно, пространство E можно рассматривать как "скрученный продукт " базовое пространство B и волокно ${displaystyle F=f^{-1}(b).}$ Большое значение расслоений для вычисления гомотопических групп проистекает из длинная точная последовательность

${displaystyle dots o pi _{2}(B) o pi _{1}(F) o pi _{1}(E) o pi _{1}(B) o pi _{0}(F) o pi _{0}(E)}$

при условии, что B связано с путями.^[17] Период, термин ${displaystyle pi _{2}(B)}$ это второй гомотопическая группа из B, который определяется как множество гомотопических классов отображений из ${displaystyle S^{2}}$ к B, по прямой аналогии с определением ${displaystyle pi _{1}.}$

Если E оказывается линейно связной и односвязной, эта последовательность сводится к изоморфизму

${displaystyle pi _{1}(B)cong pi _{0}(F)}$

что обобщает отмеченный выше факт об универсальном покрытии (которое сводится к случаю, когда волокно F также дискретный). Если вместо этого F оказывается связным и односвязным, оно сводится к изоморфизму

${displaystyle pi _{1}(E)cong pi _{1}(B).}$

Более того, последовательность может быть продолжена слева на высшие гомотопические группы ${displaystyle pi _{n}}$ из трех пространств, что дает некоторый доступ к вычислению таких групп в том же духе.

Классические группы Ли

Такие послойные последовательности можно использовать для индуктивного вычисления фундаментальных групп компактных классических групп Ли, таких как особая унитарная группа ${displaystyle mathrm {SU} (n),}$ с ${displaystyle ngeq 2.}$ Эта группа транзитивно действует на единичной сфере ${displaystyle S^{2n-1}}$ внутри ${displaystyle mathbb {C} ^{n}=mathbb {R} ^{2n}.}$ Стабилизатор точки на сфере изоморфен ${displaystyle mathrm {SU} (n-1).}$ Затем это можно показать^[18] что это дает последовательность слоев

${displaystyle mathrm {SU} (n-1) o mathrm {SU} (n) o S^{2n-1}.}$

С ${displaystyle ngeq 2,}$ сфера ${displaystyle S^{2n-1}}$ имеет размерность не менее 3, что означает

${displaystyle pi _{1}(S^{2n-1})cong pi _{2}(S^{2n-1})=1.}$

Тогда длинная точная последовательность показывает изоморфизм

${displaystyle pi _{1}(mathrm {SU} (n))cong pi _{1}(mathrm {SU} (n-1)).}$

С ${displaystyle mathrm {SU} (1)}$ это одна точка, так что ${displaystyle pi _{1}(mathrm {SU} (1))}$ тривиально, это показывает, что ${displaystyle mathrm {SU} (n)}$ просто связано для всех ${displaystyle n.}$

Фундаментальная группа некомпактных групп Ли сводится к компактному случаю, поскольку такая группа гомотопна своей максимальной компактной подгруппе.^[19] Эти методы дают следующие результаты:^[20]

компактная классическая группа Ли грамм	некомпактная группа Ли	${displaystyle pi _{1}}$
особая унитарная группа ${displaystyle mathrm {SU} (n)}$	${displaystyle mathrm {SL} (n,mathbb {C} )}$	1
унитарная группа ${displaystyle mathrm {U} (n)}$	${displaystyle mathrm {GL} (n,mathbb {C} ),mathrm {Sp} (n,mathbb {R} )}$	${displaystyle mathbb {Z} }$
специальная ортогональная группа ${displaystyle mathrm {SO} (n)}$	${displaystyle mathrm {SO} (n,mathbb {C} )}$	${displaystyle mathbb {Z} /2}$ за ${displaystyle ngeq 3}$ и ${displaystyle mathbb {Z} }$ за ${displaystyle n=2}$
компактный симплектическая группа ${displaystyle mathrm {Sp} (n)}$	${displaystyle mathrm {Sp} (n,mathbb {C} )}$	1

Второй метод вычисления фундаментальных групп применим ко всем связным компактным группам Ли и использует аппарат максимальный тор и связанные корневая система. В частности, пусть ${displaystyle T}$ - максимальный тор в связной компактной группе Ли ${displaystyle K,}$ и разреши ${displaystyle {mathfrak {t}}}$ быть алгеброй Ли ${displaystyle T.}$ В экспоненциальная карта

${displaystyle exp :{mathfrak {t}} o T}$

является расслоением, поэтому его ядро ${displaystyle Gamma subset {mathfrak {t}}}$ отождествляется с ${displaystyle pi _{1}(T).}$ Карта

${displaystyle pi _{1}(T) o pi _{1}(K)}$

можно показать сюръективно^[21] с ядром, заданным набором я целочисленной линейной комбинации коруты. Это приводит к вычислению

${displaystyle pi _{1}(K)cong Gamma /I.}$^[22]

Этот метод показывает, например, что любая связная компактная группа Ли, для которой ассоциированная корневая система имеет тип ${displaystyle G_{2}}$ просто связано.^[23] Таким образом, существует (с точностью до изоморфизма) только одна связная компактная группа Ли, имеющая алгебру Ли типа ${displaystyle G_{2}}$; эта группа односвязна и имеет тривиальный центр.

Группа ребер-путей симплициального комплекса

Когда топологическое пространство гомеоморфно симплициальный комплекс, его фундаментальная группа может быть явно описана в терминах генераторы и отношения.

Если Икс это связаны симплициальный комплекс, край-путь в Икс определяется как цепочка вершин, соединенных ребрами в Икс. Два реберных пути называются крайний эквивалент если одно можно получить из другого путем последовательного переключения между ребром и двумя противоположными ребрами треугольника в Икс. Если v фиксированная вершина в Икс, кромочная петля в v крайний путь, начинающийся и заканчивающийся в v. В группа ребер пути E(Икс, v) определяется как множество классов рёберной эквивалентности рёбер-петель в v, с произведением и инверсией, определяемыми конкатенацией и обращением ребер-петель.

Группа ребер-путей естественно изоморфна π₁(|Икс|, v) фундаментальная группа геометрическая реализация |Икс| из Икс.^[24] Поскольку это зависит только от 2-скелетный Икс² из Икс (то есть вершины, ребра и треугольники Икс) группы π₁(|Икс|,v) и π₁(|Икс²|, v) изоморфны.

Группа реберных путей может быть описана явно в терминах генераторы и отношения. Если Т это максимальное остовное дерево в 1-скелет из Икс, тогда E(Икс, v) канонически изоморфна группе с образующими (ориентированными реберными путями Икс не встречается в Т) и отношения (реберные эквивалентности, соответствующие треугольникам в Икс). Аналогичный результат верен, если Т заменяется любым односвязный -особенно стягиваемый - подкомплекс Икс. Это часто дает практический способ вычисления фундаментальных групп и может использоваться, чтобы показать, что каждый конечно представленная группа возникает как фундаментальная группа конечного симплициального комплекса. Это также один из классических методов, используемых для топологический поверхности, которые классифицируются по своим фундаментальным группам.

В универсальное перекрытие конечного связного симплициального комплекса Икс также можно описать непосредственно как симплициальный комплекс с помощью реберных путей. Его вершины - пары (ш, γ) где ш является вершиной Икс а γ - класс реберной эквивалентности путей из v к ш. В k-симплексы, содержащие (ш, γ) естественно соответствуют k-симплексы, содержащие ш. Каждая новая вершина ты из k-симплекс дает преимущество ву а значит, путем конкатенации новый путь γ_ты из v к ты. Точки (ш, γ) и (ты, γ_ты) - вершины «перенесенного» симплекса в универсальном накрывающем пространстве. Группа ребер-путей действует естественным образом путем конкатенации, сохраняя симплициальную структуру, а фактор-пространство просто Икс.

Хорошо известно, что этот метод можно использовать и для вычисления фундаментальной группы произвольного топологического пространства. Несомненно, это было известно Эдуард Чех и Жан Лере и явно появилось как замечание в статье Андре Вайль;^[25] различные другие авторы, такие как Лоренцо Калаби, У Вэнь-цзюнь, и Нодар Берикашвили также опубликовали доказательства. В простейшем случае компактного пространства Икс с конечным открытым покрытием, в котором все непустые конечные пересечения открытых множеств в покрытии стягиваются, фундаментальная группа может быть отождествлена ​​с группой ребер-путей симплициального комплекса, соответствующей нерв покрытия.

Реализуемость

• Каждую группу можно реализовать как фундаментальную группу связаны CW-комплекс размерности 2 (или выше). Однако, как отмечалось выше, только свободные группы могут входить в фундаментальные группы одномерных CW-комплексов (то есть графов).
• Каждый конечно представленная группа может быть реализована как фундаментальная группа компактный, связаны, гладкое многообразие размерности 4 (или выше). Но существуют строгие ограничения на то, какие группы встречаются как фундаментальные группы многообразий малой размерности. Например, нет свободная абелева группа ранга 4 и выше может быть реализована как фундаментальная группа многообразия размерности 3 или меньше. Можно доказать, что каждая группа может быть реализована как фундаментальная группа компактного хаусдорфова пространства тогда и только тогда, когда не существует измеримый кардинал.^[26]

Связанные понятия

Высшие гомотопические группы

Грубо говоря, фундаментальная группа обнаруживает одномерную дырочную структуру пространства, но не дырки в более высоких измерениях, таких как 2-сфера. Такие «многомерные дыры» могут быть обнаружены с помощью более высокого гомотопические группы ${displaystyle pi _{n}(X)}$, которые определены как состоящие из гомотопических классов (сохраняющих базовую точку) отображений из ${displaystyle S^{n}}$ к Икс. Например, Теорема Гуревича означает, что п-я гомотопическая группа п-сфера есть (для всех ${displaystyle ngeq 1}$) находятся

${displaystyle pi _{n}(S^{n})=mathbb {Z} .}$^[27]

Как упоминалось в приведенном выше вычислении ${displaystyle pi _{1}}$ классических групп Ли высшие гомотопические группы могут быть актуальны даже для вычисления фундаментальных групп.

Пространство петли

Множество базовых циклов (как есть, т. Е. Не включенных в гомотопию) в заостренном пространстве Икс, наделенный компактная открытая топология, известен как пространство петли, обозначенный ${displaystyle Omega X.}$ Основная группа Икс находится в биекции с набором компонентов пути своего пространства цикла:^[28]

${displaystyle pi _{1}(X)cong pi _{0}(Omega X).}$

Фундаментальный группоид

В фундаментальный группоид вариант фундаментальной группы, который полезен в ситуациях, когда выбор базовой точки ${displaystyle x_{0}in X}$ нежелательно. Он определяется, прежде всего, с учетом категория из пути в ${displaystyle X,}$ т.е. непрерывные функции

${displaystyle gamma :[0,r] o X}$

куда р - произвольное неотрицательное действительное число. Поскольку длина р является переменным в этом подходе, такие пути могут быть объединены как есть (т. е. не до гомотопии) и, следовательно, дать категорию.^[29] Два таких пути ${displaystyle gamma ,gamma '}$ с такими же конечными точками и длиной р, соотв. р' считаются эквивалентными, если существуют действительные числа ${displaystyle u,vgeqslant 0}$ такой, что ${displaystyle r+u=r'+v}$ и ${displaystyle gamma _{u},gamma '_{v}:[0,r+u] o X}$ гомотопны относительно своих концов, где ${displaystyle gamma _{u}(t)={egin{cases}gamma (t),&tin [0,r]gamma (r),&tin [r,r+u].end{cases}}}$^[30][31] Категория путей до этого отношения эквивалентности обозначается ${displaystyle Pi (X).}$ Каждый морфизм в ${displaystyle Pi (X)}$ является изоморфизм, причем инверсия задается тем же путем, пройденным в противоположном направлении. Такая категория называется группоид. Он воспроизводит фундаментальную группу, поскольку

${displaystyle pi _{1}(X,x_{0})=mathrm {Hom} _{Pi (X)}(x_{0},x_{0}).}$

В более общем смысле можно рассматривать фундаментальный группоид на множестве А базовых точек, выбранных в соответствии с геометрией ситуации; например, в случае круга, который может быть представлен как объединение двух связанных открытых множеств, пересечение которых имеет два компонента, можно выбрать одну базовую точку в каждом компоненте. В теорема ван Кампена допускает версию для фундаментальных группоидов, которая дает, например, другой способ вычисления фундаментальной группы (oid) ${displaystyle S^{1}.}$^[32]

Локальные системы

Вообще говоря, представления может служить для демонстрации свойств группы, воздействуя на другие математические объекты, часто векторные пространства. Представления фундаментальной группы имеют очень геометрическое значение: любое локальная система (т.е. пучок ${displaystyle {mathcal {F}}}$ на Икс со свойством, что локально в достаточно малой окрестности U любой точки на Икс, ограничение F это постоянная связка формы ${displaystyle {mathcal {F}}|_{U}=mathbb {Q} ^{n}}$) порождает так называемые представление монодромии, представление фундаментальной группы на п-размерный ${displaystyle mathbb {Q} }$-векторное пространство. Наоборот, любое такое представление на линейно связном пространстве Икс возникает таким образом.^[33] Этот эквивалентность категорий между представлениями ${displaystyle pi _{1}(X)}$ а локальные системы используются, например, при изучении дифференциальные уравнения, такой как Уравнения Книжника – Замолодчикова.

Этальная фундаментальная группа

В алгебраическая геометрия, так называемой этальная фундаментальная группа используется как замена основной группы.^[34] Поскольку Топология Зарисского на алгебраическое многообразие или же схема Икс намного грубее, чем, скажем, топология открытых подмножеств в ${displaystyle mathbb {R} ^{n},}$ больше не имеет смысла рассматривать непрерывные отображения из интервала в Икс. Вместо этого подход, разработанный Гротендиком, состоит в построении ${displaystyle pi _{1}^{et}}$ учитывая все конечный эталонные обложки из Икс. Они служат алгебро-геометрическим аналогом накрытий с конечными слоями.

Это дает теорию, применимую в ситуации, когда нет никакой большой общности классической топологической интуиции, например, для многообразий, определенных над конечное поле. Кроме того, этальная фундаментальная группа поле это его (абсолютный) Группа Галуа. С другой стороны, для гладких сортов Икс над комплексными числами этальная фундаментальная группа сохраняет большую часть информации, присущей классической фундаментальной группе: первая является бесконечное завершение последнего.^[35]

Фундаментальная группа алгебраических групп

Фундаментальная группа корневая система определяется аналогично вычислению для групп Ли.^[36] Это позволяет определить и использовать фундаментальную группу полупростого линейная алгебраическая группа грамм, который является полезным базовым инструментом классификации линейных алгебраических групп.^[37]

Фундаментальная группа симплициальных множеств

Гомотопическое соотношение между 1-симплексами симплициальный набор Икс является отношением эквивалентности, если Икс это Кан комплекс но не обязательно так в целом.^[38] Таким образом, ${displaystyle pi _{1}}$ комплекса Кана можно определить как множество гомотопических классов 1-симплексов. Фундаментальная группа произвольного симплициального множества Икс определяются как гомотопическая группа ее топологическая реализация, ${displaystyle |X|,}$ то есть топологическое пространство, полученное склейкой топологических симплексов, как предписано структурой симплициального множества Икс.^[39]

Смотрите также

• Орбифолд фундаментальная группа

Примечания

1. Пуанкаре, Анри (1895). "Место анализа". Journal de l'École Polytechnique. (2) (на французском языке). 1: 1–123. Переведено на Пуанкаре, Анри (2009). "Место анализа" (PDF). Статьи по топологии: Analysis Situs и пять дополнений к нему. Переведено Джон Стиллвелл. С. 18–99.
2. Май (1999 г., Гл. 1, §6)
3. Мэсси (1991, Гл. V, §9)
4. «Значение основной группы графа». Обмен стеками математики. Получено 2020-07-28.
5. Саймон, Дж (2008). «Пример вычисления фундаментальной группы графа G» (PDF).
6. «Фундаментальные группы связных графов - Mathonline». mathonline.wikidot.com. Получено 2020-07-28.
7. Стром (2011), Задача 9.30, 9.31), Холл (2015 г., Упражнение 13.7)
8. Доказательство: даны две петли. ${displaystyle alpha ,eta :[0,1] o G}$ в ${displaystyle pi _{1}(G),}$ определить отображение ${displaystyle Acolon [0,1] imes [0,1] o G}$ к ${displaystyle A(s,t)=alpha (s)cdot eta (t),}$ умноженный поточечно в ${displaystyle G.}$ Рассмотрим гомотопическое семейство путей в прямоугольнике из ${displaystyle (s,t)=(0,0)}$ к ${displaystyle (1,1)}$ который начинается с горизонтального, затем вертикального пути, проходит по различным диагональным путям и заканчивается вертикальным, затем горизонтальным путем. Составив эту семью с ${displaystyle A}$ дает гомотопию ${displaystyle alpha *eta sim eta *alpha ,}$ что показывает, что фундаментальная группа абелева.
9. Фултон (1995 г., Предложение 12.22)
10. Май (1999 г., Гл. 2, § 8, предложение)
11. Май (1999 г., Гл. 2, §7)
12. Хэтчер (2002), §1.3)
13. Хэтчер (2002), п. 65)
14. Хэтчер (2002), Предложение 1.36)
15. Форстер (1981, Теорема 27.9)
16. Хэтчер (2002), Предложение 4.61)
17. Хэтчер (2002), Теорема 4.41)
18. Холл (2015 г., Предложение 13.8)
19. Холл (2015 г., Раздел 13.3)
20. Холл (2015 г., Предложение 13.10)
21. Удар (2013, Предложение 23.7)
22. Холл (2015 г., Следствие 13.18)
23. Холл (2015 г., Пример 13.45)
24. Певица, Исадор; Торп, Джон А. (1967). Конспект лекций по элементарной топологии и геометрии. Springer-Verlag. п.98. ISBN  0-387-90202-3.
25. Андре Вайль, О дискретных подгруппах групп Ли, Анналы математики 72 (1960), 369-384.
26. Адам Пшездзецки, Измеримые кардиналы и фундаментальные группы компактных пространств, Fundamenta Mathematicae 192 (2006), 87-92 [1]
27. Хэтчер (2002), §4.1)
28. Адамс (1978, п. 5)
29. Коричневый (2006), §6.1)
30. Коричневый (2006), §6.2)
31. Кроуэлл и Фокс (1963) используйте другое определение, изменив параметры длины пути 1.
32. Коричневый (2006), §6.7)
33. El Zein et al. (2010 г., п. 117, предложение 1.7) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFEl_Zein_et_al.2010 (помощь)
34. Гротендик и Рейно (2003).
35. Гротендик и Рейно (2003), Exposé XII, Кор. 5.2).
36. Хамфрис (1972), §13.1)
37. Хамфрис (2004), §31.1)
38. Гёрсс и Жардин (1999), §I.7)
39. Гёрсс и Жардин (1999), §I.11)

Рекомендации

• Адамс, Джон Франк (1978), Бесконечные пространства цикла, Анналы математических исследований, 90, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08207-3, МИСТЕР  0505692
• Браун, Рональд (2006), Топология и группоиды, Книжный цех, ISBN  1-4196-2722-8
• Bump, Дэниел (2013), Группы Ли, Тексты для выпускников по математике, 225 (2-е изд.), Springer, Дои:10.1007/978-1-4614-8024-2, ISBN  978-1-4614-8023-5
• Crowell, R.H .; Фокс, Ральф (1963), Введение в теорию узлов, Springer
• Эль-Зейн, Фуад; Suciu, Александр I .; Тосун, Мерал; Улудах, Мухаммед; Юзвинский, Сергей (2010), Расположение, локальные системы и особенности: Летняя школа CIMPA, Университет Галатасарай, Стамбул, 2007 г., ISBN  978-3-0346-0208-2
• Форстер, Отто (1981), Лекции о римановых поверхностях, ISBN  0-387-90617-7
• Фултон, Уильям (1995), Алгебраическая топология: первый курс, Спрингер, ISBN  9780387943275
• Гёрсс, Пол Г.; Джардин, Джон Ф. (1999), Симплициальная теория гомотопий, Успехи в математике, 174, Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, ISBN  978-3-7643-6064-1
• Гротендик, Александр; Рейно, Мишель (2003) [1971], Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3), Париж: Société Mathématique de France, pp. xviii + 327, см. Exp. V, IX, X., arXiv:math.AG/0206203, ISBN  978-2-85629-141-2
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3319134666
• Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-79540-0
• Питер Хилтон и Шон Уайли, Теория гомологии, Cambridge University Press (1967) [предупреждение: эти авторы используют контрагомология за когомология ]
• Хамфрис, Джеймс Э. (2004), Линейные алгебраические группы, Тексты для выпускников по математике, Springer, ISBN  9780387901084
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений, ISBN  0-387-90052-7
• Маундер, К. Р. Ф. (январь 1996 г.), Алгебраическая топология, Dover Publications, ISBN  0-486-69131-4
• Мэсси, Уильям С. (1991), Базовый курс алгебраической топологии, Спрингер, ISBN  038797430X
• Мэй, Дж. Питер (1999), Краткий курс алгебраической топологии, ISBN  9780226511832
• Дин Монтгомери и Лео Зиппин, Группы топологических преобразований, Interscience Publishers (1955)
• Мункрес, Джеймс Р. (2000), Топология, Prentice Hall, ISBN  0-13-181629-2
• Ротман, Джозеф (22.07.1998), Введение в алгебраическую топологию, Springer-Verlag, ISBN  0-387-96678-1
• Рубей, Елена (2014), Алгебраическая геометрия, краткий словарь, Берлин / Бостон: Вальтер Де Грюйтер, ISBN  978-3-11-031622-3
• Зейферт, Герберт; Трелфолл, Уильям (1980), Учебник топологии, перевод Хайль, Вольфганг, Академическая пресса, ISBN  0-12-634850-2
• Певица Исадор. М.; Торп, Дж. А. (1976-12-10), Конспект лекций по элементарной топологии и геометрии, ISBN  0-387-90202-3
• Спаниер, Эдвин Х. (1989), Алгебраическая топология, Спрингер, ISBN  0-387-94426-5
• Стром, Джеффри (2011), Современная классическая теория гомотопии, AMS, ISBN  9780821852866

внешняя ссылка

• «Фундаментальная группа». PlanetMath.
• «Фундаментальный группоид». PlanetMath.
• Вайсштейн, Эрик В. «Фундаментальная группа». MathWorld.

• Дилан Г.Л. Аллегретти, Симплициальные множества и теорема ван Кампена: Обсуждение фундаментального группоида топологического пространства и фундаментального группоида симплициального множества.
• Анимация для представления фундаментальной группы Николя Делану
• Множества базовых точек и фундаментальных группоидов: обсуждение mathoverflow
• Группоиды в математике