Однородное пространство - Homogeneous space

А тор. Стандартный тор однороден относительно своего диффеоморфизм и гомеоморфизм группы, а плоский тор однородна относительно своего диффеоморфизма, гомеоморфизма и группы изометрий.

В математика, особенно в теориях Группы Ли, алгебраические группы и топологические группы, а однородное пространство для группа г это непустой многообразие или топологическое пространство Икс на котором г действует переходно. Элементы г называются симметрии из Икс. Частный случай - когда группа г под вопросом группа автоморфизмов пространства Икс - здесь "группа автоморфизмов" может означать группа изометрии, группа диффеоморфизмов, или группа гомеоморфизмов. В таком случае, Икс однородна, если интуитивно Икс выглядит локально одинаково в каждой точке либо в смысле изометрии (жесткая геометрия), либо в смысле диффеоморфизма (дифференциальная геометрия), либо в смысле гомеоморфизма (топологии). Некоторые авторы настаивают на том, что действие г быть верный (неединичные элементы действуют нетривиально), хотя в настоящей статье нет. Таким образом, есть групповое действие из г на Икс что можно рассматривать как сохранение некоторой "геометрической структуры" на Икс, и делая Икс в один г-орбита.

Формальное определение

Позволять Икс быть непустым множеством и г группа. потом Икс называется г-пространство, если оно оснащено действием г на Икс.^[1] Обратите внимание, что автоматически г действует автоморфизмами (биекциями) на множестве. Если Икс кроме того принадлежит некоторым категория, то элементы г предполагается действовать как автоморфизмы в той же категории. То есть карты на Икс исходящий из элементов г сохранить структуру, связанную с категорией (например, если X - объект в Diff, то действие должно быть выполнено диффеоморфизмы ). Однородное пространство - это г-пространство, на котором г действует транзитивно.

Лаконично, если Икс это объект категории C, то структура г-пространство - это гомоморфизм:

{ displaystyle rho: G to mathrm {Aut} _ { mathbf {C}} (X)}

в группу автоморфизмы объекта Икс в категории C. Пара (Икс, ρ) определяет однородное пространство, если ρ (г) - транзитивная группа симметрий основного множества Икс.

Примеры

Например, если Икс это топологическое пространство, то предполагается, что элементы группы действуют как гомеоморфизмы на Икс. Структура г-пространство - это гомоморфизм групп ρ: г → Homeo (Икс) в группа гомеоморфизмов из Икс.

Аналогично, если Икс это дифференцируемое многообразие, то элементы группы диффеоморфизмы. Структура г-пространство - это гомоморфизм групп ρ: г → Diffeo (Икс) в группу диффеоморфизмов Икс.

Римановы симметрические пространства являются важным классом однородных пространств и включают многие примеры, перечисленные ниже.

Конкретные примеры включают:

Группы изометрии

Положительная кривизна:

Сфера (ортогональная группа ): ${ Displaystyle S ^ {n-1} cong mathrm {O} (n) / mathrm {O} (n-1)}$ . Это верно благодаря следующим наблюдениям: Во-первых, ${ Displaystyle S ^ {п-1}}$ это множество векторов в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ с нормой ${ displaystyle 1}$ . Если мы рассматриваем один из этих векторов как базовый вектор, то любой другой вектор можно построить с помощью ортогонального преобразования. Если рассматривать оболочку этого вектора как одномерное подпространство ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ , то дополнение является ${ Displaystyle (п-1)}$ -мерное векторное пространство, инвариантное относительно ортогонального преобразования из ${ Displaystyle { текст {O}} (п-1)}$ . Это показывает нам, почему мы можем построить ${ Displaystyle S ^ {п-1}}$ как однородное пространство.
Ориентированная сфера (специальная ортогональная группа ): ${ Displaystyle S ^ {п-1} cong mathrm {SO} (п) / mathrm {SO} (п-1)}$
Проективное пространство (проективная ортогональная группа ): ${ Displaystyle mathrm {P} ^ {n-1} cong mathrm {PO} (n) / mathrm {PO} (n-1)}$

Плоский (нулевая кривизна):

Евклидово пространство (Евклидова группа, точечный стабилизатор - ортогональная группа): А^п ≅ E (п) / O (п)

Отрицательная кривизна:

Гиперболическое пространство (ортохронная группа Лоренца ортогональная группа точечного стабилизатора, соответствующая модель гиперболоида ): ЧАС^п ≅ O⁺(1, п) / O (п)
Ориентированное гиперболическое пространство: SO⁺(1, п)/ТАК(п)
Анти-де Ситтер пространство: Объявления_п+1 = O (2, п) / O (1, п)

Другие

Аффинное пространство (для аффинная группа, точечный стабилизатор общая линейная группа ): А^п = Aff (п, K) / GL (п, k).
Грассманиан: ${ Displaystyle mathrm {Gr} (r, n) = mathrm {O} (n) / ( mathrm {O} (r) times mathrm {O} (n-r))}$
Топологические векторные пространства (в смысле топологии)

Геометрия

С точки зрения Программа Эрланген, можно понять, что «все точки одинаковые», в геометрия из Икс. Это было верно практически для всех геометрий, предложенных ранее. Риманова геометрия, в середине девятнадцатого века.

Так, например, Евклидово пространство, аффинное пространство и проективное пространство естественным образом являются однородными пространствами для своих соответствующих группы симметрии. То же самое и с найденными моделями неевклидова геометрия постоянного кривизна, такие как гиперболическое пространство.

Еще один классический пример - это пространство линий в проективном пространстве трех измерений (эквивалентно, пространство двумерных подпространств четырехмерного векторное пространство ). Это простая линейная алгебра показать, что GL₄ действует транзитивно на тех. Мы можем параметризовать их координаты линии: это 2 × 2 несовершеннолетние матрицы 4 × 2 со столбцами и двумя базисными векторами подпространства. Геометрия полученного однородного пространства - это линейная геометрия из Юлиус Плюкер.

Однородные пространства как классы смежности

В общем, если Икс - однородное пространство, а ЧАС_о это стабилизатор какой-то отмеченной точки о в Икс (выбор происхождение ), точки Икс соответствуют левому смежные классы г/ЧАС_о, а отмеченная точка о соответствует смежному классу идентичности. И наоборот, учитывая смежное пространство г/ЧАС, это однородное пространство для г с выделенной точкой, а именно классом идентичности. Таким образом, однородное пространство можно рассматривать как смежное пространство без выбора источника.

В общем, другой выбор происхождения о приведет к коэффициенту г другой подгруппой ЧАС_{о '} что связано с ЧАС_о по внутренний автоморфизм из г. В частности,

{ Displaystyle H_ {о '} = gH_ {o} g ^ {- 1} qquad qquad (1)}

где г любой элемент г для которого идти = о′. Отметим, что внутренний автоморфизм (1) не зависит от того, какие именно г выбрано; это зависит только от г по модулю ЧАС_о.

Если действие г на Икс непрерывно и Икс Хаусдорф, то ЧАС это закрытая подгруппа из г. В частности, если г это Группа Ли, тогда ЧАС это Подгруппа Ли от Теорема Картана. Следовательно г/ЧАС это гладкое многообразие и так Икс несет уникальный гладкая структура совместим с групповым действием.

Если ЧАС тождественная подгруппа {е}, тогда Икс это главное однородное пространство.

Можно пойти дальше двойной смежный пространства, особенно Формы Клиффорда-Клейна Γ\г/ЧАС, где Γ дискретная подгруппа (из г) играет роль правильно прерывисто.

пример

Например, в случае линейной геометрии мы можем идентифицировать H как 12-мерную подгруппу 16-мерной общая линейная группа, GL (4), определяемая условиями на элементы матрицы

час₁₃ = час₁₄ = час₂₃ = час₂₄ = 0,

ища стабилизатор подпространства, натянутого на первые два стандартных базисных вектора. Это показывает, что Икс имеет размерность 4.

Поскольку однородные координаты выдаваемые несовершеннолетними - 6, это означает, что последние не независимы друг от друга. Фактически, между шестью несовершеннолетними сохраняется одно квадратичное соотношение, как это было известно геометрам девятнадцатого века.

Этот пример был первым известным примером Грассманиан, кроме проективного пространства. Есть еще много других однородных пространств классических линейных групп, обычно используемых в математике.

Предоднородные векторные пространства

Идея предоднородное векторное пространство был представлен Микио Сато.

Это конечномерный векторное пространство V с групповое действие из алгебраическая группа г, такая, что существует орбита г это открыто для Топология Зарисского (а так, плотный). Примером может служить GL (1), действующий в одномерном пространстве.

Определение более ограничено, чем кажется на первый взгляд: такие пространства обладают замечательными свойствами, и существует классификация неприводимых предоднородных векторных пространств, вплоть до преобразования, известного как «рокировка».

Однородные пространства в физике

Физическая космология с использованием общая теория относительности использует Классификация Бьянки система. Однородные пространства в теории относительности представляют собой космическая часть фона метрики для некоторых космологические модели; например, три случая Метрика Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уолкера. могут быть представлены подмножествами типов Bianchi I (плоский), V (открытый), VII (плоский или открытый) и IX (закрытый), а Вселенная Mixmaster представляет собой анизотропный пример космологии Бьянки IX.^[2]

Однородное пространство N размеры допускают набор ${ Displaystyle { tfrac {1} {2}} N (N + 1)}$ Векторы убийства.^[3] Для трех измерений это дает в общей сложности шесть линейно независимых векторных полей Киллинга; однородные 3-пространства обладают тем свойством, что можно использовать их линейные комбинации, чтобы найти три всюду ненулевых векторных поля Киллинга ${ Displaystyle хи _ {я} ^ {(а)}}$ ,

{ displaystyle xi _ {[i; k]} ^ {(a)} = C _ { bc} ^ {a} xi _ {i} ^ {(b)} xi _ {k} ^ {( c)}}

где объект ${ Displaystyle С _ { bc} ^ {а}}$ , «структурные константы», образуют постоянный тензор третьего порядка антисимметричный в его двух нижних индексах (в левой части скобки обозначают антисимметричность, а ";" обозначает ковариантный дифференциальный оператор ). В случае плоская изотропная вселенная, одна возможность ${ Displaystyle С _ { bc} ^ {а} = 0}$ (тип I), но в случае замкнутой вселенной FLRW, ${ Displaystyle С _ { bc} ^ {a} = varepsilon _ { bc} ^ {a}}$ где ${ Displaystyle varepsilon _ { bc} ^ {а}}$ это Символ Леви-Чивита.

Смотрите также

Заметки

^ Мы предполагаем, что действие находится на осталось. Различие важно только при описании Икс как смежное пространство.
^ Лев Ландау и Евгений Лифшиц (1980), Курс теоретической физики т. 2: Классическая теория полей, Баттерворт-Хайнеманн, ISBN 978-0-7506-2768-9
^ Стивен Вайнберг (1972), Гравитация и космология, Джон Уайли и сыновья

использованная литература

Джон Милнор & Джеймс Д. Сташефф (1974) Характерные классы, Princeton University Press ISBN 0-691-08122-0
Такаши Кода Введение в геометрию однородных пространств. от Кёнпукский национальный университет
Менелаос Зикидис Однородные пространства от Гейдельбергский университет
Шошичи Кобаяси, Кацуми Номидзу (1969) Основы дифференциальной геометрии, том 2, глава X, (Библиотека Wiley Classics)

[1] Мы предполагаем, что действие находится на осталось. Различие важно только при описании Икс как смежное пространство.

[2] Лев Ландау и Евгений Лифшиц (1980), Курс теоретической физики т. 2: Классическая теория полей, Баттерворт-Хайнеманн, ISBN 978-0-7506-2768-9

[3] Стивен Вайнберг (1972), Гравитация и космология, Джон Уайли и сыновья

[1]

[2]

[3]