Аффинная группа - Affine group

В математика, то аффинная группа или же общая аффинная группа любой аффинное пространство через поле K это группа всех обратимых аффинные преобразования из пространства в себя.

Это Группа Ли если K действительное или сложное поле или кватернионы.

Отношение к общей линейной группе

Построение из общей линейной группы

Конкретно, учитывая векторное пространство V, он имеет основу аффинное пространство А полученный "забыванием" происхождения, с V действуя переводами, а аффинная группа А можно конкретно описать как полупрямой продукт из V к GL (V), то общая линейная группа из V:

${\displaystyle \operatorname {Aff} (V)=V\rtimes \operatorname {GL} (V)}$

Действие GL (V) на V является естественным (линейные преобразования - автоморфизмы), поэтому он определяет полупрямой продукт.

В терминах матриц пишут:

${\displaystyle \operatorname {Aff} (n,K)=K^{n}\rtimes \operatorname {GL} (n,K)}$

где здесь естественное действие GL (п, K) на K^п матричное умножение вектора.

Стабилизатор точки

Учитывая аффинную группу аффинного пространства А, то стабилизатор точки п изоморфна общей линейной группе той же размерности (так что стабилизатор точки в Aff (2, р) изоморфен GL (2, р)); формально это общая линейная группа векторного пространства (А, п): напомним, что если зафиксировать точку, аффинное пространство становится векторным пространством.

Все эти подгруппы сопряжены, где сопряжение дается переводом из п к q (который определен однозначно), однако, никакая конкретная подгруппа не является естественным выбором, поскольку нет особых точек - это соответствует множественному выбору поперечной подгруппы или разделению короткая точная последовательность

${\displaystyle 1\to V\to V\rtimes \operatorname {GL} (V)\to \operatorname {GL} (V)\to 1\,.}$

В случае, если аффинная группа была построена начало с векторным пространством подгруппа, которая стабилизирует начало координат (векторного пространства), является исходной GL (V).

Матричное представление

Представляя аффинную группу как полупрямое произведение V к GL (V), тогда путем построения полупрямого произведения, элементы - пары (M, v), куда v вектор в V и M является линейным преобразованием в GL (V), а умножение определяется как:

${\displaystyle (M,v)\cdot (N,w)=(MN,v+Mw)\,.}$

Это можно представить как (п + 1) × (п + 1) блочная матрица:

${\displaystyle \left({\begin{array}{c|c}M&v\\\hline 0&1\end{array}}\right)}$

куда M является п × п матрица над K, v ан п × 1 вектор-столбец, 0 - это 1 × п ряд нулей, а 1 - 1 × 1 единичная блочная матрица.

Формально, Aff (V) естественно изоморфна подгруппе в GL (V ⊕ K), с V вложен как аффинная плоскость {(v, 1) | v ∈ V}, а именно стабилизатор этой аффинной плоскости; Вышеупомянутая матричная формулировка является (транспонированной) реализацией этого, с п × п и 1 × 1) блоков, соответствующих разложению в прямую сумму V ⊕ K.

А похожий представление любое (п + 1) × (п + 1) матрица, в которой сумма записей в каждом столбце равна 1.^[1] В сходство п для перехода от вышеперечисленного к этому (п + 1) × (п + 1) единичная матрица, в которой нижняя строка заменена строкой из всех единиц.

Каждый из этих двух классов матриц замкнут относительно умножения матриц.

Самая простая парадигма вполне может иметь место п = 1, то есть верхний треугольный 2 × 2 матрицы, представляющие аффинную группу в одном измерении. Это двухпараметрический неабелева Группа Ли, поэтому всего с двумя образующими (элементами алгебры Ли) А и B, так что [А, B] = B, куда

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad B=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right)\,,}$

так что

${\displaystyle e^{aA+bB}=\left({\begin{array}{cc}e^{a}&{\tfrac {b}{a}}(e^{a}-1)\\0&1\end{array}}\right)\,.}$

Таблица символов Aff (F_п)

Aff (F_п) есть заказ п(п − 1). С

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}a&(1-a)d+bc\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$

мы знаем Aff (F_п) имеет п классы сопряженности, а именно

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{id}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}\,,\\[6pt]C_{1}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}^{*}\right\}\,,\\[6pt]{\Bigg \{}C_{a}&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}\right\}{\Bigg |}a\in \mathbf {F} _{p}\setminus \{0,1\}{\Bigg \}}\,.\end{aligned}}}$

Тогда мы знаем, что Aff (F_п) имеет п неприводимые представления. По абзацу выше (§ Матричное представление ), существуют п − 1 одномерные представления, определяемые гомоморфизмом

${\displaystyle \rho _{k}:\operatorname {Aff} (\mathbf {F} _{p})\to \mathbb {C} ^{*}}$

за k = 1, 2,… п − 1, куда

${\displaystyle \rho _{k}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}=\exp \left({\frac {2ikj\pi }{p-1}}\right)}$

и я² = −1, а = грамм^j, грамм является генератором группы F^∗
_п. Затем сравните с порядком F_п, у нас есть

${\displaystyle p(p-1)=p-1+\chi _{p}^{2}\,,}$

следовательно χ_п = п − 1 - размерность последнего неприводимого представления. Наконец, используя ортогональность неприводимых представлений, мы можем дополнить таблицу характеров Aff (F_п):

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccccc}&{\color {Blue}C_{id}}&{\color {Blue}C_{1}}&{\color {Blue}C_{g}}&{\color {Blue}C_{g^{2}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}C_{g^{p-2}}}\\\hline {\color {Blue}\chi _{1}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {2\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {2\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Blue}\chi _{2}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {8\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Blue}\chi _{3}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {6\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {12\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {6\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }\\{\color {Blue}\chi _{p-1}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}1}\\{\color {Blue}\chi _{p}}&{\color {Gray}p-1}&{\color {Gray}-1}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}0}\end{array}}}$

Плоская аффинная группа

В соответствии с Рафаэль Арци,^[2] «Линейная часть каждой аффинности [действительной аффинной плоскости] может быть приведена к одной из следующих стандартных форм с помощью преобразование координат с последующим расширением от начала координат:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{1.}}&&x&\mapsto ax+by\,,&y&\mapsto -bx+ay\,,&a,b&\neq 0\,,&a^{2}+b^{2}=1\,,\\[3pt]{\text{2.}}&&x&\mapsto x+by\,,&y&\mapsto y\,,&b&\neq 0\,,&\\[3pt]{\text{3.}}&&x&\mapsto ax\,,&y&\mapsto {\tfrac {y}{a}}\,,&a&\neq 0\,,&\end{aligned}}}$

где коэффициенты а, б, c, и d настоящие числа ".

Случай 1 соответствует преобразования подобия которые создают подгруппа сходства.Евклидова геометрия соответствует подгруппе конгруэнций. Он характеризуется Евклидово расстояние или же угол, которые инвариантный по подгруппе поворотов.

Случай 2 соответствует карты сдвига. Важное приложение абсолютное время и пространство куда Галилеевы преобразования связать системы отсчета. Они порождают галилееву группу.

Случай 3 соответствует сжатие. Эти преобразования порождают подгруппу плоской аффинной группы, называемую Группа Лоренца самолета. Геометрия, связанная с этой группой, характеризуется гиперболический угол, что является мера который инвариантен относительно подгруппы отображений сжатия.

Используя указанное выше матричное представление аффинной группы на плоскости, матрица M это 2 × 2 вещественная матрица. Соответственно, неособое M должен иметь одну из трех форм, соответствующих трихотомии Арци.

Другие аффинные группы

Общий случай

Для любой подгруппы грамм V) из общая линейная группа, можно получить аффинную группу, иногда обозначаемую Aff (грамм) аналогично как Aff (грамм) := V ⋊ грамм.

В более общем плане и абстрактно, для любой группы грамм и представление из грамм в векторном пространстве V,

${\displaystyle \rho :G\to \operatorname {GL} (V)}$

один получает^{[примечание 1]} ассоциированная аффинная группа V ⋊_ρ грамм: можно сказать, что полученная аффинная группа является "a расширение группы векторным представлением ", и, как и выше, имеется короткая точная последовательность:

${\displaystyle 1\to V\to V\rtimes _{\rho }G\to G\to 1\,.}$

Специальная аффинная группа

Основная статья: Специальная аффинная группа

Подмножество всех обратимых аффинных преобразований, сохраняющих фиксированную форму объема, или, в терминах полупрямого произведения, множество всех элементов (M, v) с M детерминанта 1, является подгруппой, известной как специальная аффинная группа.

Проективная подгруппа

Предполагая знание проективность и проективная группа проективная геометрия, аффинную группу легко указать. Например, Гюнтер Эвальд писал:^[3]

Набор ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ всех проективных коллинеаций п^п группа, которую мы можем назвать проективная группа из п^п. Если исходить из п^п в аффинное пространство А^п объявив гиперплоскость ω быть гиперплоскость в бесконечности, получаем аффинная группа ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ из А^п как подгруппа из ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ состоящий из всех элементов ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ что оставить ω фиксированный.

${\displaystyle {\mathfrak {A}}\subset {\mathfrak {P}}}$

Группа Пуанкаре

Основная статья: Группа Пуанкаре

В Группа Пуанкаре аффинная группа Группа Лоренца О (1,3):

${\displaystyle \mathbf {R} ^{1,3}\rtimes \operatorname {O} (1,3)}$

Этот пример очень важен в относительность.

Смотрите также

• Голоморф

Примечания

1. С GL (V) V). Заметим, что это включение в общем собственное, поскольку под "автоморфизмами" понимается группа автоморфизмы, т. е. сохраняют структуру группы на V (сложение и происхождение), но не обязательно скалярное умножение, и эти группы различаются, если работать над р.

Рекомендации

1. Пул, Дэвид Г. (ноябрь 1995 г.). «Стохастическая группа». Американский математический ежемесячный журнал. 102 (9): 798–801.
2. Арци, Рафаэль (1965). «Глава 2-6: Подгруппы плоской аффинной группы над вещественным полем». Линейная геометрия. Эддисон-Уэсли. п.94.
3. Эвальд, Гюнтер (1971). Геометрия: введение. Бельмонт: Уодсворт. п. 241. ISBN  9780534000349.

• Линдон, Роджер (1985). «Раздел VI.1». Группы и геометрия. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-31694-4.