Группа Лоренца - Lorentz group

Хендрик Антун Лоренц (1853–1928), в честь которого названа группа Лоренца.

В физика и математика, то Группа Лоренца это группа из всех Преобразования Лоренца из Пространство-время Минковского, то классический и квант настройка для всех (негравитационная) физические явления. Группа Лоренца названа в честь нидерландский язык физик Хендрик Лоренц.

Например, следующие законы, уравнения и теории соблюдают симметрию Лоренца:

• В кинематические законы из специальная теория относительности
• Полевые уравнения Максвелла в теории электромагнетизм
• В Уравнение Дирака в теории электрон
• В Стандартная модель физики элементарных частиц

Группа Лоренца выражает фундаментальную симметрия пространства и времени всех известных фундаментальных законы природы. В общая теория относительности В физике, в случаях, когда речь идет о достаточно малых областях пространства-времени, где гравитационные дисперсии незначительны, физические законы лоренц-инвариантны так же, как и законы специальной физики относительности.

Основные свойства

Группа Лоренца - это подгруппа из Группа Пуанкаре - группа всех изометрии из Пространство-время Минковского. Преобразования Лоренца - это в точности изометрии, при которых начало координат остается неизменным. Таким образом, группа Лоренца является подгруппа изотропии из группа изометрии пространства-времени Минковского. По этой причине группу Лоренца иногда называют однородная группа Лоренца а группу Пуанкаре иногда называют неоднородная группа Лоренца. Преобразования Лоренца являются примерами линейные преобразования; общие изометрии пространства-времени Минковского аффинные преобразования Математически группу Лоренца можно описать как неопределенная ортогональная группа O (1,3), матричная группа Ли что сохраняет квадратичная форма

${\displaystyle (t,x,y,z)\mapsto t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$

на р⁴. Эта квадратичная форма в матричной форме (см. классическая ортогональная группа ), интерпретируемая в физике как метрический тензор пространства-времени Минковского.

Группа Лоренца представляет собой шестиступенчатуюразмерный некомпактный неабелев настоящая группа Ли это не связаны. Четверка связанные компоненты не односвязный.^[1] В компонент идентичности (т.е. компонент, содержащий единичный элемент) группы Лоренца сам по себе является группой и часто называется ограниченная группа Лоренца, и обозначается SO⁺(1,3). Ограниченная группа Лоренца состоит из тех преобразований Лоренца, которые сохраняют ориентация пространства и направления времени. Его фундаментальная группа имеет порядок 2, а его универсальная крышка - неопределенная спиновая группа Спин (1,3) изоморфен как специальная линейная группа SL (2, C) и к симплектическая группа Sp (2, C). Эти изоморфизмы позволяют группе Лоренца воздействовать на большое количество математических структур, важных для физики, в первую очередь на спиноры. Таким образом, в релятивистская квантовая механика И в квантовая теория поля, очень часто SL (2, C) группу Лоренца, при том понимании, что SO⁺(1,3) является его конкретным представлением (векторным представлением). В бикватернионы, популярный в геометрическая алгебра, также изоморфны SL (2, C).

Ограниченная группа Лоренца также возникает как точечная группа симметрии определенного обыкновенное дифференциальное уравнение.^{[который? ]}

Подключенные компоненты

Световой конус в двухмерном пространстве плюс измерение времени.

Потому что это Группа Ли, группа Лоренца O (1,3) одновременно является группой и допускает топологическое описание как гладкое многообразие. Как многообразие, оно состоит из четырех связанных компонентов. Интуитивно это означает, что он состоит из четырех топологически разделенных частей.

Четыре связанных компонента можно классифицировать по двум свойствам преобразования, которыми обладают их элементы:

• Некоторые элементы меняются местами при преобразованиях Лоренца, инвертирующих время, например, указание на будущее времяподобный вектор будет инвертирован в вектор, указывающий в прошлое
• Некоторые элементы имеют обратную ориентацию на несобственные преобразования Лоренца, например, некоторые Vierbein (тетрады)

Преобразования Лоренца, сохраняющие направление времени, называются ортохронный. Подгруппу ортохронных преобразований часто обозначают O⁺(1,3). Те, которые сохраняют ориентацию, называются правильный, а как линейные преобразования имеют определитель +1. (Несобственные преобразования Лоренца имеют определитель −1.) Подгруппа собственных преобразований Лоренца обозначается SO (1,3).

Подгруппа всех преобразований Лоренца, сохраняющих ориентацию и направление времени, называется Собственная ортохронная группа Лоренца или же ограниченная группа Лоренца, и обозначается SO⁺(1, 3). (Обратите внимание, что некоторые авторы ссылаются на SO (1,3) или даже O (1,3), когда они на самом деле имеют в виду SO⁺(1, 3).)

Множеству четырех связанных компонентов можно дать групповую структуру как факторгруппа O (1,3) / SO⁺(1,3), которая изоморфна Кляйн четыре группы. Каждый элемент в O (1,3) может быть записан как полупрямой продукт правильного ортохронного преобразования и элемента дискретная группа

{1, п, Т, PT}

куда п и Т являются паритет и разворот времени операторы:

п = diag (1, −1, −1, −1)

Т = diag (−1, 1, 1, 1).

Таким образом, произвольное преобразование Лоренца может быть определено как правильное ортохронное преобразование Лоренца вместе с двумя дополнительными битами информации, которые выбирают один из четырех связанных компонентов. Этот образец типичен для конечномерных групп Ли.

Ограниченная группа Лоренца

Ограниченная группа Лоренца - это компонент идентичности группы Лоренца, что означает, что она состоит из всех преобразований Лоренца, которые могут быть связаны с тождеством непрерывный кривая лежит в группе. Ограниченная группа Лоренца - это связная нормальная подгруппа полной группы Лоренца с той же размерностью, в данном случае с размерностью шесть.

Ограниченная группа Лоренца порождается обычными пространственные вращения и Лоренц усиливает (которые представляют собой вращения в гиперболическом пространстве, которое включает времяподобное направление ^[2]). Поскольку каждое собственное преобразование Лоренца ортохроноса может быть записано как произведение вращения (заданного 3 реальных параметра ) и повышение (также задается 3 действительными параметрами), требуется 6 реальных параметров, чтобы указать произвольное правильное ортохронное преобразование Лоренца. Это один из способов понять, почему ограниченная группа Лоренца шестимерна. (См. Также Алгебра Ли группы Лоренца.)

Набор всех вращений образует Подгруппа Ли изоморфен обычному группа вращения SO (3). Однако набор всех бустов нет образуют подгруппу, поскольку составление двух повышений, как правило, не приводит к другому усилению. (Скорее, пара неколинеарных повышений эквивалентна усилению и вращению, и это относится к Вращение Томаса.) Разгон в каком-то направлении или вращение вокруг некоторой оси генерирует однопараметрическая подгруппа.

Поверхности транзитивности

Гиперболоид одного листа

Общая коническая поверхность

Гиперболоид двух листов

Если группа грамм действует в пространстве V, то поверхность S ⊂ V это поверхность транзитивности если S инвариантен относительно грамм, т.е. ∀грамм ∈ грамм, ∀s ∈ S: GS ∈ S, а для любых двух точек s₁, s₂ ∈ S Существует грамм ∈ грамм такой, что GS₁ = s₂. По определению группы Лоренца она сохраняет квадратичную форму

${\displaystyle Q(x)=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.}$

Поверхности транзитивности ортохронной группы Лоренца О⁺(1, 3), Q(Икс) = const. пространства-времени следующие:^[3]

• Q(Икс)> 0, х₀ > 0 это верхняя ветвь гиперболоид из двух листов. Точки на этом листе отделены от начала координат будущим своевременный вектор.
• Q(Икс)> 0, х₀ < 0 - нижняя ветвь этого гиперболоида. Пункты на этом листе в прошлом своевременный векторы.
• Q(Икс) = 0, х₀ > 0 это верхняя ветвь световой конус, будущий световой конус.
• Q(Икс) = 0, х₀ < 0 это нижняя ветвь светового конуса, прошедший световой конус.
• Q(Икс) < 0 является гиперболоидом одного листа. Пункты на этом листе космический отделены от источника.
• Происхождение Икс₀ = х₁ = х₂ = х₃ = 0.

Эти поверхности 3-размерный, поэтому изображения не верны, но они верны в отношении соответствующих фактов о О⁺(1, 2). Для полной группы Лоренца поверхностей транзитивности всего четыре, поскольку преобразование Т переводит верхнюю ветвь гиперболоида (конуса) в нижнюю и наоборот.

Эти наблюдения представляют собой хорошую отправную точку для поиска всех бесконечномерные унитарные представления группы Лоренца, по сути, группы Пуанкаре, используя метод индуцированные представления.^[4] Начинают со «стандартного вектора», по одному для каждой поверхности транзитивности, а затем спрашивают, какая подгруппа сохраняет эти векторы. Эти подгруппы называются маленькие группы физиками. Тогда проблема по существу сводится к более простой задаче поиска представлений малых групп. Например, стандартный вектор в одной из гипербол двух листов может быть подходящим образом выбран как (м, 0, 0, 0). Для каждого м ≠ 0, вектор проходит ровно один лист. В этом случае небольшая группа ТАК (3), то группа ротации, все представления которых известны. Точное бесконечномерное унитарное представление, в соответствии с которым трансформируется частица, является частью ее классификации. Не все представления могут соответствовать физическим частицам (насколько известно). Стандартные векторы на однополостных гиперболах соответствовали бы тахионы. Частицы на световом конусе фотоны, и более гипотетически, гравитоны. «Частица», соответствующая началу координат, - это вакуум.

Гомоморфизмы и изоморфизмы

Смотрите также: Алгебра физического пространства

Некоторые другие группы либо гомоморфны, либо изоморфны ограниченной группе Лоренца SO⁺(1, 3). Эти гомоморфизмы играют ключевую роль в объяснении различных явлений в физике.

• В специальная линейная группа SL (2,C) это двойное покрытие группы Лоренца. Это отношение широко используется для выражения Лоренц-инвариантность из Уравнение Дирака и ковариация спиноры.
• В симплектическая группа Sp (2,C) изоморфна SL (2,C); он используется для построения Спиноры Вейля, а также объяснить, как спиноры могут иметь массу.
• В вращательная группа Спин (1,3) изоморфен SL (2,C); он используется для объяснения спина и спиноров с точки зрения Алгебра Клиффорда, таким образом проясняя, как обобщить группу Лоренца для общих настроек в Риманова геометрия, включая теории супергравитация и теория струн.
• Ограниченная группа Лоренца есть изоморфный к проективная специальная линейная группа PSL (2,C), который, в свою очередь, изоморфен Группа Мебиуса, то группа симметрии из конформная геометрия на Сфера Римана. Это отношение является центральным для классификации подгрупп группы Лоренца в соответствии с более ранней схемой классификации, разработанной для группы Мёбиуса.

Представление Вейля

В Представление Вейля или же спинорная карта пара сюръективный гомоморфизмы из SL (2,C) в SO⁺(1,3). Они образуют подходящую пару под паритет преобразования, соответствующие левой и правой хиральный спиноры.

Можно определить действие SL (2,C) на пространстве-времени Минковского, записав точку пространства-времени в виде Эрмитова матрица в виде

${\displaystyle {\overline {X}}={\begin{bmatrix}t+z&x-iy\\x+iy&t-z\end{bmatrix}}=t1\!\!1+x\sigma _{x}+y\sigma _{y}+z\sigma _{z}=t1\!\!1+{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}}$

с точки зрения Матрицы Паули Это представление, представление Вейля, удовлетворяет

${\displaystyle \det \,{\overline {X}}=t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Таким образом, мы идентифицировали пространство эрмитовых матриц (которое является четырехмерным, как настоящий векторное пространство) с пространством-временем Минковского таким образом, что детерминант эрмитовой матрицы - это квадрат длины соответствующего вектора в пространстве-времени Минковского. Элемент ${\displaystyle S\in SL(2,\mathbb {C} )}$ действует на пространстве эрмитовых матриц посредством

${\displaystyle {\overline {X}}\mapsto S{\overline {X}}S^{\dagger }~,}$

куда ${\displaystyle S^{\dagger }}$ это Эрмитово транспонирование из ${\displaystyle S}$. Это действие сохраняет определитель, поэтому SL (2,C) действует на пространство-время Минковского посредством (линейных) изометрий. Форма с инвертированной четностью приведенного выше

${\displaystyle X=t1\!\!1-{\vec {x}}\cdot {\vec {\sigma }}}$

который преобразуется как

${\displaystyle X\mapsto (S^{-1})^{\dagger }XS^{-1}}$

То, что это правильное преобразование, следует из того, что

${\displaystyle {\overline {X}}X=(t^{2}-{\vec {x}}\cdot {\vec {x}})1\!\!1=(t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2})1\!\!1}$

остается инвариантным относительно указанной пары преобразований.

Эти карты сюръективный, и ядро любого отображения является двухэлементной подгруппой ±я. Посредством первая теорема об изоморфизме, фактор-группа PSL (2,C) = SL (2,C) / {±я} изоморфен SO⁺(1,3).

Карта четности меняет местами эти два покрытия. Это соответствует эрмитовому сопряжению, являющемуся автоморфизмом ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} ).}$ Эти два различных покрытия соответствуют двум различным хиральный действия группы Лоренца на спиноры. Незакрашенная форма соответствует правым спинорам, преобразующимся как ${\displaystyle \psi _{R}\mapsto S\psi _{R}~,}$ а форма над чертой соответствует левым спинорам, преобразующимся как ${\displaystyle \psi _{L}\mapsto (S^{\dagger })^{-1}\psi _{L}~.}$^[а]

Важно отметить, что эта пара покрытий нет выжить при квантовании; при квантовании это приводит к своеобразному явлению хиральная аномалия. Классический (т.е. неквантованные) симметрии группы Лоренца нарушаются квантованием; это содержание Теорема Атьи – Зингера об индексе.

Условные обозначения

В физике принято обозначать преобразование Лоренца ${\displaystyle \Lambda \in SO^{+}(1,3)}$ в качестве ${\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }~,}$ таким образом показывая матрицу с индексами пространства-времени ${\displaystyle \mu ,\nu =0,1,2,3.}$ Четырехвектор можно создать из матриц Паули двумя разными способами: как ${\displaystyle \sigma ^{\mu }=(I,{\vec {\sigma }})}$ и, как ${\displaystyle {\overline {\sigma }}^{\mu }=(I,-{\vec {\sigma }})~.}$ Эти две формы связаны между собой преобразование четности. Обратите внимание, что ${\displaystyle {\overline {\sigma }}_{\mu }=\sigma ^{\mu }~.}$

Учитывая преобразование Лоренца ${\displaystyle x^{\mu }\mapsto x^{\prime \mu }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }~,}$ двойное накрытие ортохронной группы Лоренца ${\displaystyle S\in SL(2,\mathbb {C} )}$ приведенное выше можно записать как

${\displaystyle x^{\prime \mu }{\overline {\sigma }}_{\mu }={\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }=Sx^{\nu }{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }}$

Отбрасывая ${\displaystyle x^{\mu }}$ это принимает форму

${\displaystyle {\overline {\sigma }}_{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=S{\overline {\sigma }}_{\nu }S^{\dagger }}$

Сопряженная по четности форма

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=(S^{-1})^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

Доказательство

То, что приведенное выше является правильной формой для индексированной нотации, не сразу очевидно, отчасти потому, что при работе в индексированной нотации довольно легко случайно спутать преобразование Лоренца с его обратным или его транспонированием. Эта путаница возникает из-за идентичности ${\displaystyle \eta \Lambda ^{T}\eta =\Lambda ^{-1}}$ трудно распознать при написании в индексированной форме. Преобразования Лоренца нет тензоры относительно преобразований Лоренца! Таким образом, прямое доказательство этой идентичности полезно для установления ее правильности. Это можно продемонстрировать, начав с идентичности

${\displaystyle \omega \sigma ^{k}\omega ^{-1}=-(\sigma ^{k})^{T}=-(\sigma ^{k})^{*}}$

куда ${\displaystyle k=1,2,3}$ так что это обычные матрицы Паули, и ${\displaystyle (\cdot )^{T}}$ - транспонированная матрица, а ${\displaystyle (\cdot )^{*}}$ является комплексным сопряжением. Матрица ${\displaystyle \omega }$ является

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

Записанное как четырехвекторное отношение

${\displaystyle \sigma _{\mu }^{T}=\sigma _{\mu }^{*}=\omega {\overline {\sigma }}_{\mu }\omega ^{-1}}$

Это преобразуется как

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mu }^{T}{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }&=\omega {\overline {\sigma }}_{\mu }\omega ^{-1}{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }\\&=\omega S\;{\overline {\sigma }}_{\nu }\,S^{\dagger }\omega ^{-1}\\&=(\omega S\omega ^{-1})\,(\omega {\overline {\sigma }}_{\nu }\omega ^{-1})\,(\omega S^{\dagger }\omega ^{-1})\\&=(S^{-1})^{T}\,\sigma _{\nu }^{T}\,(S^{-1})^{*}\end{aligned}}}$

Сделав еще одну транспонировку, мы получим

${\displaystyle \sigma _{\mu }{\Lambda ^{\mu }}_{\nu }=(S^{-1})^{\dagger }\sigma _{\nu }S^{-1}}$

Симплектическая группа

В симплектическая группа Sp (2,C) изоморфна SL (2,C). Этот изоморфизм построен так, чтобы сохранить симплектическая билинейная форма на ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2},}$ т.е. оставить форму инвариантной относительно преобразований Лоренца. Это можно сформулировать следующим образом. Симплектическая группа определяется как

${\displaystyle Sp(2,\mathbb {C} )=\{S\in GL(2,\mathbb {C} ):S^{T}\omega S=\omega \}}$

куда

${\displaystyle \omega =i\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}$

Другие распространенные обозначения: ${\displaystyle \omega =\epsilon }$ для этого элемента; иногда ${\displaystyle J}$ используется, но это вызывает путаницу с идеей почти сложные конструкции, которые не совпадают, поскольку они по-разному трансформируются.

Дана пара спиноров Вейля (двухкомпонентные спиноры)

${\displaystyle u={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}~,\quad v={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}}$

инвариантная билинейная форма условно записывается как

${\displaystyle \langle u,v\rangle =-\langle v,u\rangle =u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}=u^{T}\omega v}$

Эта форма инвариантна относительно группы Лоренца, так что для ${\displaystyle S\in SL(2,\mathbb {C} )}$ надо

${\displaystyle \langle Su,Sv\rangle =\langle u,v\rangle }$

Это определяет своего рода «скалярное произведение» спиноров и обычно используется для определения лоренц-инварианта. масса срок в Лагранжианы. Следует выделить несколько примечательных свойств, важных для физики. Один из них ${\displaystyle \omega ^{2}=-1}$ и так ${\displaystyle \omega ^{-1}=\omega ^{T}=\omega ^{\dagger }=-\omega }$

Определяющее соотношение можно записать как

${\displaystyle \omega S^{T}\omega ^{-1}=S^{-1}}$

что очень похоже на определяющее соотношение для группы Лоренца

${\displaystyle \eta \Lambda ^{T}\eta ^{-1}=\Lambda ^{-1}}$

куда ${\displaystyle \eta =\mathrm {diag} (+1,-1,-1,-1)}$ это метрический тензор за Пространство Минковского и конечно, ${\displaystyle \Lambda \in SO(1,3)}$ как прежде.

Покрывающие группы

С SL (2,C) односвязно, это универсальная группа покрытий ограниченной группы Лоренца ТАК⁺(1, 3). По ограничению существует гомоморфизм СУ (2) → СО (3). Здесь особая унитарная группа SU (2), изоморфная группе единиц норма кватернионы, также односвязна, поэтому является накрывающей группой группы вращений SO (3). Каждый из них покрывающие карты являются двукратными покрытиями в том смысле, что ровно два элемента накрывающей группы отображаются в каждый элемент фактора. Часто говорят, что ограниченная группа Лоренца и группа вращений являются двусвязный. Это означает, что фундаментальная группа каждой группы изоморфный к двухэлементной циклическая группа Z₂.

Двукратные покрытия характерны для спиновые группы. Ведь помимо двойных покрытий

Вращение⁺(1, 3) = SL (2, C) → SO⁺(1, 3)

Спин (3) = SU (2) → SO (3)

у нас есть двойные покрытия

Штифт (1, 3) → O (1, 3)

Спин (1, 3) → SO (1, 3)

Вращение⁺(1, 2) = SU (1, 1) → SO (1, 2)

Эти спинориальные двойные покрытия построены из Алгебры Клиффорда.

Топология

Левая и правая группы в двойном накрытии

СУ (2) → СО (3)

находятся деформация втягивается левой и правой групп соответственно в двойное накрытие

SL (2,C) → SO⁺(1,3).

Но однородное пространство SO⁺(1,3) / SO (3) есть гомеоморфный к гиперболическое 3-пространство ЧАС³, поэтому мы выставили ограниченную группу Лоренца как основной пучок волокон с волокнами SO (3) и базой H³. Поскольку последний гомеоморфен р³, а SO (3) гомеоморфна трехмерной реальное проективное пространство рп³, мы видим, что ограниченная группа Лоренца является локально гомеоморфен продукту рп³ с р³. Поскольку базовое пространство стягиваемо, его можно расширить до глобального гомеоморфизма.^{[требуется разъяснение ]}

Генераторы ускорений и вращений

Группу Лоренца можно рассматривать как подгруппу группы группа диффеоморфизмов из р⁴ и поэтому ее алгебра Ли может быть отождествлена ​​с векторными полями на р⁴. В частности, векторы, порождающие изометрии на пространстве, являются его Векторы убийства, который представляет собой удобную альтернативу левоинвариантное векторное поле для вычисления алгебры Ли. Мы можем записать набор из шести генераторов:

• Векторные поля на р⁴ создание трех оборотов я J,

  ${\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}\equiv iJ_{z}~,\qquad -z\partial _{y}+y\partial _{z}\equiv iJ_{x}~,\qquad -x\partial _{z}+z\partial _{x}\equiv iJ_{y}~;}$

• Векторные поля на р⁴ генерируя три повышения я K,

  ${\displaystyle x\partial _{t}+t\partial _{x}\equiv iK_{x}~,\qquad y\partial _{t}+t\partial _{y}\equiv iK_{y}~,\qquad z\partial _{t}+t\partial _{z}\equiv iK_{z}.}$

Здесь будет полезно вкратце напомнить, как получить однопараметрическую группу из векторное поле, написанные в форме первого порядка линейный оператор в частных производных Такие как

${\displaystyle -y\partial _{x}+x\partial _{y}.}$

Соответствующая задача начального значения:

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial \lambda }}=-y,\;{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}=x,\;x(0)=x_{0},\;y(0)=y_{0}.}$

Решение можно записать

${\displaystyle x(\lambda )=x_{0}\cos(\lambda )-y_{0}\sin(\lambda ),\;y(\lambda )=x_{0}\sin(\lambda )+y_{0}\cos(\lambda )}$

или же

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\lambda )&-\sin(\lambda )&0\\0&\sin(\lambda )&\cos(\lambda )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t_{0}\\x_{0}\\y_{0}\\z_{0}\end{bmatrix}}}$

где мы легко узнаем однопараметрическую матричную группу поворотов exp (я λ J_z) вокруг оси z.

Дифференцируя по групповому параметру λ и установив это λ= 0 в этом результате, мы восстанавливаем стандартную матрицу,

${\displaystyle iJ_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}~,}$

что соответствует векторному полю, с которого мы начали. Это показывает, как переходить между матричным и векторным полевым представлением элементов алгебры Ли. В экспоненциальная карта играет эту особую роль не только для группы Лоренца для групп Ли вообще.

Обращаясь к процедуре из предыдущего раздела, мы видим, что преобразования Мёбиуса, соответствующие нашим шести генераторам, возникают в результате возведения в степень соответственно η/ 2 (для трех бустов) или iθ/ 2 (для трех оборотов) умножить на три Матрицы Паули

${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},\;\;\sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}},\;\;\sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

Классы сопряженности

Поскольку ограниченная группа Лоренца SO⁺(1, 3) изоморфна группе Мёбиуса PSL (2,C), это классы сопряженности также делятся на пять классов:

• Эллиптический трансформации
• Гиперболический трансформации
• Локсодромный трансформации
• Параболический трансформации
• Тривиальный личность трансформация

В статье о Преобразования Мебиуса, объясняется, как возникает эта классификация, с учетом фиксированные точки преобразований Мёбиуса в их действии на сфере Римана, что соответствует здесь ноль собственные подпространства ограниченных преобразований Лоренца в их действии на пространство-время Минковского.

Пример каждого типа приведен в подразделах ниже вместе с эффектом однопараметрическая подгруппа он генерирует (например, при появлении ночного неба).

Преобразования Мёбиуса - это конформные преобразования сферы Римана (или небесной сферы). Затем сопрягая с произвольным элементом SL (2,C) получает следующие примеры произвольных эллиптических, гиперболических, локсодромных и параболических (ограниченных) преобразований Лоренца соответственно. Влияние на выкидные линии соответствующих однопараметрических подгрупп заключается в преобразовании паттерна, показанного в примерах, посредством некоторого конформного преобразования. Например, эллиптическое преобразование Лоренца может иметь любые две различные фиксированные точки на небесной сфере, но точки по-прежнему текут по дугам окружности от одной фиксированной точки к другой. Остальные случаи аналогичны.

Эллиптический

Эллиптический элемент SL (2,C) является

${\displaystyle P_{1}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {i}{2}}\theta \right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {i}{2}}\theta \right)\end{bmatrix}}}$

и имеет фиксированные точки ξ = 0, ∞. Написание действия как Икс ↦ п₁ X P₁^† и собирая члены, спинорное отображение преобразует это в (ограниченное) преобразование Лоренца

${\displaystyle Q_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.}$

Это преобразование затем представляет вращение вокруг z ось, exp (iθJ_z). Порождаемая им однопараметрическая подгруппа получается взятием θ чтобы быть реальной переменной, угол поворота, а не константа.

Соответствующие непрерывные преобразования небесной сферы (за исключением тождества) все имеют одни и те же две фиксированные точки, Северный и Южный полюса. Преобразования перемещают все другие точки по кругам широты, так что эта группа дает непрерывное вращение против часовой стрелки вокруг z ось как θ увеличивается. В удвоение угла на спинорном отображении проявляется характерная черта спинориальные двойные накрытия.

Гиперболический

Гиперболический элемент SL (2,C) является

${\displaystyle P_{2}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {\eta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {\eta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$

и имеет фиксированные точки ξ = 0, ∞. При стереографической проекции из сферы Римана на евклидову плоскость эффект этого преобразования Мёбиуса представляет собой расширение от начала координат.

Отображение спинора преобразует это в преобразование Лоренца

${\displaystyle Q_{2}={\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}=\exp \left(\eta {\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\right)~.}$

Это преобразование представляет собой усиление z ось с быстрота η. Порождаемая им однопараметрическая подгруппа получается взятием η быть реальной переменной, а не константой. Соответствующие непрерывные преобразования небесной сферы (кроме тождества) все имеют одни и те же фиксированные точки (северный и южный полюса), и они перемещают все другие точки вдоль долготы от Южного полюса к Северному полюсу.

Локсодромный

Локсодромный элемент SL (2,C) является

${\displaystyle P_{3}=P_{2}P_{1}=P_{1}P_{2}={\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {1}{2}}(\eta +i\theta )\right)\end{bmatrix}}}$

и имеет фиксированные точки ξ = 0, ∞. Отображение спинора преобразует это в преобразование Лоренца

${\displaystyle Q_{3}=Q_{2}Q_{1}=Q_{1}Q_{2}.}$

Образующаяся однопараметрическая подгруппа получается заменой η + iθ с любым действительным кратным этой комплексной константы. (Если η, θ изменяются независимо, то двумерный абелева подгруппа получается, состоящий из одновременных вращений вокруг z оси и бусты вдоль z-ось; напротив, одномерный Обсуждаемая здесь подгруппа состоит из таких элементов этой двумерной подгруппы, что быстрота повышения и угол вращения имеют фиксированный коэффициент.)

Соответствующие непрерывные преобразования небесной сферы (за исключением тождества) все имеют одни и те же две фиксированные точки (северный и южный полюса). Они перемещают все другие точки от Южного полюса к Северному полюсу (или наоборот) вдоль семейства кривых, называемых локсодромы. Каждая локсодрома бесконечно часто вращается по спирали вокруг каждого полюса.

Параболический

Параболический элемент SL (2,C) является

${\displaystyle P_{4}={\begin{bmatrix}1&\alpha \\0&1\end{bmatrix}}}$

и имеет единственную фиксированную точку ξ = ∞ на сфере Римана. В стереографической проекции он выглядит как обычный перевод вдоль реальная ось.

Карта спинора преобразует это в матрицу (представляющую преобразование Лоренца)

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{4}&={\begin{bmatrix}1+{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}&\operatorname {Re} (\alpha )&\operatorname {Im} (\alpha )&-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\\\operatorname {Re} (\alpha )&1&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha )&0&1&\operatorname {Im} (\alpha )\\{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}&\operatorname {Re} (\alpha )&\operatorname {Im} (\alpha )&1-{\frac {1}{2}}\vert \alpha \vert ^{2}\end{bmatrix}}\\[6pt]&=\exp {\begin{bmatrix}0&\operatorname {Re} (\alpha )&\operatorname {Im} (\alpha )&0\\\operatorname {Re} (\alpha )&0&0&-\operatorname {Re} (\alpha )\\-\operatorname {Im} (\alpha )&0&0&\operatorname {Im} (\alpha )\\0&\operatorname {Re} (\alpha )&\operatorname {Im} (\alpha )&0\end{bmatrix}}~.\end{aligned}}}$

Это порождает двухпараметрическую абелеву подгруппу, которая получается рассмотрением α комплексная переменная, а не константа. Соответствующие непрерывные преобразования небесной сферы (за исключением тождественного преобразования) перемещают точки вдоль семейства окружностей, которые все касаются на северном полюсе к некоторому большой круг. По этим кругам движутся все точки, кроме самого Северного полюса.

Параболические преобразования Лоренца часто называют нулевые вращения. Поскольку они, вероятно, наименее знакомы из четырех типов неединичных преобразований Лоренца (эллиптического, гиперболического, локсодромного, параболического), здесь показано, как определить влияние примера параболического преобразования Лоренца на пространство-время Минковского.

Приведенная выше матрица дает преобразование

${\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\rightarrow {\begin{bmatrix}t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}+\operatorname {Re} (\alpha )\;{\begin{bmatrix}x\\t-z\\0\\x\end{bmatrix}}+\operatorname {Im} (\alpha )\;{\begin{bmatrix}y\\0\\z-t\\y\end{bmatrix}}+{\frac {\vert \alpha \vert ^{2}}{2}}\;{\begin{bmatrix}t-z\\0\\0\\t-z\end{bmatrix}}.}$

Теперь, не теряя общности, выберите Im (α) = 0. Дифференцируя это преобразование относительно теперь реального группового параметра α и оценка на α= 0 дает соответствующее векторное поле (линейный дифференциальный оператор первого порядка),

${\displaystyle x\,\left(\partial _{t}+\partial _{z}\right)+(t-z)\,\partial _{x}.}$

Примените это к функции f (t, x, y, z), и требовать, чтобы он оставался инвариантным, т.е. аннигилировал этим преобразованием. Решение полученного линейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка можно выразить в виде

${\displaystyle f(t,x,y,z)=F\left(y,\,t-z,\,t^{2}-x^{2}-z^{2}\right),}$

куда F является произвольный гладкая функция. Аргументы F дать три рациональные инварианты описывая, как точки (события) перемещаются при этом параболическом преобразовании, поскольку сами они не перемещаются,

${\displaystyle y=c_{1},~~~~t-z=c_{2},~~~~t^{2}-x^{2}-z^{2}=c_{3}.}$

Выбор реальных значений для констант в правых частях дает три условия и, таким образом, задает кривую в пространстве-времени Минковского. Эта кривая - орбита трансформации.

Вид рациональных инвариантов показывает, что эти выкидные линии (орбиты) имеют простое описание: подавление несущественной координаты у, каждая орбита является пересечением нулевая плоскость, т = z + c₂, с гиперболоид, т² - х² - г² = c₃. Дело c₃ = 0 гиперболоид вырождается в световой конус, а его орбиты становятся параболами, лежащими в соответствующих нулевых плоскостях.

Остается конкретная нулевая линия, лежащая на световом конусе. инвариантный; это соответствует единственной (двойной) неподвижной точке на сфере Римана, упомянутой выше. Остальные нулевые линии через начало координат «качаются по конусу» в результате преобразования. Следуя за движением одной такой нулевой линии, как α увеличение соответствует движению точки вдоль одной из круговых линий потока на небесной сфере, как описано выше.

Выбор Re (α) = 0 вместо этого производит аналогичные орбиты, теперь с ролями Икс и у поменялись местами.

Параболические преобразования приводят к калибровочной симметрии безмассовых частиц (например, фотоны ) с спиральность |час| ≥ 1. В приведенном выше явном примере безмассовая частица, движущаяся в z направление, поэтому с 4-мя импульсом п=(п, 0, 0, п), совершенно не зависит от Икс-повышение и укомбинация вращения K_Икс - J_у определяется ниже, в «маленькой группе» его движения. Это очевидно из обсуждаемого явного закона преобразования: как любой светоподобный вектор, п теперь инвариантен, то есть все следы или эффекты α исчез. c₁ = c₂ = c₃ = 0 в обсуждаемом частном случае. (Другой аналогичный генератор, K_у+ J_Икс а также это и J_z вместе составляют небольшую группу светоподобного вектора, изоморфного E(2).)

Внешний вид ночного неба

Этот изоморфизм имеет следствие того, что преобразования Мёбиуса сферы Римана представляют способ, которым преобразования Лоренца изменяют внешний вид ночного неба, как это видит наблюдатель, который маневрирует в релятивистский скорости относительно «неподвижных звезд».

Предположим, что «неподвижные звезды» живут в пространстве-времени Минковского и моделируются точками на небесной сфере. Тогда данной точке на небесной сфере можно сопоставить ξ = u + iv, комплексное число, соответствующее точке на Сфера Римана, и может быть отождествлен с нулевой вектор (а светоподобный вектор ) в пространстве Минковского

${\displaystyle {\begin{bmatrix}u^{2}+v^{2}+1\\2u\\-2v\\u^{2}+v^{2}-1\end{bmatrix}}}$

или, в представлении Вейля (спинорное отображение), эрмитова матрица

${\displaystyle N=2{\begin{bmatrix}u^{2}+v^{2}&u+iv\\u-iv&1\end{bmatrix}}.}$

Набор действительных скалярных кратных этого нулевого вектора, называемый нулевая строка через начало координат представляет собой Поле зрения от наблюдателя в определенном месте и времени (произвольное событие, которое мы можем отождествить с происхождением пространства-времени Минковского) до различных далеких объектов, таких как звезды. Тогда точки небесная сфера (что эквивалентно лучам зрения) отождествляются с некоторыми эрмитовыми матрицами.

Алгебра Ли

Как и в случае с любой группой Ли, полезный способ изучения многих аспектов группы Лоренца - изучение ее Алгебра Ли. Поскольку группа Лоренца SO (1,3) является матричная группа Ли, ее алгебра Ли so (1,3) является алгеброй матриц, которую можно вычислить как^[5]

${\displaystyle \mathrm {so} (1,3)=\left\{4\times 4\,\mathrm {matrices} \,X\mid e^{tX}\in \mathrm {SO} (1,3)\,\mathrm {for} \,\mathrm {all} \,t\right\}}$.

Если ${\displaystyle \eta }$ диагональная матрица с диагональными элементами ${\displaystyle (1,-1,-1,-1)}$, то алгебра Ли o (1,3) состоит из ${\displaystyle 4\times 4}$ матрицы ${\displaystyle X}$ такой, что^[6]

${\displaystyle \eta X\eta =-X^{T}}$.

В явном виде (1,3) состоит из ${\displaystyle 4\times 4}$ матрицы вида

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&a&b&c\\a&0&d&e\\b&-d&0&f\\c&-e&-f&0\end{pmatrix}}}$,

куда ${\displaystyle a,b,c,d,e,f}$ - произвольные действительные числа. Эта алгебра Ли шестимерная. Подалгебра в so (1,3), состоящая из элементов, в которых ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, и ${\displaystyle c}$ равный нулю изоморфен so (3).

Отметим, что полная группа Лоренца O (1,3), собственная группа Лоренца SO (1,3) и собственная ортохронная группа Лоренца ${\displaystyle \mathrm {SO} ^{+}(1,3)}$ все имеют одну и ту же алгебру Ли, которую обычно обозначают так (1,3).

Поскольку компонента единицы группы Лоренца изоморфна конечному фактору группы SL (2, C) (см. Раздел выше о связи группы Лоренца с группой Мёбиуса), алгебра Ли группы Лоренца изоморфна группе Лоренца. Алгебра Ли sl (2, C). Обратите внимание, что sl (2, C) является трехмерным, если рассматривать его как комплексную алгебру Ли, но шестимерным, если рассматривать его как действительную алгебру Ли.

Генераторы группы Мебиуса

Другой порождающий набор возникает через изоморфизм группе Мёбиуса. В следующей таблице перечислены шесть генераторов, в которых

• В первом столбце представлен генератор потока под действием Мебиуса (после стереографической проекции из сферы Римана) в виде настоящий векторное поле на евклидовой плоскости.
• Во втором столбце указана соответствующая однопараметрическая подгруппа преобразований Мёбиуса.
• Третий столбец дает соответствующую однопараметрическую подгруппу преобразований Лоренца (изображение при нашем гомоморфизме предыдущей однопараметрической подгруппы).
• Четвертый столбец дает соответствующий генератор потока под действием Лоренца как вещественное векторное поле в пространстве-времени Минковского.

Обратите внимание, что генераторы состоят из

• Две параболики (нулевые вращения)
• Один гиперболический (увеличение ∂_z направление)
• Три эллиптики (вращения вокруг х, у, г оси соответственно)

Векторное поле на р^2	Однопараметрическая подгруппа SL (2,C), представляющие преобразования Мёбиуса	Однопараметрическая подгруппа SO^+(1,3), представляющие преобразования Лоренца	Векторное поле на р^4
Параболический
${\displaystyle \partial _{u}\,\!}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&\alpha \\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&\alpha &0&-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\\\alpha &1&0&-\alpha \\0&0&1&0\\{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&\alpha &0&1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}={}&x(\partial _{t}+\partial _{z})+\\&(t-z)\partial _{x}\end{aligned}}}$
${\displaystyle \partial _{v}\,\!}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&i\alpha \\0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1+{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&0&\alpha &-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\\0&1&0&0\\\alpha &0&1&-\alpha \\{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}&0&\alpha &1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}X_{2}={}&y(\partial _{t}+\partial _{z})+\\&(t-z)\partial _{y}\end{aligned}}}$
Гиперболический
${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(u\partial _{u}+v\partial _{v}\right)}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {\eta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left(-{\frac {\eta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cosh(\eta )&0&0&\sinh(\eta )\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh(\eta )&0&0&\cosh(\eta )\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{3}=z\partial _{t}+t\partial _{z}\,\!}$
Эллиптический
${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(-v\partial _{u}+u\partial _{v}\right)}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\exp \left({\frac {i\theta }{2}}\right)&0\\0&\exp \left({\frac {-i\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{4}=-y\partial _{x}+x\partial _{y}}$
${\displaystyle {\frac {v^{2}-u^{2}-1}{2}}\partial _{u}-uv\,\partial _{v}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\\0&0&1&0\\0&-\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{5}=-x\partial _{z}+z\partial _{x}}$
${\displaystyle uv\,\partial _{u}+{\frac {1-u^{2}+v^{2}}{2}}\partial _{v}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&i\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\i\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\0&0&\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle X_{6}=-z\partial _{y}+y\partial _{z}}$

Проверим одну строку в этой таблице. Начать с

${\displaystyle \sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&i\\-i&0\end{bmatrix}}.}$

Возвещать:

${\displaystyle \exp \left({\frac {i\theta }{2}}\,\sigma _{2}\right)={\begin{bmatrix}\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)&-\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\\\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)&\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\end{bmatrix}}.}$

Этот элемент SL (2,C) представляет собой однопараметрическую подгруппу (эллиптических) преобразований Мёбиуса:

${\displaystyle \xi \mapsto \xi '={\frac {\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\xi -\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\,\xi +\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)}}.}$

Следующий,

${\displaystyle \left.{\frac {d\xi '}{d\theta }}\right|_{\theta =0}=-{\frac {1+\xi ^{2}}{2}}.}$

Соответствующее векторное поле на C (задуманный как образ S² в стереографической проекции)

${\displaystyle -{\frac {1+\xi ^{2}}{2}}\,\partial _{\xi }.}$

Письмо ${\displaystyle \xi =u+iv}$, это становится векторным полем на р²

${\displaystyle -{\frac {1+u^{2}-v^{2}}{2}}\,\partial _{u}-uv\,\partial _{v}.}$

Возвращаясь к нашему элементу SL (2,C), выписывая действие ${\displaystyle X\mapsto PXP^{\dagger }}$ и собирая термины, мы находим, что изображение под спинорной картой является элементом SO⁺(1,3)

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\\0&0&1&0\\0&-\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{bmatrix}}.}$

Дифференцируя по θ в θ= 0, дает соответствующее векторное поле на р⁴,

${\displaystyle z\partial _{x}-x\partial _{z}.\,\!}$

Очевидно, это генератор вращения против часовой стрелки вокруг у ось.

Подгруппы группы Лоренца

Подалгебры алгебры Ли группы Лоренца могут быть пронумерованы с точностью до сопряженности, откуда закрытые подгруппы ограниченной группы Лоренца можно перечислить с точностью до сопряжения. (Подробнее см. Книгу Холла, цитируемую ниже.) Их легко выразить в терминах генераторов. ${\displaystyle X_{n}}$ приведено в таблице выше.

Одномерные подалгебры, конечно, соответствуют четырем классам сопряженности элементов группы Лоренца:

• ${\displaystyle X_{1}}$ порождает однопараметрическую подалгебру параболик SO (0,1),
• ${\displaystyle X_{3}}$ генерирует однопараметрическую подалгебру бустов SO (1,1),
• ${\displaystyle X_{4}}$ генерирует однопараметрический поворот SO (2),
• ${\displaystyle X_{3}+aX_{4}}$ (для любого ${\displaystyle a\neq 0}$) порождает однопараметрическую подалгебру локсодромных преобразований.

(Строго говоря, последнему соответствует бесконечное число классов, поскольку различные ${\displaystyle a}$ дают разные классы.) Двумерные подалгебры:

• ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ порождают абелеву подалгебру, целиком состоящую из параболик,
• ${\displaystyle X_{1},X_{3}}$ порождают неабелеву подалгебру, изоморфную алгебре Ли аффинная группа Aff (1),
• ${\displaystyle X_{3},X_{4}}$ сгенерировать абелеву подалгебру, состоящую из бустов, вращений и локсодромик, имеющих одну и ту же пару неподвижных точек.

Трехмерные подалгебры используют Классификация Бьянки схема:

• ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}}$ генерировать Бьянки V подалгебры, изоморфной алгебре Ли Hom (2), группа евклидовы гомотетии,
• ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{4}}$ генерировать Бьянки VII_0 подалгебре, изоморфной алгебре Ли E (2), евклидова группа,
• ${\displaystyle X_{2},X_{2},X_{3}+aX_{4}}$, куда ${\displaystyle a\neq 0}$, создать Бьянки VII_a подалгебра
• ${\displaystyle X_{1},X_{3},X_{5}}$ генерировать Бьянки VIII подалгебра, изоморфная алгебре Ли SL (2,р) группа изометрий гиперболическая плоскость,
• ${\displaystyle X_{4},X_{5},X_{6}}$ генерировать Бьянки IX подалгебра, изоморфная алгебре Ли SO (3), группа вращений.

В Типы Бьянки относятся к классификации трехмерных алгебр Ли итальянским математиком Луиджи Бьянки Все четырехмерные подалгебры сопряжены

• ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}}$ порождают подалгебру, изоморфную алгебре Ли Sim (2), группу евклидовых подобия.

Подалгебры образуют решетку (см. Рисунок), и каждая подалгебра порождает возведением в степень a закрытая подгруппа ограниченной группы Ли. Из них все подгруппы группы Лоренца могут быть построены с точностью до сопряжения путем умножения на один из элементов четырехгруппы Клейна.

Решетка подалгебр алгебры Ли SO (1,3) с точностью до сопряжения.

Как и в случае любой связной группы Ли, смежные классы замкнутых подгрупп ограниченной группы Лоренца или однородные пространства, имеют значительный математический интерес. Несколько кратких описаний:

• Группа Sim (2) является стабилизатором нулевая строка, т.е. точки на сфере Римана, поэтому однородное пространство SO⁺(1,3) / Sim (2) - это Клейнианская геометрия что представляет конформная геометрия на сфере S².
• (Компонента единицы) евклидовой группы SE (2) является стабилизатором нулевой вектор, поэтому однородное пространство SO⁺(1,3) / SE (2) - это импульсное пространство безмассовой частицы; геометрически эта клейнианская геометрия представляет собой выродиться геометрия светового конуса в пространстве-времени Минковского.
• Группа вращений SO (3) является стабилизатором времяподобный вектор, поэтому однородное пространство SO⁺(1,3) / SO (3) - это импульсное пространство массивной частицы; геометрически это пространство есть не что иное, как трехмерное гиперболическое пространство ЧАС³.

Обобщение на более высокие измерения

Основная статья: Неопределенная ортогональная группа

Концепция группы Лоренца имеет естественное обобщение на пространство-время любого числа измерений. Математически группа Лоренца п+ 1-мерное пространство Минковского - это неопределенная ортогональная группа O (п, 1) линейных преобразований р^п+1 что сохраняет квадратичную форму

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\mapsto x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}-x_{n+1}^{2}.}$

Группа O (1, п) сохраняет квадратичную форму

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1})\mapsto x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n+1}^{2}}$

Он изоморфен O (п, 1), но пользуется большей популярностью в математической физике, прежде всего потому, что алгебра Уравнение Дирака, и вообще спиноры и алгебры Клиффорда «более естественны» с этой сигнатурой.

Многие свойства группы Лоренца в четырех измерениях (где п = 3) прямо обобщаются на произвольные п. Например, группа Лоренца O (п, 1) имеет четыре компоненты связности и действует конформными преобразованиями на небесное тело (п−1) -сфера в п+ 1-мерное пространство Минковского. Компонент идентичности SO⁺(п, 1) является СО (п) -расслоение над гиперболическим п-пространство H^п.

Низкоразмерные случаи п = 1 и п = 2 часто используются в качестве «игрушечных моделей» для физического корпуса. п = 3, в то время как многомерные группы Лоренца используются в физических теориях, таких как теория струн которые постулируют существование скрытых измерений. Группа Лоренца O (п, 1) также является группой изометрий п-размерный пространство де Ситтера dS_п, которое может быть реализовано как однородное пространство O (п, 1) / O (п−1,1). В частности, O (4,1) - группа изометрий Вселенная де Ситтера dS₄, космологическая модель.

Смотрите также

Преобразование Лоренца Теория представлений группы Лоренца Группа Пуанкаре Группа Мебиуса Пространство Минковского Бикватернионы

Неопределенная ортогональная группа Кватернионы и пространственное вращение Релятивистский центр масс Специальная теория относительности Симметрия в квантовой механике

Примечания

1. См. Статью Уравнение Вейля для явных выводов.

Рекомендации

1. Вайнберг 2002
2. Варичак В. 1910 «Теория относительности и геометрия Лобачевского», Phys Z 1910 § 3 «Преобразование Лоренца-Эйнштейна как перевод». Engl.tr в Википедии
3. Гельфанд, Минлос и Шапиро, 1963 г.
4. Вигнер 1939
5. Зал 2015 Определение 3.18.
6. Зал 2015 Предложение 3.25.

Список для чтения

• Артин, Эмиль (1957). Геометрическая алгебра. Нью-Йорк: Вили. ISBN  978-0-471-60839-4. См. Главу III для ортогональных групп O (p, q).
• Кармели, Моше (1977). Теория групп и общая теория относительности, представления группы Лоренца и их приложения к гравитационному полю. Макгроу-Хилл, Нью-Йорк. ISBN  978-0-07-009986-9. Каноническая ссылка; см. главы 1–6 для представлений группы Лоренца.
• Франкель, Теодор (2004). Геометрия физики (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-53927-2. Отличный ресурс по теории Ли, расслоениям, спинориальным покрытиям и многим другим темам.
• Фултон, Уильям; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс. Тексты для выпускников по математике, Чтения по математике. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN  978-0-387-97495-8. МИСТЕР  1153249. OCLC  246650103. См. Лекцию 11. для неприводимых представлений SL (2,C).
• Гельфанд, И.; Минлос, Р.А.; Шапиро, З.Я. (1963), Представления групп вращения и Лоренца и их приложения., Нью-Йорк: Pergamon Press
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение, Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3319134666.
• Холл, Г. С. (2004). Симметрии и структура кривизны в общей теории относительности. Сингапур: World Scientific. ISBN  978-981-02-1051-9. См. Главу 6 для подалгебр алгебры Ли группы Лоренца.
• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-79540-1. Смотрите также в «онлайн-версия». Получено 3 июля, 2005. См. Раздел 1.3. за красиво иллюстрированное обсуждение покрытий. См. Раздел 3D. для топологии групп вращения.
• Миснер, Чарльз; Торн, Кип С.; Уиллер, Джон (1973). Гравитация. В. Х. Фриман и компания. ISBN  978-0-7167-0344-0. §41.3
• Набер, Грегори (1992). Геометрия пространства-времени Минковского. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0486432359. (Отпечатанное издание Dover.) Отличный справочник по пространству-времени Минковского и группе Лоренца.
• Нидхэм, Тристан (1997). Визуальный комплексный анализ. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-853446-4. См. Главу 3 за великолепно иллюстрированное обсуждение преобразований Мёбиуса.
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей, 1, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-55001-7
• Вигнер, Э. (1939), «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца», Анналы математики, 40 (1): 149–204, Bibcode:1939AnMat..40..149W, Дои:10.2307/1968551, JSTOR  1968551, МИСТЕР  1503456.