Модель полуплоскости Пуанкаре - Poincaré half-plane model

Параллельные лучи в модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической геометрии

В неевклидова геометрия, то Модель полуплоскости Пуанкаре это верхняя полуплоскость, обозначаемый ниже как ЧАС ${\displaystyle \{(x,y)|y>0;x,y\in \mathbb {R} \}}$ вместе с метрика, то Метрика Пуанкаре, что делает его модель двумерных гиперболическая геометрия.

Аналогичным образом модель полуплоскости Пуанкаре иногда описывается как комплексная плоскость где мнимая часть (в у указанная выше координата) положительна.

Модель полуплоскости Пуанкаре названа в честь Анри Пуанкаре, но он возник с Эухенио Бельтрами, кто его использовал вместе с Модель Кляйна и Модель диска Пуанкаре (из-за Бернхард Риманн ), чтобы показать, что гиперболическая геометрия равноправный с Евклидова геометрия.

Эта модель конформный это означает, что углы, измеренные в точке, в модели такие же, как и в реальной гиперболической плоскости.

В Преобразование Кэли обеспечивает изометрия между моделью полуплоскости и моделью диска Пуанкаре.

Эту модель можно обобщить для моделирования ${\displaystyle n+1}$ размерный гиперболическое пространство заменив действительное число Икс вектором в п мерное евклидово векторное пространство.

Метрическая

В метрика модели на полуплоскости, ${\displaystyle \{\langle x,y\rangle |y>0\},}$ является:

${\displaystyle (ds)^{2}={\frac {(dx)^{2}+(dy)^{2}}{y^{2}}}}$

куда s измеряет длину по (возможно, изогнутой) линии. прямые линии в гиперболической плоскости (геодезические для этого метрического тензора, т. е. кривые, минимизирующие расстояние) представлены в этой модели дугами окружностей перпендикуляр к Икс-оси (полукруги с началом Икс-ось) и прямые вертикальные лучи, перпендикулярные оси Икс-ось.

Расчет расстояния

В целом расстояние между двумя точками, измеренными в этой метрике вдоль такой геодезической, составляет:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2}\rangle )&=\operatorname {arcosh} \left(1+{\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}}{2y_{1}y_{2}}}\right)\\&=2\operatorname {arsinh} {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}}{y_{1}y_{2}}}}\\&=2\ln {\frac {{\sqrt {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}}}+{\sqrt {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}+y_{1})}^{2}}}}{2{\sqrt {y_{1}y_{2}}}}},\end{aligned}}}$

куда аркош и арсин находятся обратные гиперболические функции

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} {x}&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right),\\\operatorname {arcosh} {x}&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geq 1.\end{aligned}}}$

Некоторые частные случаи можно упростить:

${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x,y_{1}\rangle ,\langle x,y_{2}\rangle )=\left|\ln {\frac {y_{2}}{y_{1}}}\right|=|\ln(y_{2})-\ln(y_{1})|}$.^[1]

${\displaystyle \operatorname {dist} \left(\langle x_{1},y\rangle ,\langle x_{2},y\rangle \right)=\operatorname {arcosh} \left(1+{\frac {(x_{2}-x_{1})^{2}}{2y^{2}}}\right)=2\operatorname {arsinh} \left({\frac {|x_{2}-x_{1}|}{2y}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x,r\rangle ,\langle x\pm r\sin \phi ,r\cos \phi \rangle )=\operatorname {arsinh} \left(\tan \phi \right)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\cos \phi }}\right)=\ln \left({\frac {1+\sin \phi }{\cos \phi }}\right)}$

Другой способ рассчитать расстояние между двумя точками, которые находятся на (евклидовом) полукруге:

${\displaystyle \operatorname {dist} (AB)=\left|\ln \left({\frac {|BA_{\infty }||AB_{\infty }|}{|AA_{\infty }||BB_{\infty }|}}\right)\right|.}$

куда ${\displaystyle A_{\infty },B_{\infty }}$ - точки пересечения полукругов с линией границы и ${\displaystyle |PQ|}$- евклидова длина отрезка, соединяющего точки п и Q в модели.

Особые точки и кривые

• Идеальные точки (точки на бесконечности) в модели полуплоскости Пуанкаре бывают двух видов:

• точки на Икс-ось и
• одна воображаемая точка в ${\displaystyle y=\infty }$ какой идеальная точка к которому все строки ортогональный к Икс-оси сходятся.

• Прямые линии, геодезические (кратчайший путь между содержащимися в нем точками) моделируются одним из следующих способов:

• полукруги, начало которых лежит на оси абсцисс
• прямые вертикальные лучи, ортогональные оси x

• А круг (кривые, равноудаленные от центральной точки) с центром ${\displaystyle (x,y)}$ и радиус ${\displaystyle r}$ моделируется:

круг с центром ${\displaystyle (x,y\cosh(r))}$ и радиус ${\displaystyle y\sinh(r)}$

• А гиперцикл (кривая, равноудаленная от прямой линии, ее оси) моделируется либо:

• дуга окружности, пересекающая Икс-оси на тех же двух идеальные точки как полукруг, который моделирует свою ось, но в остром или тупом угол
• прямая линия, пересекающая Икс- ось в той же точке, что и вертикальная линия, моделирующая ее ось, но под острым или тупым углом угол.

• А орицикл (кривая, у которой все нормали сходятся асимптотически в одном направлении, ее центре) моделируется либо:

• окружность, касательная к Икс-ось (но исключая идеальная точка перекрестка, который является его центром)
• линия, параллельная Икс-оси, в этом случае центром является идеальная точка в ${\displaystyle y=\infty }$.

Евклидов синопсис

Евклидов круг с центром ${\displaystyle (x_{e},y_{e})}$ и радиус ${\displaystyle r_{e}}$ представляет:

• когда круг полностью внутри полуплоскости - гиперболический круг с центром

${\displaystyle \left(x_{e},{\sqrt {y_{e}^{2}-r_{e}^{2}}}\right)}$

и радиус

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {y_{e}+r_{e}}{y_{e}-r_{e}}}\right).}$

• когда круг полностью внутри полуплоскости и касается границы орицикла с центром вокруг идеальной точки ${\displaystyle (x_{e},0)}$
• когда круг пересекает границу ортогональный ${\displaystyle (y_{e}=0)}$ гиперболическая линия
• когда окружность пересекает неортогональную границу гиперцикла.

Конструкции компаса и линейки

Смотрите также: Конструкции компаса и линейки

Вот как можно использовать конструкции компаса и линейки в модели для достижения эффекта основных конструкций в гиперболическая плоскость.^[2]Например, как построить полукруг в евклидовой полуплоскости, который моделирует линию на гиперболической плоскости через две заданные точки.

Создание линии через две существующие точки

Проведите отрезок линии между двумя точками. Постройте серединный перпендикуляр к отрезку прямой. Найдите его пересечение с Икс-ось. Нарисуйте круг вокруг пересечения, которое проходит через заданные точки. Сотрите часть, которая находится на или под Икс-ось.

Или в особом случае, когда две заданные точки лежат на вертикальной линии, проведите эту вертикальную линию через две точки и сотрите часть, которая находится на или ниже Икс-ось.

Создание круга через одну точку с центром в другой точке

• Если две точки не находятся на вертикальной линии:

Нарисуйте радиальный линия (полукруг) между двумя заданными точками, как в предыдущем случае. Постройте касательную к этой линии в нецентральной точке. Опустите перпендикуляр из данной центральной точки к Икс-ось. Найдите пересечение этих двух линий, чтобы получить центр модельного круга. Нарисуйте модельный круг вокруг этого нового центра и проходящий через данную нецентральную точку.

• Если две заданные точки лежат на вертикальной линии и данный центр находится над другой заданной точкой:

Нарисуйте круг вокруг пересечения вертикальной линии и Икс- ось, проходящая через данную центральную точку. Проведите горизонтальную линию через нецентральную точку. Постройте касательную к окружности в месте ее пересечения с этой горизонтальной линией.

Середина между пересечением касательной с вертикальной линией и данной нецентральной точкой является центром модельной окружности. Нарисуйте модельную окружность вокруг этого нового центра и проходя через данную нецентральную точку.

• Если две заданные точки лежат на вертикальной линии и данный центр находится ниже другой заданной точки:

Нарисуйте круг вокруг пересечения вертикальной линии и Икс- ось, проходящая через данную центральную точку. Проведите касательную линию к окружности, проходящей через данную нецентральную точку. Проведите горизонтальную линию через эту точку касания и найдите ее пересечение с вертикальной линией.

Середина между этим пересечением и данной нецентральной точкой является центром модельного круга. Нарисуйте модельный круг вокруг этого нового центра и проходя через данную нецентральную точку.

Для данной окружности найдите ее (гиперболический) центр.

Отбросьте перпендикуляр п от евклидова центра круга к Икс-ось.

Пусть точка q быть пересечением этой линии и Икс- ось.

Нарисуйте касательную линию к проходящей через круг q.

Нарисуйте полукруг час с центром q проходя через точку пересечения касательной и окружности.

(Гиперболический) центр - это точка, в которой час и п пересекаются.^[3]

Прочие конструкции

• Создание точки, являющейся пересечением двух существующих линий, если они пересекаются:

Найдите пересечение двух заданных полукругов (или вертикальных линий).

• Создание одной или двух точек на пересечении прямой и окружности (если они пересекаются):

Найдите точку пересечения данного полукруга (или вертикали) с данной окружностью.

• Создание одной или двух точек на пересечении двух кругов (если они пересекаются):

Найдите пересечение двух заданных кругов.

Группы симметрии

Звездчатый обычный семиугольная черепица модели

В проективная линейная группа PGL (2,C) действует на сфере Римана Преобразования Мебиуса. Подгруппа, отображающая верхнюю полуплоскость, ЧАС, на себя есть PSL (2,р) преобразования с действительными коэффициентами, которые действуют переходно и изометрически в верхней полуплоскости, что делает его однородное пространство.

Есть четыре тесно связанных Группы Ли действующие на верхнюю полуплоскость дробно-линейными преобразованиями и сохраняющие гиперболическое расстояние.

• В специальная линейная группа SL (2,р) который состоит из набора матриц 2 × 2 с вещественными элементами, определитель которых равен +1. Обратите внимание, что во многих текстах (включая Википедию) часто упоминается SL (2,р), когда они действительно означают PSL (2,р).
• Группа S * L (2,р), состоящий из набора матриц 2 × 2 с вещественными элементами, определитель которых равен +1 или −1. Отметим, что SL (2,р) является подгруппой этой группы.
• В проективная специальная линейная группа PSL (2,р) = SL (2,р)/{±я}, состоящий из матриц из SL (2,р) по модулю плюс или минус единичная матрица.
• Группа PS^*L (2,р) = S^*L (2,р)/{±я} = PGL (2,р) снова является проективной группой, и снова по модулю плюс или минус единичная матрица. PSL (2,р) содержится как нормальная подгруппа индекса два, другой смежный класс - это набор матриц 2 × 2 с действительными элементами, определитель которых равен -1 по модулю плюс или минус тождество.

Связь этих групп с моделью Пуанкаре следующая:

• Группа всех изометрии из ЧАС, иногда обозначается как Isom (ЧАС), изоморфна PS^*L (2,р). Это включает в себя как изометрии с сохранением ориентации, так и изометрии с изменением ориентации. Карта изменения ориентации (зеркальная карта) ${\displaystyle z\rightarrow -{\overline {z}}}$.
• Группа изометрий, сохраняющих ориентацию ЧАС, иногда обозначается как Isom⁺(ЧАС), изоморфна PSL (2,р).

Важными подгруппами группы изометрии являются Фуксовы группы.

Также часто можно увидеть модульная группа SL (2,Z). Эта группа важна по двум причинам. Во-первых, это группа симметрии квадрата 2x2 решетка очков. Таким образом, функции, периодические на квадратной сетке, такие как модульные формы и эллиптические функции, таким образом унаследует SL (2,Z) симметрия от сетки. Во-вторых, SL (2,Z), конечно, является подгруппой SL (2,р), и, следовательно, имеет гиперболическое поведение. В частности, SL (2,Z) можно использовать для разбиения гиперболической плоскости на ячейки равной (Пуанкаре) площади.

Изометрическая симметрия

В групповое действие из проективная специальная линейная группа ${\displaystyle {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$ на ${\displaystyle \mathbb {H} }$ определяется

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {(ac|z|^{2}+bd+(ad+bc)\Re (z))+i(ad-bc)\Im (z)}{|cz+d|^{2}}}.}$

Обратите внимание, что действие переходный: для любого ${\displaystyle z_{1},z_{2}\in \mathbb {H} }$, существует ${\displaystyle g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$ такой, что ${\displaystyle gz_{1}=z_{2}}$. Он также верен, если ${\displaystyle gz=z}$ для всех ${\displaystyle z\in \mathbb {H} ,}$ тогда грамм = е.

В стабилизатор или же подгруппа изотропии элемента ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ это набор ${\displaystyle g\in {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$ которые оставляют z без изменений: gz = z. Стабилизатор я это группа ротации

${\displaystyle {\rm {SO}}(2)=\left.\left\{{\begin{pmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}\right|\theta \in \mathbb {R} \right\}.}$

Поскольку любой элемент ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ отображается на я каким-то элементом ${\displaystyle {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$, это означает, что подгруппа изотропии любой z является изоморфный в SO (2). Таким образом, ${\displaystyle \mathbb {H} ={\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )/{\rm {SO}}(2)}$. В качестве альтернативы пучок касательных векторов единичной длины на верхней полуплоскости, называемых единичный касательный пучок, изоморфна ${\displaystyle {\rm {PSL}}(2,\mathbb {R} )}$.

Верхняя полуплоскость разбита на мозаику. бесплатные регулярные наборы посредством модульная группа ${\displaystyle {\rm {SL}}(2,\mathbb {Z} ).}$

Геодезические

Основная статья: Аносов поток

Геодезические для этого метрического тензора представляют собой дуги окружности, перпендикулярные действительной оси (полукруги, начало которых находится на действительной оси), и прямые вертикальные линии, заканчивающиеся на действительной оси.

Геодезическая с единичной скоростью идет вертикально вверх через точку я дан кем-то

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\cdot i=ie^{t}.}$

Поскольку PSL (2,р) действует транзитивно изометриями верхней полуплоскости, эта геодезическая отображается в другие геодезические посредством действия PSL (2,р). Таким образом, общая геодезическая с единичной скоростью задается формулой

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\0&e^{-t/2}\\\end{pmatrix}}\cdot i={\frac {aie^{t}+b}{cie^{t}+d}}.}$

Это дает базовое описание геодезический поток на касательном расслоении единичной длины (комплекс линейный пакет ) в верхней полуплоскости. Исходя из этой модели, можно получить поток на произвольной Римановы поверхности, как описано в статье о Аносов поток.

Модель в трех измерениях

В метрика модели на полупространстве

${\displaystyle \{\langle x,y,z\rangle |z>0\}\,}$

дан кем-то

${\displaystyle (ds)^{2}={\frac {(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}}{z^{2}}}\,}$

куда s измеряет длину по возможно изогнутой линии. прямые линии в гиперболическом пространстве (геодезические для этого метрического тензора, т.е. кривые, которые минимизируют расстояние) представлены в этой модели дугами окружностей, нормальными к г = 0-плоскость (полукруги с началом г = 0-плоскость) и прямые вертикальные лучи, перпендикулярные плоскости г = 0-самолет.

В расстояние между двумя точками, измеренными в этой метрике вдоль такой геодезической, составляет:

${\displaystyle \operatorname {dist} (\langle x_{1},y_{1},z_{1}\rangle ,\langle x_{2},y_{2},z_{2}\rangle )=\operatorname {arcosh} \left(1+{\frac {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}+{(z_{2}-z_{1})}^{2}}{2z_{1}z_{2}}}\right)=2\operatorname {arsinh} \left({\frac {\sqrt {{(x_{2}-x_{1})}^{2}+{(y_{2}-y_{1})}^{2}+{(z_{2}-z_{1})}^{2}}}{2{\sqrt {z_{1}z_{2}}}}}\right)\,.}$

Модель в п размеры

Эту модель можно обобщить для моделирования ${\displaystyle n+1}$ размерный гиперболическое пространство заменив действительное число Икс вектором в п мерное евклидово векторное пространство.

Смотрите также

• Угол параллельности
• Аносов поток
• Фуксова группа
• Фуксова модель
• Гиперболическое движение
• Кляйнианская модель
• Модели гиперболической плоскости
• Псевдосфера
• Теорема Шварца – Альфорса – Пика.
• Ультрапараллельная теорема

Рекомендации

Примечания

1. «Формула расстояния для точек в модели полуплоскости Пуанкаре на» вертикальной геодезической"". математика stackexchange. 6 августа 2015 г.. Получено 19 сентября 2015.
2. Бочака, Юдит Абардия. «Инструменты для работы с моделью полуплоскости». Инструменты для работы в режиме Half-Plane. Получено 25 июн 2015.
3. Вкус геометрии, Публикации ИИГС, Том 31, 1997, Гиперболическая геометрия, Дж. У. Кэннон, У. Дж. Флойд, Р. Кеньон и У. Р. Парри, стр. 87, рис. 19. Построение гиперболического центра окружности

Источники

• Эухенио Бельтрами, Teoria fondamentale degli spazi di curvatura constante, Annali di Matematica Pura ed Applicata, ser II 2 (1868), 232–255
• Анри Пуанкаре (1882) "Теория фуксийских групп", Acta Mathematica т.1, с. 1. Первая статья из легендарной серии, в которой используется модель полуплоскости. An архивная копия находится в свободном доступе. На странице 52 можно увидеть пример столь характерной для модели полукруглой диаграммы.
• Хершель М. Фаркаш и Ирвин Кра, Римановы поверхности (1980), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN  0-387-90465-4.
• Юрген Йост, Компактные римановы поверхности (2002), Springer-Verlag, Нью-Йорк. ISBN  3-540-43299-Х (См. Раздел 2.3).
• Саул Шталь, Полуплоскость Пуанкаре, Джонс и Бартлетт, 1993 г., ISBN  0-86720-298-X.
• Джон Стиллвелл (1998) Числа и геометрия, pp. 100–104, Springer-Verlag, NY ISBN  0-387-98289-2. Элементарное введение в модель полуплоскости Пуанкаре гиперболической плоскости.