Фуксова группа - Fuchsian group

В математика, а Фуксова группа это дискретная подгруппа из PSL (2,р). Группа PSL (2,р) можно эквивалентно рассматривать как группа из изометрии из гиперболическая плоскость, или же конформные преобразования единичного диска или конформные преобразования верхняя полуплоскость, поэтому фуксову группу можно рассматривать как группу, действующую в любом из этих пространств. Есть несколько вариантов определения: иногда предполагается, что фуксова группа конечно порожденный, иногда допускается быть подгруппой PGL (2,р) (чтобы он содержал элементы, меняющие ориентацию), а иногда разрешается быть Клейнианская группа (дискретная подгруппа PSL (2,C) ), которая сопряжена подгруппе PSL (2,р).

Фуксовы группы используются для создания Фуксовы модели из Римановы поверхности. В этом случае группу можно назвать Фуксова группа поверхности. В некотором смысле фуксовы группы подходят для неевклидова геометрия какая кристаллографические группы делать для Евклидова геометрия. Немного Эшер графика основана на них (для модель диска гиперболической геометрии).

Общие фуксовы группы впервые были изучены Анри Пуанкаре (1882 ), который был мотивирован статьей (Fuchs 1880 г. ), и поэтому назвали их в честь Лазарь Фукс.

Фуксовы группы в верхней полуплоскости

Позволять ЧАС = {z в C : Я(z)> 0} быть верхняя полуплоскость. потом ЧАС это модель гиперболическая плоскость когда наделен метрикой

{ displaystyle ds = { frac {1} {y}} { sqrt {dx ^ {2} + dy ^ {2}}}.}

Группа PSL (2,р) действует на ЧАС к дробно-линейные преобразования (также известен как Преобразования Мебиуса ):

{ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} cdot z = { frac {az + b} {cz + d}}.}

Это действие является точным, и на самом деле PSL (2,р) изоморфна группе всех сохраняющий ориентацию изометрии из ЧАС.

Фуксова группа Γ может быть определена как подгруппа в PSL (2,р), который действует прерывисто на ЧАС. Это,

Для каждого z в ЧАС, то орбита Γz = {γz : γ в Γ} не имеет точка накопления в ЧАС.

Эквивалентное определение фуксовости Γ состоит в том, что Γ является дискретная группа, что обозначает:

Каждая последовательность {γ_п} элементов из Γ, сходящихся к единице в обычной топологии точечной сходимости, в конечном итоге постоянна, т.е. существует целое число N такое, что для всех п > N, γ_п = I, где I - единичная матрица.

Хотя в этом случае разрывность и дискретность эквивалентны, в общем случае это неверно для случая произвольной группы конформных гомеоморфизмов, действующих на полной сфере Римана (в отличие от ЧАС). Действительно, фуксова группа PSL (2,Z) дискретна, но имеет точки накопления на прямой Imz = 0: элементы PSL (2,Z) будет нести z = 0 для каждого рационального числа, а рациональные числа Q находятся плотный в р.

Общее определение

Дробно-линейное преобразование, заданное матрицей из PSL (2,C) сохранит Сфера Римана п¹(C) = C ∪ ∞, но отправит верхнюю полуплоскость ЧАС на некоторый открытый диск Δ. Сопряжение с помощью такого преобразования отправит дискретную подгруппу PSL (2,р) в дискретную подгруппу PSL (2,C) с сохранением Δ.

Это мотивирует следующее определение понятия Фуксова группа. Пусть Γ ⊂ PSL (2,C) действуют инвариантно на собственном, открыто диск Δ ⊂ C ∪ ∞, то есть Γ (Δ) = Δ. Тогда Γ является Фуксовский тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих трех эквивалентных свойств:

Γ является дискретная группа (относительно стандартной топологии на PSL (2,C)).
Γ действует правильно прерывисто в каждой точке z ∈ Δ.
Множество Δ является подмножеством область разрыва Ω (Γ) группы Γ.

То есть любая из этих трех может служить определением фуксовой группы, остальные - теоремами. Понятие инвариантного собственного подмножества Δ важно; так называемое Группа Пикард PSL (2,Z[я]) дискретно, но не сохраняет ни одного диска в сфере Римана. Действительно, даже модульная группа PSL (2,Z), который является фуксова группа, не действует прерывисто на действительной числовой прямой; у него есть точки накопления в рациональное число. Точно так же важна идея, что Δ является правильным подмножеством области разрыва; если это не так, подгруппа называется Клейнианская группа.

Чаще всего в качестве инвариантной области Δ берется либо открытый единичный диск или верхняя полуплоскость.

Предельные наборы

Из-за дискретного воздействия орбита Γz точки z в верхней полуплоскости под действием Γ не имеет очки накопления в верхней полуплоскости. Однако на реальной оси могут быть предельные точки. Пусть Λ (Γ) - установленный предел множества Γ, то есть множества предельных точек Γz за z ∈ ЧАС. Тогда Λ (Γ) ⊆ р ∪ ∞. Набор пределов может быть пустым, содержать одну или две точки или бесконечное число. В последнем случае бывает двух типов:

А Фуксова группа первого типа - группа, для которой предельным набором является замкнутая реальная линия р ∪ ∞. Это происходит, если факторное пространство ЧАС/ Γ имеет конечный объем, но существуют фуксовы группы первого рода бесконечного коволюма.

В противном случае Фуксова группа считается одним из второй тип. Эквивалентно, это группа, для которой установлен предел идеальный набор то есть нигде не плотный на р ∪ ∞. Поскольку он нигде не плотный, это означает, что любая предельная точка сколь угодно близка к открытому множеству, которое не входит в предельное множество. Другими словами, набор пределов - это Кантор набор.

Тип фуксовой группы не обязательно должен совпадать с ее типом, если рассматривать ее как клейнову группу: на самом деле все фуксовы группы являются клейновыми группами типа 2, поскольку их предельные множества (как клейновы группы) являются собственными подмножествами римановой сферы. , содержащиеся в некотором круге.

Примеры

Примером фуксовой группы является модульная группа, PSL (2,Z). Это подгруппа PSL (2,р) состоящий из дробно-линейных преобразований

{ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}} cdot z = { frac {az + b} {cz + d}}}

где а, б, c, d целые числа. Факторное пространство ЧАС/ PSL (2,Z) это пространство модулей из эллиптические кривые.

Другие фуксовы группы включают группы Γ (п) для каждого целого числа п > 0. Здесь Γ (п) состоит из дробно-линейные преобразования приведенной выше формы, где элементы матрицы

{ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}

сравнимы с матрицами единичной матрицы по модулю п.

Совместным компактным примером является (обычная, вращательная) (2,3,7) треугольная группа, содержащую фуксовы группы Кляйн квартика и из Поверхность Macbeath, а также другие Группы Гурвица. В общем, любой гиперболический группа фон Дейка (подгруппа индекса 2 группы группа треугольников, соответствующая изометриям, сохраняющим ориентацию) является фуксовой группой.

Все это Фуксовы группы первого рода.

Все гиперболический и параболический циклические подгруппы в PSL (2,р) являются фуксовыми.
Любой эллиптический циклическая подгруппа фуксова тогда и только тогда, когда она конечна.
Каждые абелевский Фуксова группа циклическая.
Никакая фуксова группа не изоморфна Z × Z.
Пусть Γ - неабелева фуксова группа. Тогда нормализатор группы Γ в PSL (2,р) фуксово.

Метрические свойства

Если час является гиперболическим элементом, длина перевода L его действия в верхней полуплоскости связано со следом час как матрицу 2 × 2 соотношением

{ displaystyle | mathrm {tr} ; h | = 2 cosh { frac {L} {2}}.}

Аналогичное соотношение имеет место для систола соответствующей римановой поверхности, если фуксова группа без кручения и кокомпактна.

Фуксова группа - Fuchsian group

Содержание

Фуксовы группы в верхней полуплоскости

Общее определение

Предельные наборы

Примеры

Метрические свойства

Смотрите также

Рекомендации