Кляйн квартика - Klein quartic

Квартика Клейна является частным от Треугольная мозаика порядка 7.

Двойственно квартика Клейна является частным двойственного замощения, семиугольная черепица порядка 3.

В гиперболическая геометрия, то Кляйн квартика, названный в честь Феликс Кляйн, это компактный Риманова поверхность из род $3$ с максимально возможным заказом группа автоморфизмов для этого рода, а именно порядок $168$ автоморфизмы, сохраняющие ориентацию, и $336$ автоморфизмы, если ориентация может быть обратной. Таким образом, квартика Клейна является Поверхность Гурвица низшего возможного рода; увидеть Теорема об автоморфизмах Гурвица. Его группа автоморфизмов (сохраняющих ориентацию) изоморфна $PSL (2, 7)$ , вторая по величине неабелева простая группа. Впервые квартика была описана в (Klein 1878b ).

Квартика Клейна встречается во многих разделах математики, в том числе в контексте теория представлений, теория гомологии, умножение октониона^{[нужна цитата ]}, Последняя теорема Ферма, а Теорема Штарка-Хегнера на мнимые квадратные числовые поля из номер класса один; увидеть (Леви 1999 ) для обзора свойств.

Первоначально «квартика Клейна» относилась конкретно к подмножеству комплексная проективная плоскость $п 2 (C)$ определяется алгебраическое уравнение. В этом есть особая Риманова метрика (что делает его минимальной поверхностью в $п 2 (C)$ ), при котором его Гауссова кривизна не является постоянным. Но чаще (как в этой статье) теперь под ней понимается любая риманова поверхность, конформно эквивалентная этой алгебраической кривой, и особенно та, которая является частным от гиперболическая плоскость $ЧАС 2$ определенным компактный группа $г$ что действует свободно на $ЧАС 2$ по изометрии. Это дает квартике Клейна риманову метрику постоянной кривизны $-1$ что он наследует от $ЧАС 2$ . Этот набор конформно эквивалентных римановых поверхностей в точности совпадает со всеми компактными римановыми поверхностями рода 3, группа конформных автоморфизмов которых изоморфна единственной простой группе порядка 168. Эта группа также известна как $PSL (2, 7)$ , а также как изоморфная группа $PSL (3, 2)$ . От покрывающее пространство теория, группа $г$ упомянутое выше изоморфно фундаментальная группа компактной поверхности рода $3$ .

Закрытые и открытые формы

Важно различать две разные формы квартики. В закрыто квартика - это то, что обычно подразумевается в геометрии; топологически он имеет род 3 и является компактное пространство. В открыто или «проколотая» квартика представляет интерес для теории чисел; топологически это поверхность рода 3 с 24 точками, и геометрически эти точки куспиды. Открытая квартика может быть получена (топологически) из замкнутой квартики путем прокалывания в 24 центрах мозаики правильными семиугольниками, как обсуждается ниже. Открытая и закрытая квартики имеют разные метрики, хотя и гиперболические, и полные.^[1] - геометрически куспиды - это «бесконечно удаленные точки», а не дыры, поэтому открытая квартика все еще полная.

Как алгебраическая кривая

Квартику Клейна можно рассматривать как проективный алгебраическая кривая над сложные числа $C$ , определяемый следующим уравнением четвертой степени в однородные координаты $[Икс : у : z]$ на $п 2 (C)$ :

{ displaystyle x ^ {3} y + y ^ {3} z + z ^ {3} x = 0.}

Геометрическое место этого уравнения в $п 2 (C)$ - исходная риманова поверхность, описанная Клейном.

Построение кватернионной алгебры

Компактная квартика Клейна может быть построена как фактор гиперболическая плоскость действием подходящего Фуксова группа $Γ (я)$ что является основным подгруппа конгруэнции связанный с идеалом ${ Displaystyle I = langle eta -2 rangle}$ в кольце целых алгебраических чисел $Z (η)$ поля $Q (η)$ где $η = 2 cos (2 π /7)$ . Обратите внимание на личность

{ displaystyle (2- eta) ^ {3} = 7 ( eta -1) ^ {2},}

экспонирование $2 - η$ как простой делитель 7 в кольце целых алгебраических чисел.

Группа $Γ (я)$ является подгруппой (2,3,7) гиперболический группа треугольников. А именно, $Γ (я)$ является подгруппой группы элементов единичной нормы в алгебре кватернионов, порожденной как ассоциативная алгебра образующими $я, j$ и отношения

{ displaystyle i ^ {2} = j ^ {2} = eta, qquad ij = -ji.}

Один выбирает подходящий Кватернионный порядок Гурвица ${ displaystyle { mathcal {Q}} _ { mathrm {Hur}}}$ в алгебре кватернионов, $Γ (я)$ - тогда группа элементов нормы 1 в ${ displaystyle 1 + I { mathcal {Q}} _ { mathrm {Hur}}}$ . Наименьшее абсолютное значение следа гиперболического элемента в $Γ (я)$ является ${ displaystyle eta ^ {2} +3 eta +2}$ , что соответствует значению 3.936 для систола квартики Клейна, одной из высших в этом роде.

Плитка

Замощение квартики областями отражения является частным от 3-7 кисромбиль.

Квартика Клейна допускает мозаики, связанные с группой симметрии (a "обычная карта "^[2]), и они используются для понимания группы симметрии, начиная с оригинальной статьи Кляйна. Учитывая фундаментальная область для действия группы (для полной группы симметрии, обращающей ориентацию, треугольника (2, 3, 7)) области отражения (образы этой области под группой) дают такое замощение квартики, что группа автоморфизмов мозаика равна группе автоморфизмов поверхности - отражения в линиях мозаики соответствуют отражениям в группе (отражения в линиях данного фундаментального треугольника дают набор из трех порождающих отражений). Этот тайлинг является частным от семиугольная черепица порядка 3 из гиперболическая плоскость (в универсальный чехол квартики), и все поверхности Гурвица мозаичны так же, как и частные.

Эта мозаика однородна, но не правильна (по разносторонние треугольники ), и вместо них часто используются обычные мозаики. Частное любой мозаики в (2,3,7) семья могут быть использованы (и будут иметь ту же группу автоморфизмов); из них два регулярных тайлинга являются замощением 24 регулярными гиперболическими семиугольники, каждая из степеней 3 (встречающихся в 56 вершинах), а двойственная мозаика - на 56 равносторонние треугольники, каждая степени 7 (встречающиеся в 24 вершинах). Порядок группы автоморфизмов связан, это количество полигонов, умноженное на количество ребер в многоугольнике в обоих случаях.

24 × 7 = 168

56 × 3 = 168

Накрывающие мозаики на гиперболической плоскости - это семиугольная черепица порядка 3 и Треугольная мозаика порядка 7.

Группа автоморфизмов может быть дополнена (симметрией, которая не реализуется симметрией мозаики), чтобы получить Группа Матье M₂₄.^[3]

Соответствующий каждому черепица квартики (разбиение многообразия квартики на подмножества) является абстрактный многогранник, который абстрагируется от геометрии и отражает только комбинаторику мозаики (это общий способ получения абстрактный многогранник из мозаики) - вершины, ребра и грани многогранника равны как множества вершинам, ребрам и граням мозаики с одинаковыми отношениями инцидентности, а группа (комбинаторных) автоморфизмов абстрактного многогранника равна Группа (геометрических) автоморфизмов квартики. Таким образом, геометрия сводится к комбинаторике.

Аффинная квартика

Вышеупомянутая мозаика проективный квартика (замкнутое многообразие); аффинная квартика имеет 24 точки возврата (топологически точки), которые соответствуют 24 вершинам правильного треугольного разбиения, или, что то же самое, центрам 24 семиугольников в семиугольной мозаике, и может быть реализована следующим образом.

Учитывая действие $SL (2, р)$ на модель верхней полуплоскости $ЧАС 2$ из гиперболическая плоскость от Преобразования Мебиуса, аффинная квартика Клейна может быть реализована как фактор $Γ (7) ЧАС 2$ . (Вот $Γ (7)$ это подгруппа конгруэнции из $SL (2, Z)$ состоящий из матриц, которые конгруэнтны единичной матрице, когда все элементы взяты по модулю 7.)

Фундаментальная область и разложение штанов

Квартику Клейна можно получить как фактор гиперболической плоскости по действию фуксовой группы. В фундаментальная область представляет собой правильный 14-угольник, имеющий площадь ${ displaystyle 8 pi}$ посредством Теорема Гаусса-Бонне. Это можно увидеть на следующем рисунке, который также включает 336 (2,3,7) треугольников, образующих мозаику поверхности и образующих ее группу симметрий.

Фундаментальная область квартики Клейна. Поверхность получается путем присвоения сторонам одинаковых номеров.

Внутри мозаики (2,3,7) треугольников находится мозаика 24 правильными семиугольниками. Систола поверхности проходит через середины 8 сторон семиугольника; по этой причине в литературе она упоминается как «восьмиступенчатая геодезическая» и является причиной названия книги в следующем разделе. Все цветные кривые на рисунке, показывающие декомпозицию штанов, являются систолами, однако это лишь часть; всего их 21. Длина систолы составляет

{ displaystyle 16 sinh ^ {- 1} left ( left ({ tfrac {1} {2}} { sqrt { csc ^ {2} left ({ tfrac { pi} {7}) } right) -4}} right) sin left ({ tfrac { pi} {7}} right) right) приблизительно 3,93594624883.}

Эквивалентная замкнутая формула:

{ displaystyle 8 cosh ^ {- 1} left ({ tfrac {3} {2}} - 2 sin ^ {2} left ({ tfrac { pi} {7}} right) верно).}

В то время как квартика Клейна максимизирует группу симметрии для поверхностей рода 3, она не максимизирует длину систолы. Предполагаемый максимайзер - это поверхность, называемая "M3" (Шмутц 1993 ). M3 происходит от мозаики (2,3,12) треугольников, а его систола имеет кратность 24 и длину

{ displaystyle 2 cosh ^ {- 1} left (2 + { sqrt {3}} right) приблизительно 3.9833047820988736.}

Штановое разложение квартики Клейна. На рисунке слева показаны граничные геодезические в мозаике (2,3,7) фундаментальной области. На рисунке справа штаны были окрашены по-разному, чтобы было понятно, какая часть основной области принадлежит какой паре штанов.

Квартику Клейна можно разложить на четыре пары штанов разрезая по шести его систолам. Это разложение дает симметричный набор Координаты Фенхеля-Нильсена, где все параметры длины равны длине систолы, а параметры крутки все равны ${ displaystyle { tfrac {1} {8}}}$ длины систолы. В частности, принимая ${ Displaystyle l (S)}$ чтобы быть длиной систолы, координаты

{ displaystyle left {l (S), { tfrac {l (S)} {8}}; l (S), { tfrac {l (S)} {8}}; l (S), { tfrac {l (S)} {8}}; l (S), { tfrac {l (S)} {8}}; l (S), { tfrac {l (S)} {8} }; l (S), { tfrac {l (S)} {8}} right }.}

В кубический граф этому разложению штанов соответствует тетраэдрический граф, то есть граф из 4 узлов, каждый из которых соединен с другими 3. Тетраэдрический граф подобен графу для проективного Самолет Фано; действительно, группа автоморфизмов квартики Клейна изоморфна группе автоморфизмов плоскости Фано.

Спектральная теория

Восемь функций, соответствующих первому положительному собственному значению квартики Клейна. Функции равны нулю вдоль голубых линий. Эти сюжеты созданы в FreeFEM ++.

Мало что было доказано о спектральная теория квартики Клейна, однако, было высказано предположение, что она максимизирует первое положительное собственное значение оператора Лапласа среди всех компактных римановых поверхностей рода 3 с постоянной отрицательной кривизной. Эта гипотеза исходит из того факта, что квартика Клейна имеет самую большую группу симметрии поверхностей в своем топологическом классе, как и Поверхность Больца в роде 2. Собственные значения квартики Клейна вычислены с различной степенью точности. Первые 15 различных положительных собственных значений показаны в следующей таблице вместе с их кратностями.

Численные вычисления первых 15 положительных собственных значений квартики Клейна
Собственное значение	Численная величина	Множественность
${ displaystyle lambda _ {0}}$	0	1
${ displaystyle lambda _ {1}}$	2.67793	8
${ displaystyle lambda _ {2}}$	6.62251	7
${ displaystyle lambda _ {3}}$	10.8691	6
${ displaystyle lambda _ {4}}$	12.1844	8
${ displaystyle lambda _ {5}}$	17.2486	7
${ displaystyle lambda _ {6}}$	21.9705	7
${ displaystyle lambda _ {7}}$	24.0811	8
${ displaystyle lambda _ {8}}$	25.9276	6
${ displaystyle lambda _ {9}}$	30.8039	6
${ displaystyle lambda _ {10}}$	36.4555	8
${ displaystyle lambda _ {11}}$	37.4246	8
${ displaystyle lambda _ {12}}$	41.5131	6
${ displaystyle lambda _ {13}}$	44.8884	8
${ displaystyle lambda _ {14}}$	49.0429	6
${ displaystyle lambda _ {15}}$	50.6283	6

3-х мерные модели

Анимация от Грег Иган демонстрирует вложение кривой четвертой степени Клейна в трех измерениях, начиная с формы, имеющей симметрию тетраэдра, и вывернув наизнанку, чтобы продемонстрировать дополнительную симметрию.

Квартика Клейна не может быть реализованный как трехмерная фигура в том смысле, что никакая трехмерная фигура не имеет (вращательной) симметрии, равной $PSL (2,7)$ , поскольку $PSL (2,7)$ не встраивается как подгруппа $ТАК (3)$ (или $О (3)$ ) - он не имеет (нетривиального) 3-мерного линейного представления над действительными числами.

Однако было дано множество трехмерных моделей квартики Клейна, начиная с оригинальной статьи Клейна,^[2]^[4]^[5]^[6]^[7] которые стремятся продемонстрировать особенности квартики и сохранить симметрии топологически, хотя и не все геометрически. Полученные модели чаще всего имеют тетраэдрическую (порядок 12) или октаэдрическую (порядок 24) симметрию; оставшуюся симметрию 7-го порядка не так просто визуализировать, и это, по сути, название статьи Клейна.

Восьмеричный путь - скульптура автора Геламан Фергюсон и сопроводительная книга.

Чаще всего квартика моделируется либо гладкой поверхностью рода 3 с тетраэдрической симметрией (замена ребер правильного тетраэдра трубками / ручками дает такую форму), которые были названы «тетрузами»,^[7] или с помощью полиэдральных аппроксимаций, получивших название «тетроид»;^[7] в обоих случаях это встраивание формы в 3-х измерениях. Самая заметная гладкая модель (тетрус) - скульптура. Восьмеричный путь от Геламан Фергюсон на Институт математических наук в Беркли, Калифорния, сделанный из мрамора и змеевика и представленный 14 ноября 1993 года. Название относится к тому факту, что, начиная с любой вершины триангулированной поверхности и двигаясь вдоль любого края, если вы попеременно поворачиваете налево и направо при достижении вершины, вы всегда вернуться в исходную точку после восьми ребер. Приобретение скульптуры привело к публикации сборника статей (Леви 1999 )с подробным описанием свойств квартики и первым английским переводом статьи Клейна. Полиэдральные модели с тетраэдрической симметрией чаще всего имеют выпуклая оболочка а усеченный тетраэдр - видеть (Шульте и Уиллс 1985 ) и (Scholl, Schürmann & Wills 2002 ) для примеров и иллюстраций. Некоторые из этих моделей состоят из 20 или 56 треугольников (абстрактно правильный косой многогранник {3,7 |, 4}, с 56 гранями, 84 ребрами и 24 вершинами), которые не могут быть реализованы как равносторонние, с изгибами в плечах тетраэдра; в то время как другие имеют 24 семиугольника - эти семиугольники можно считать плоскими, хотя и невыпуклыми,^[8] и модели более сложные, чем треугольные, потому что сложность отражается в формах (негибких) семиугольных граней, а не в (гибких) вершинах.^[2]

В малый кубокубооктаэдр представляет собой полиэдральное погружение мозаики квартики Клейна с октаэдрической симметрией.

В качестве альтернативы, квартику можно смоделировать многогранником с октаэдрической симметрией: Клейн смоделировал квартику формой с октаэдрической симметрией и бесконечно удаленными точками («открытый многогранник»),^[5] а именно три гиперболоиды встреча по ортогональным осям,^[2] в то время как его также можно смоделировать как замкнутый многогранник, который должен быть погруженный (имеют самопересечения), не встроены.^[2] Такие многогранники могут иметь различные выпуклые оболочки, в том числе усеченный куб,^[9] то курносый куб,^[8] или ромбокубооктаэдр, как в малый кубокубооктаэдр справа.^[3] Небольшое погружение в кубокубооктаэдр получается путем соединения некоторых треугольников (2 треугольника образуют квадрат, 6 образуют восьмиугольник), что можно визуализировать с помощью раскраска треугольников (соответствующий тайлинг является топологически, но не геометрически 3 4 | 4 плитки ). Это погружение также можно использовать для геометрического построения Группа Матье M₂₄ добавлением к PSL (2,7) перестановки, которая меняет местами противоположные точки биссектрисы квадратов и восьмиугольников.^[3]

Dessin d'enfants

В детская одежда на квартике Клейна, ассоциированной с фактор-отображением по своей группе автоморфизмов (с фактор-сферой Римана), является в точности 1-скелетом семиугольной мозаики порядка 3.^[10] То есть фактор-карта разветвлена по точкам $0, 1728$ , и $\infty$ ; деление на 1728 дает Функция Белого (разветвленный в $0, 1$ , и $\infty$ ), где 56 вершин (черные точки на рисунке) лежат над 0, середины 84 ребер (белые точки на рисунке) лежат над 1, а центры 24 семиугольников лежат на бесконечности. Полученный рисунок является «платоническим» рисунком, что означает переходный по краям и «чистый» (каждая белая точка имеет валентность 2).

Связанные поверхности

Квартика Клейна связана с различными другими поверхностями.

Геометрически это самый маленький Поверхность Гурвица (низший род); следующий - это Поверхность Macbeath (род 7), и следующие Первая тройка Гурвица (3 поверхности рода 14). В более общем смысле, это наиболее симметричная поверхность данного рода (являющаяся поверхностью Гурвица); в этом классе Поверхность Больца - наиболее симметричная поверхность рода 2, а Принесите поверхность является высокосимметричной поверхностью рода 4 - см. изометрии римановых поверхностей для дальнейшего обсуждения.

Алгебраически (аффинная) квартика Клейна - это модульная кривая X (7), а проективная квартика Клейна является его компактификацией, так же как додекаэдр (с острием в центре каждой грани) является модулярной кривой X (5); это объясняет важность теории чисел.

Более тонко, (проективная) квартика Клейна является Кривая Шимуры (как и поверхности Гурвица рода 7 и 14) и, как таковые, параметризуют принципиально поляризованные абелевы разновидности размерности 6.^[11]

Есть и другие поверхности четвертой степени представляет интерес - см. специальные поверхности четвертой степени.

В более исключительных случаях, квартика Кляйна является частью "троица " в смысле Владимир Арнольд, который также можно описать как Переписка Маккея. В этой коллекции проективные специальные линейные группы PSL (2,5), PSL (2,7) и PSL (2,11) (порядки 60, 168, 660) аналогичны, что соответствует икосаэдрическая симметрия (род 0), симметрии квартики Клейна (род 3) и поверхность бакибола (род 70).^[12] Они также связаны со многими другими исключительными явлениями, которые подробно рассматриваются в "троицы ".

Смотрите также

использованная литература

^ (Леви 1999, п. 24)
^ ^а ^б ^c ^d ^е (Scholl, Schürmann & Wills 2002 )
^ ^а ^б ^c (Рихтер )
^ Кривая четвертой степени Кляйна, Джон Баэз, 28 июля 2006 г.
^ ^а ^б Платоновы мозаики римановых поверхностей, Джерард Вестендорп
^ Бумажные модели квартики Клейна В архиве 2011-06-07 на Wayback Machine, Майк Стэй В архиве 2010-09-07 на Wayback Machine
^ ^а ^б ^c Узоры на Klein Quartic рода 3, Карло Х. Секин, сопровождающий Произведения на выставке Bridges Art-Exhibit, Лондон, 4–8 августа 2006 г., с "Klein Quartic Quilt" Эвелин Секен по выкройке Билла Терстона.
^ ^а ^б (Шульте и Уиллс 1985 )
^ Кривая четвертой степени Кляйна, Грег Иган
^ Ле Брюн, Ливен (7 марта 2007 г.), Лучшее отклоненное предложение, заархивировано из оригинал 27 февраля 2014 г..
^ Elkies, раздел 4.4 (стр. 94–97) в (Леви 1999 ).
^ Мартин, Дэвид; Зингерман, Пабло (17 апреля 2008 г.), От бипланов к квартике Клейна и бакиболлу (PDF)

Литература

Кляйн, Ф. (1878). "Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen" [О преобразовании эллиптических функций порядка седьмого]. Mathematische Annalen. 14 (3): 428–471. Дои:10.1007 / BF01677143. Переведено на Леви, Сильвио, изд. (1999). Восьмеричный путь. Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-66066-2. Г-Н 1722410.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
Лось, Н. (1998), "Расчет кривой Шимуры", Алгоритмическая теория чисел (Портленд, Орегон, 1998), Конспект лекций по информатике, 1423, Берлин: Springer, стр. 1–47, arXiv:math.NT / 0005160, Дои:10.1007 / BFb0054850, ISBN 978-3-540-64657-0, Г-Н 1726059
Леви, Сильвио, изд. (1999), Восьмеричный путь, Публикации НИИ математических наук, 35, Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-66066-2, Г-Н 1722410. Издание в мягкой обложке, Издательство Кембриджского университета, 2001, ISBN 978-0-521-00419-0. Прочтите это: Восьмеричный путь, рассмотрено Рут И. Михлер.
Шульте, Эгон; Уиллс, Дж. М. (1985-12-01), "Многогранная реализация карты Феликса Клейна {3, 7}₈ на римановой поверхности рода 3 ", J. London Math. Soc., с2-32 (3): 539–547, Дои:10.1112 / jlms / s2-32.3.539, получено 2010-04-17
Karcher, H .; Вебер, М. (1996), На римановой поверхности Клейна, CiteSeerX 10.1.1.47.1879, получено 2010-04-17^{[мертвая ссылка ]}
Рихтер, Дэвид А., Как сделать Mathieu Group M₂₄, получено 2010-04-15
Шмутц П. (1993). «Римановы поверхности с кратчайшей геодезической максимальной длины». GAFA. 3 (6): 564–631. Дои:10.1007 / BF01896258.CS1 maint: ref = harv (ссылка на сайт)
Scholl, P .; Schürmann, A .; Уиллс, Дж. М. (сентябрь 2002 г.), "Многогранные модели группы Феликса Клейна", Математический интеллект, 24 (3): 37–42, Дои:10.1007 / BF03024730, заархивировано из оригинала 11.06.2007CS1 maint: BOT: статус исходного URL-адреса неизвестен (ссылка на сайт)
Зингерман, Дэвид; Сиддалл, Роберт И. (2003), "Риманова поверхность однородной ткани", Beiträge zur Algebra und Geometrie, 44 (2): 413–430

внешняя ссылка

Кривая четвертой степени Кляйна, Джон Баэз, 28 июля 2006 г.
Кривая четвертой степени Кляйна, Грег Иган - иллюстрации
Уравнения четвертой степени Клейна, Грег Иган - иллюстрации

[1] (Леви 1999, п. 24)

[scholl-2] а ^б ^c ^d ^е (Scholl, Schürmann & Wills 2002 )

[richter-3] а ^б ^c (Рихтер )

[baez-4] Кривая четвертой степени Кляйна, Джон Баэз, 28 июля 2006 г.

[westendorp-5] а ^б Платоновы мозаики римановых поверхностей, Джерард Вестендорп

[6] Бумажные модели квартики Клейна В архиве 2011-06-07 на Wayback Machine, Майк Стэй В архиве 2010-09-07 на Wayback Machine

[sequin-7] а ^б ^c Узоры на Klein Quartic рода 3, Карло Х. Секин, сопровождающий Произведения на выставке Bridges Art-Exhibit, Лондон, 4–8 августа 2006 г., с "Klein Quartic Quilt" Эвелин Секен по выкройке Билла Терстона.

[schulte-8] а ^б (Шульте и Уиллс 1985 )

[egan-9] Кривая четвертой степени Кляйна, Грег Иган

[10] Ле Брюн, Ливен (7 марта 2007 г.), Лучшее отклоненное предложение, заархивировано из оригинал 27 февраля 2014 г..

[11] Elkies, раздел 4.4 (стр. 94–97) в (Леви 1999 ).

[martin-12] Мартин, Дэвид; Зингерман, Пабло (17 апреля 2008 г.), От бипланов к квартике Клейна и бакиболлу (PDF)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]