Дессин денфант - Dessin denfant

В математика, а детская одежда это тип вложение графа раньше учился Римановы поверхности и обеспечить комбинаторную инварианты за действие абсолютная группа Галуа из рациональное число. Название этих вложений Французский для «детского рисунка»; его множественное число либо детские рисунки, "детские рисунки" или детские рисунки, "детские рисунки".

Детский рисунок - это график, с этими вершины окрашены попеременно в черный и белый, встроенный в ориентированная поверхность что во многих случаях просто самолет. Чтобы раскраска существовала, граф должен быть двудольный. Грани вложения должны быть топологическими дисками. Поверхность и вложение могут быть описаны комбинаторно с использованием система вращения, а циклический порядок ребер, окружающих каждую вершину графа, который описывает порядок, в котором ребра будут пересекаться путем, идущего по часовой стрелке по поверхности в небольшом цикле вокруг вершины.

Любой рисунок может придать поверхности, в которую он встроен, структуру, подобную римановой поверхности. Естественно спросить, какие римановы поверхности возникают таким образом. Ответ дает Теорема Белого, который утверждает, что римановы поверхности, которые могут быть описаны рисунками, - это в точности те, которые можно определить как алгебраические кривые над полем алгебраические числа. Абсолютная группа Галуа преобразует эти конкретные кривые друг в друга и тем самым также трансформирует лежащие в основе рисунки.

Для более подробного рассмотрения этого вопроса см. Шнепс (1994) или же Ландо и Звонкин (2004).

История

19 век

Ранние протоформы детских рисунков появились еще в 1856 г. икозианское исчисление из Уильям Роуэн Гамильтон;^[1] в современном понимании это Гамильтоновы пути на графе икосаэдра.

Узнаваемые современные детские и Функции Белого использовались Феликс Кляйн  (1879 ). Кляйн назвал эти диаграммы Linienzüge (Немецкий, множественное число от Linienzug "линейный путь", также используется как термин для многоугольник ); он использовал белый кружок для прообраза 0 и '+' для прообраза 1, а не черный кружок для 0 и белый кружок для 1, как в современных обозначениях.^[2] Он использовал эти диаграммы, чтобы построить 11-кратное покрытие самой сферы Римана с группа монодромии PSL (2,11), следуя более ранним построениям 7-кратного покрытия с монодромией PSL (2,7), связанной с Кляйн квартика в (Кляйн1878–1879a, 1878–1879b ). Все они были связаны с его исследованиями геометрии уравнения квинтики и группы А₅ ≅ PSL (2,5), собранный в его знаменитой 1884/88 г. Лекции об икосаэдре. Много позже было показано, что три поверхности, построенные таким образом из этих трех групп, тесно связаны посредством феномена троица.

20 век

Детские детские изделия в их современном виде были открыты заново более века спустя и названы Александр Гротендик в 1984 г. в его Программа Esquisse d'un.^[3] Заппони (2003) цитирует Гротендика о его открытии действия Галуа на детских рисунках:

Это открытие, столь простое с технической точки зрения, произвело на меня очень сильное впечатление и представляет собой решающий поворотный момент в моих размышлениях, сдвиг, в частности, в центре моего интереса к математике, который внезапно оказался сильно сфокусированным. Я не верю, что математический факт когда-либо поражал меня так сильно, как этот, и не имел сопоставимого психологического воздействия. Это, несомненно, из-за очень знакомой, нетехнической природы рассматриваемых объектов, из которых любой рисунок ребенка, нацарапанный на клочке бумаги (по крайней мере, если рисунок сделан, не поднимая карандаш), является совершенно ясным примером. С таким рисунком мы находим связанные тонкие арифметические инварианты, которые полностью переворачиваются вверх ногами, как только мы добавляем еще один штрих.

Часть теории уже была независимо разработана Джонс и Сингерман (1978) некоторое время до Гротендика. Они очерчивают соответствие между отображениями на топологических поверхностях, отображениями на римановых поверхностях и группами с некоторыми выделенными образующими, но не рассматривают действие Галуа. Их понятие карты соответствует конкретному экземпляру детской одежды. Позже работа Брайант и Сингерман (1985) распространяет обработку на поверхности с границей.

Римановы поверхности и пары Белого

В сложные числа вместе со специальной точкой, обозначенной как ∞, образуют топологическое пространство известный как Сфера Римана. Любой многочлен, и вообще любой рациональная функция п(Икс)/q(Икс) куда п и q являются полиномами, преобразует сферу Римана, отображая ее в себя. Рассмотрим, например,^[4] то рациональная функция

${\displaystyle f(x)=-{\frac {(x-1)^{3}(x-9)}{64x}}=1-{\frac {(x^{2}-6x-3)^{2}}{64x}}.}$

Детский рисунок, возникающий из рациональной функции ж = −(Икс − 1)³(Икс − 9)/64Икс. Не в масштабе.

В большинстве точек сферы Римана это преобразование является локальный гомеоморфизм: он отображает небольшой диск с центром в любой точке взаимно однозначным образом на другой диск. Однако в некоторых критические точки, отображение более сложное и отображает диск с центром в точке k-водно на свой образ. Номер k известен как степень критической точки и преобразованное изображение критической точки известно как критическое значение. Пример, приведенный выше, ж, имеет следующие критические точки и критические значения. (Некоторые точки сферы Римана, которые сами по себе не являются критическими, но соответствуют одному из критических значений, также включены; они обозначены степенью один.)

критическая точка Икс	критическое значение ж(Икс)	степень
0	∞	1
1	0	3
9	0	1
3 + 2√3 ≈ 6.464	1	2
3 − 2√3 ≈ −0.464	1	2
∞	∞	3

Детскую одежду можно сформировать из ж помещая черные точки на прообразы 0 (то есть на 1 и 9), белые точки на прообразах 1 (то есть на 3 ± 2√3), а дуги - прообразы отрезок [0, 1]. Этот отрезок линии имеет четыре прообраза, два вдоль отрезка от 1 до 9 и два, образующие простая замкнутая кривая который переходит от 1 к самому себе, окружая 0; Полученный рисунок показан на рисунке.

Преобразование детской одежды в образец склейки полупространств римановой поверхности путем включения бесконечно удаленных точек.

В другом направлении, из этого рисунка, описанного как комбинаторный объект без указания местоположения критических точек, можно сформировать компактная риманова поверхность и карту с этой поверхности на сферу Римана, эквивалентную карте, из которой изначально был построен рисунок. Для этого поместите точку с надписью ∞ в каждой области рисунка (показаны красными точками на втором рисунке) и триангулировать каждую область, соединив эту точку с черной и белой точками, образующими границу области, многократно подключившись к одной и той же черной или белой точке, если она появляется несколько раз на границе области. Каждый треугольник в триангуляции имеет три вершины, помеченные 0 (для черных точек), 1 (для белых точек) или ∞. Для каждого треугольника подставьте полуплоскость, либо верхняя полуплоскость для треугольника, который имеет 0, 1 и ∞ в порядке против часовой стрелки, или нижней полуплоскости для треугольника, в котором они расположены по часовой стрелке, и для каждой смежной пары треугольников склейте соответствующие полуплоскости вместе вдоль части их границ обозначены метками вершин. Полученную риманову поверхность можно отобразить на сферу Римана с помощью тождественного отображения внутри каждой полуплоскости. Таким образом, детская одежда сформировалась из ж достаточно, чтобы описать ж сам до биголоморфизм. Однако эта конструкция идентифицирует риманову поверхность только как многообразие со сложной структурой; он не строит вложения этого многообразия как алгебраическая кривая в комплексная проективная плоскость, хотя такое вложение существует всегда.

Та же самая конструкция применяется в более общем случае, когда Икс - любая риманова поверхность и ж это Функция Белого; это голоморфная функция ж из Икс к сфере Римана, имеющей только 0, 1 и ∞ в качестве критических значений. Пара (Икс, ж) этого типа известен как Белый пара. От любой пары Белого (Икс, ж) можно составить детскую детскую одежду, нарисованную на поверхностиИкс, который имеет черные точки на прообразах ж⁻¹(0) из 0, его белые точки указывают на прообразы ж⁻¹(1) из 1, а его края размещены по прообразам ж⁻¹([0, 1]) отрезка [0, 1]. И наоборот, любая детская одежда на любой поверхности Икс может использоваться для определения инструкций склейки для набора полупространств, которые вместе образуют риманову поверхность, гомеоморфную Икс; отображение каждого полупространства единицей на сферу Римана дает функцию Белого ж на Икс, а значит, приводит к паре Белого (Икс, ж). Любые две пары Белого (Икс, ж), приводящие к комбинаторно эквивалентным детским рисункам, биголоморфны, и Теорема Белого следует, что для любой компактной римановой поверхности Икс определены в алгебраические числа, есть функция Белого ж и детскую одежду, которая дает комбинаторное описание обоих Икс иж.

Карты и гиперкарты

Триангуляция сферы с группой треугольников (2,3,5), созданная с помощью правильного додекаэдра для построения чистого рисунка

Триангуляция гиперболической плоскости с треугольной группой (2,3,7), порожденной как универсальное покрытие Кляйн квартика

Вершина рисунка имеет теоретико-графовую степень, количество инцидентных ребер, равное ее степени как критической точки функции Белого. В приведенном выше примере все белые точки имеют степень два; рисунки со свойством, что каждая белая точка имеет два края, известны как чистый, а соответствующие им функции Белого называются чистый. Когда это происходит, рисунок можно описать более простым встроенным графом, который имеет только черные точки в качестве вершин и имеет ребро для каждой белой точки с концами на двух черных соседях белой точки. Например, рисунок, показанный на рисунке, можно было бы проще нарисовать таким образом, как пару черных точек с краем между ними и петля на одной из точек. Обычно рисуются только черные точки чистого рисунка, а белые точки оставляют неотмеченными; можно полностью восстановить рисунок, добавив белую точку в середине каждого края карты.

Таким образом, любое вложение графа в поверхность, каждая грань которой является диском (то есть топологической картой), дает начало рисунку, если рассматривать его вершины как черные точки рисунка и помещать белые точки в середину рисунка. каждое ребро вложенного графа.Если карта соответствует функции Белого ж, это двойная карта (рисунок, сформированный из прообразов отрезка [1, ∞]) соответствует мультипликативный обратный 1/ж.^[5]

Не чистый рисунок можно превратить в чистый рисунок на той же поверхности, перекрасив все его точки в черный цвет и добавив новые белые точки на каждом из краев. Соответствующее преобразование пар Белого состоит в замене функции Белого β чистой функцией Белого γ = 4β(1 − β). Можно вычислить критические точки γ прямо из этой формулы: γ⁻¹(0) = β⁻¹(0) ∪ β⁻¹(1), γ⁻¹(∞) = β⁻¹(∞), и γ⁻¹(1) = β⁻¹(1/2). Таким образом, γ⁻¹(1) - прообраз под β середины отрезка [0,1], а края рисунка образованы γ подразделять края рисунка сформированы из β.

При интерпретации чистого рисунка как карты произвольный рисунок - это гиперкарта: то есть рисунок гиперграф в котором черные точки представляют вершины, а белые точки - гиперребра.

Регулярные карты и группы треугольников

Пятерка Платоновы тела - обычный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, и икосаэдр - рассматриваемые как двумерные поверхности, обладают тем свойством, что любой флаг (тройка вершины, ребра и грани, которые пересекаются друг с другом) может быть преобразован в любой другой флаг посредством симметрии поверхности. В более общем смысле карта, встроенная в поверхность с тем же свойством, что любой флаг может быть преобразован в любой другой флаг с помощью симметрии, называется обычная карта.

Если обычная карта используется для создания чистого рисунка, а полученный рисунок используется для создания триангулированной римановой поверхности, то края треугольников лежат вдоль линий симметрии поверхности, а отражения по этим линиям создают группу симметрии. называется группа треугольников, для которых треугольники образуют фундаментальные области. Например, на рисунке показан сгенерированный таким образом набор треугольников, начиная с правильного додекаэдра. Когда регулярное отображение лежит на поверхности, род больше единицы, универсальный чехол поверхности - это гиперболическая плоскость, а группа треугольников в гиперболической плоскости, образованная из поднятой триангуляции, является (кокомпактной) Фуксова группа представляющий дискретный набор изометрий гиперболической плоскости. В этом случае стартовая поверхность - это отношение гиперболической плоскости к конечной индекс подгруппа Γ в этой группе.

Наоборот, если дана риманова поверхность, которая является фактором a (2,3,п) замощение (замощение сферы, евклидовой плоскости или гиперболической плоскости треугольниками с углами π/2, π/3, и π/п), связанный рисунок - это Граф Кэли заданные порождающими группы второго и третьего порядков, или, что то же самое, замощением той же поверхности формулой п-угольников, встречающихся по три на вершину. Вершины этого тайлинга дают черные точки рисунка, центры краев дают белые точки, а центры граней дают точки над бесконечностью.

Деревья и многочлены Шабата

Детский рисунок, соответствующий секстическому одночлену п(Икс) = Икс⁶.

В Полиномы Чебышева и соответствующие детские рисунки, разноцветные поочередно графы путей.

Простейшие двудольные графы - это деревья. Любое вложение дерева имеет одну область, и поэтому по Формула Эйлера лежит на сферической поверхности. Соответствующая пара Белого образует преобразование сферы Римана, которое, если поместить полюс в ∞, можно представить в виде многочлен. И наоборот, любой многочлен с конечными критическими значениями 0 и 1 образует функцию Белого от сферы Римана к самой себе, имеющую единственную бесконечнозначную критическую точку и соответствующую детскому рисунку, который является деревом. Степень полинома равна количеству ребер в соответствующем дереве. Такая полиномиальная функция Белого известна как Полином Шабата,^[6] после Георгия Шабата.

Например, возьмите п быть одночлен п(Икс) = Икс^d имея только одну конечную критическую точку и критическое значение, оба нуль. Хотя 1 не является критическим значением для п, все еще можно интерпретировать п как функция Белого из сферы Римана в себя, поскольку все ее критические значения лежат в множестве {0,1, ∞}. Соответствующий детский рисунок звезда имеющий одну центральную черную вершину, соединенную с d белые листья (а полный двудольный граф K_1,d).

В более общем смысле, полином п(Икс) с двумя критическими значениями у₁ и у₂ можно назвать полиномом Шабата. Такой многочлен может быть нормирован в функцию Белого с его критическими значениями в 0 и 1 по формуле

${\displaystyle q(x)={\frac {p(x)-y_{1}}{y_{2}-y_{1}}},}$

но может быть удобнее оставить п в ненормализованной форме.^[7]

Важное семейство примеров полиномов Шабата дает Полиномы Чебышева первого рода, Т_п(Икс), которые имеют критические значения −1 и 1. Соответствующие рисунки имеют вид графы путей, чередуя черные и белые вершины, с п края на пути. Из-за связи между многочленами Шабата и многочленами Чебышева сами многочлены Шабата иногда называют обобщенными многочленами Чебышева.^[7][8]

Разные деревья, как правило, соответствуют разным полиномам Шабата, как и разные вложения или раскраски одного и того же дерева. Вплоть до нормализации и линейных преобразований аргумента полином Шабата однозначно определяется из раскраски вложенного дерева, но не всегда просто найти полином Шабата, имеющий данное вложенное дерево в качестве детского рисунка.

Абсолютная группа Галуа и ее инварианты

Две сопряженные детские рисунки

Полином

${\displaystyle p(x)=x^{3}(x^{2}-2x+a)^{2}\,}$

может быть превращен в Полином Шабата выбирая^[9]

${\displaystyle a={\frac {34\pm 6{\sqrt {21}}}{7}}.}$

Два варианта а приводят к двум функциям Белого ж₁ и ж₂. Эти функции, хотя и тесно связаны друг с другом, не эквивалентны, поскольку описываются двумя неизоморфный деревья показаны на рисунке.

Однако, поскольку эти многочлены определены над поле алгебраических чисел Q(√21), они могут быть преобразованы действие из абсолютная группа Галуа Γ рациональных чисел. Элемент Γ что трансформирует √21 к -√21 преобразит ж₁ в ж₂ и наоборот, и, таким образом, также можно сказать, что каждое из двух деревьев, показанных на рисунке, преобразуется в другое дерево. В более общем плане, из-за того, что критические значения любой функции Белого являются чистыми рациональными числами 0, 1 и ∞, эти критические значения не изменяются действием Галуа, поэтому это действие переводит пары Белого в другие пары Белого. Можно определить действие Γ на любую детскую детскую одежду соответствующим действием на пары Белого; это действие, например, переставляет два дерева, показанные на рисунке.

По теореме Белого действие Γ на рисунках верный (то есть каждые два элемента Γ определить различные перестановки на множестве рисунков),^[10] поэтому изучение детских рисунков может многое рассказать нам о Γ сам. В этом свете представляет большой интерес понять, какие рисунки могут быть преобразованы друг в друга под действием Γ а может и нет. Например, можно заметить, что два показанных дерева имеют одинаковые последовательности степеней для своих черных узлов и белых узлов: у обоих есть черный узел со степенью три, два черных узла со степенью два, два белых узла со степенью два и три белых узла со степенью один. Это равенство не случайно: всякий раз, когда Γ преобразует один рисунок в другой, оба будут иметь одинаковую последовательность степеней. Последовательность степеней известна инвариантный действия Галуа, но не единственный инвариант.

В стабилизатор рисунка является подгруппой Γ состоящий из групповых элементов, которые оставляют рисунок без изменений. Из-за соответствия Галуа между подгруппами Γ и поля алгебраических чисел стабилизатор соответствует полю, поле модулей рисунка. An орбита рисунка - это набор всех других рисунков, в которые он может быть преобразован; в силу инвариантности степени орбиты обязательно конечны, а стабилизаторы конечны. индекс. Аналогичным образом можно определить стабилизатор орбиты (подгруппу, фиксирующую все элементы орбиты) и соответствующее поле модулей орбиты, другой инвариант рисунка. Стабилизатор орбиты - максимальный нормальная подгруппа из Γ содержащегося в стабилизаторе рисунка, а поле модулей орбиты соответствует наименьшему нормальному продолжению Q который содержит поле модулей рисунка. Например, для двух сопряженных рисунков, рассмотренных в этом разделе, поле модулей орбиты равно Q(√21). Две функции Белого ж₁ и ж₂ этого примера определены над полем модулей, но существуют рисунки, для которых поле определения функции Белого должно быть больше, чем поле модулей.^[11]

Примечания

1. Гамильтон (1856). Смотрите также Джонс (1995).
2. Ле Брюйн (2008).
3. Гротендик (1984)
4. Этот пример был предложен Ландо и Звонкин (2004) С. 109–110.
5. Ландо и Звонкин (2004) С. 120–121.
6. Жирондо и Гонсалес-Диез (2012), стр.252
7. Ландо и Звонкин (2004), п. 82.
8. Джонс, Г. и Стрейт, М. "Группы Галуа, группы монодромии и картографические группы", стр. 43 в Schneps & Lochak (2007), стр. 25-66. Zbl  0898.14012
9. Ландо и Звонкин (2004) С. 90–91. В этом примере игнорируйте паразитарный раствор а = 25/21.
10. Γ действует добросовестно, даже если ограничивается рисунками деревьев; видеть Ландо и Звонкин (2004), Теорема 2.4.15, с. 125–126.
11. Ландо и Звонкин (2004) С. 122–123.

Рекомендации

• ле Брюн, Ливен (2008), Детские рисунки Кляйна и бакибол.
• Bryant, Robin P .; Зингерман, Дэвид (1985), "Основы теории отображений на поверхностях с границей", Ежеквартальный математический журнал, Вторая серия, 36 (141): 17–41, Дои:10.1093 / qmath / 36.1.17, МИСТЕР  0780347.
• Жирондо, Эрнесто; Гонсалес-Диез, Габино (2012), Введение в компактные римановы поверхности и детские рисунки, Студенческие тексты Лондонского математического общества, 79, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-74022-7, Zbl  1253.30001.
• Гротендик, А. (1984), Программа Esquisse d'un
• Гамильтон, У. (17 октября 1856 г.), Письмо Джону Т. Грейвсу "Об Икозианском". Собран в Halberstam, H .; Ингрэм, Р. Э., ред. (1967), Математические статьи, Vol. III, Алгебра, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 612–625..
• Джонс, Гарет (1995), "Детские детства: двудольные отображения и группы Галуа", Séminaire Lotharingien de Combinatoire, B35d: 4, заархивировано оригинал 8 апреля 2017 г., получено 2 июн 2010.
• Джонс, Гарет; Зингерман, Дэвид (1978), «Теория отображений на ориентируемых поверхностях», Труды Лондонского математического общества, 37 (2): 273–307, Дои:10.1112 / плмс / с3-37.2.273.
• Кляйн, Феликс (1878–79), "Uber die Transformation der elliptischen Funktionen und die Auflösung der Gleichungen fünften Grades (О преобразовании эллиптических функций и ...)", Mathematische Annalen, 14: 13–75 (в Oeuvres, Том 3), Дои:10.1007 / BF02297507, заархивировано из оригинал 19 июля 2011 г., получено 2 июн 2010.
• Кляйн, Феликс (1878–79), "Über die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Funktionen (О преобразовании седьмого порядка эллиптических функций)", Mathematische Annalen, 14: 90–135 (в Oeuvres, Том 3), Дои:10.1007 / BF01677143.
• Кляйн, Феликс (1879), "Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (О преобразовании одиннадцатого порядка эллиптических функций)", Mathematische Annalen, 15 (3–4): 533–555, Дои:10.1007 / BF02086276, собранные с. 140–165 в Oeuvres, Том 3.
• Ландо, Сергей К .; Звонкин, Александр К. (2004), Графы на поверхностях и их приложения, Энциклопедия математических наук: низкоразмерная топология II, 141, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-00203-1, Zbl  1040.05001. См. Особенно главу 2, «Dessins d'Enfants», стр. 79–153.
• Шнепс, Лейла, изд. (1994), Теория Гротендика о детях, Серия лекций Лондонского математического общества, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-47821-2.
• Шнепс, Лейла; Лочак, Пьер, ред. (1997), Геометрические действия Галуа II. Обратная задача Галуа, пространства модулей и группы классов отображений. Труды конференции по геометрии и арифметике пространств модулей, Люмини, Франция, август 1995 г., Серия лекций Лондонского математического общества, 243, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-59641-6, Zbl  0868.00040.
• Шабат, Г.Б .; Воедводский, В.А. (2007) [1990], «Рисование кривых над числовыми полями», в Картье, П.; Иллюзи, Л.; Кац, Н.; Лаумон, Г.; Манин, Ю.И.; Рибет, К.А. (ред.), Гротендикский фестивальный сбор, том III, Modern Birkhäuser Classics, Birkhäuser, pp. 199–227, ISBN  978-0-8176-4568-7, Zbl  0790.14026.
• Зингерман, Дэвид; Сиддалл, Роберт И. (2003), "Риманова поверхность однородной ткани", Beiträge zur Algebra und Geometrie, 44 (2): 413–430, МИСТЕР  2017042, Zbl  1064.14030.
• Заппони, Леонардо (август 2003 г.), "Что такое Dessin d'Enfant" (PDF), Уведомления Американского математического общества, 50 (7): 788–789, Zbl  1211.14001.