Дессин денфант - Dessin denfant

В математика, а детская одежда это тип вложение графа раньше учился Римановы поверхности и обеспечить комбинаторную инварианты за действие абсолютная группа Галуа из рациональное число. Название этих вложений Французский для «детского рисунка»; его множественное число либо детские рисунки, "детские рисунки" или детские рисунки, "детские рисунки".

Детский рисунок - это график, с этими вершины окрашены попеременно в черный и белый, встроенный в ориентированная поверхность что во многих случаях просто самолет. Чтобы раскраска существовала, граф должен быть двудольный. Грани вложения должны быть топологическими дисками. Поверхность и вложение могут быть описаны комбинаторно с использованием система вращения, а циклический порядок ребер, окружающих каждую вершину графа, который описывает порядок, в котором ребра будут пересекаться путем, идущего по часовой стрелке по поверхности в небольшом цикле вокруг вершины.

Любой рисунок может придать поверхности, в которую он встроен, структуру, подобную римановой поверхности. Естественно спросить, какие римановы поверхности возникают таким образом. Ответ дает Теорема Белого, который утверждает, что римановы поверхности, которые могут быть описаны рисунками, - это в точности те, которые можно определить как алгебраические кривые над полем алгебраические числа. Абсолютная группа Галуа преобразует эти конкретные кривые друг в друга и тем самым также трансформирует лежащие в основе рисунки.

Для более подробного рассмотрения этого вопроса см. Шнепс (1994) или же Ландо и Звонкин (2004).

История

19 век

Ранние протоформы детских рисунков появились еще в 1856 г. икозианское исчисление из Уильям Роуэн Гамильтон;[1] в современном понимании это Гамильтоновы пути на графе икосаэдра.

Узнаваемые современные детские и Функции Белого использовались Феликс Кляйн  (1879 ). Кляйн назвал эти диаграммы Linienzüge (Немецкий, множественное число от Linienzug "линейный путь", также используется как термин для многоугольник ); он использовал белый кружок для прообраза 0 и '+' для прообраза 1, а не черный кружок для 0 и белый кружок для 1, как в современных обозначениях.[2] Он использовал эти диаграммы, чтобы построить 11-кратное покрытие самой сферы Римана с группа монодромии PSL (2,11), следуя более ранним построениям 7-кратного покрытия с монодромией PSL (2,7), связанной с Кляйн квартика в (Кляйн1878–1879a, 1878–1879b ). Все они были связаны с его исследованиями геометрии уравнения квинтики и группы А5 ≅ PSL (2,5), собранный в его знаменитой 1884/88 г. Лекции об икосаэдре. Много позже было показано, что три поверхности, построенные таким образом из этих трех групп, тесно связаны посредством феномена троица.

20 век

Детские детские изделия в их современном виде были открыты заново более века спустя и названы Александр Гротендик в 1984 г. в его Программа Esquisse d'un.[3] Заппони (2003) цитирует Гротендика о его открытии действия Галуа на детских рисунках:

Это открытие, столь простое с технической точки зрения, произвело на меня очень сильное впечатление и представляет собой решающий поворотный момент в моих размышлениях, сдвиг, в частности, в центре моего интереса к математике, который внезапно оказался сильно сфокусированным. Я не верю, что математический факт когда-либо поражал меня так сильно, как этот, и не имел сопоставимого психологического воздействия. Это, несомненно, из-за очень знакомой, нетехнической природы рассматриваемых объектов, из которых любой рисунок ребенка, нацарапанный на клочке бумаги (по крайней мере, если рисунок сделан, не поднимая карандаш), является совершенно ясным примером. С таким рисунком мы находим связанные тонкие арифметические инварианты, которые полностью переворачиваются вверх ногами, как только мы добавляем еще один штрих.

Часть теории уже была независимо разработана Джонс и Сингерман (1978) некоторое время до Гротендика. Они очерчивают соответствие между отображениями на топологических поверхностях, отображениями на римановых поверхностях и группами с некоторыми выделенными образующими, но не рассматривают действие Галуа. Их понятие карты соответствует конкретному экземпляру детской одежды. Позже работа Брайант и Сингерман (1985) распространяет обработку на поверхности с границей.

Римановы поверхности и пары Белого

В сложные числа вместе со специальной точкой, обозначенной как ∞, образуют топологическое пространство известный как Сфера Римана. Любой многочлен, и вообще любой рациональная функция п(Икс)/q(Икс) куда п и q являются полиномами, преобразует сферу Римана, отображая ее в себя. Рассмотрим, например,[4] то рациональная функция

Детский рисунок, возникающий из рациональной функции ж = −(Икс − 1)3(Икс − 9)/64Икс. Не в масштабе.

В большинстве точек сферы Римана это преобразование является локальный гомеоморфизм: он отображает небольшой диск с центром в любой точке взаимно однозначным образом на другой диск. Однако в некоторых критические точки, отображение более сложное и отображает диск с центром в точке k-водно на свой образ. Номер k известен как степень критической точки и преобразованное изображение критической точки известно как критическое значение. Пример, приведенный выше, ж, имеет следующие критические точки и критические значения. (Некоторые точки сферы Римана, которые сами по себе не являются критическими, но соответствуют одному из критических значений, также включены; они обозначены степенью один.)

критическая точка Икскритическое значение ж(Икс)степень
01
103
901
3 + 23 ≈ 6.46412
3 − 23 ≈ −0.46412
3

Детскую одежду можно сформировать из ж помещая черные точки на прообразы 0 (то есть на 1 и 9), белые точки на прообразах 1 (то есть на 3 ± 23), а дуги - прообразы отрезок [0, 1]. Этот отрезок линии имеет четыре прообраза, два вдоль отрезка от 1 до 9 и два, образующие простая замкнутая кривая который переходит от 1 к самому себе, окружая 0; Полученный рисунок показан на рисунке.

Преобразование детской одежды в образец склейки полупространств римановой поверхности путем включения бесконечно удаленных точек.

В другом направлении, из этого рисунка, описанного как комбинаторный объект без указания местоположения критических точек, можно сформировать компактная риманова поверхность и карту с этой поверхности на сферу Римана, эквивалентную карте, из которой изначально был построен рисунок. Для этого поместите точку с надписью ∞ в каждой области рисунка (показаны красными точками на втором рисунке) и триангулировать каждую область, соединив эту точку с черной и белой точками, образующими границу области, многократно подключившись к одной и той же черной или белой точке, если она появляется несколько раз на границе области. Каждый треугольник в триангуляции имеет три вершины, помеченные 0 (для черных точек), 1 (для белых точек) или ∞. Для каждого треугольника подставьте полуплоскость, либо верхняя полуплоскость для треугольника, который имеет 0, 1 и ∞ в порядке против часовой стрелки, или нижней полуплоскости для треугольника, в котором они расположены по часовой стрелке, и для каждой смежной пары треугольников склейте соответствующие полуплоскости вместе вдоль части их границ обозначены метками вершин. Полученную риманову поверхность можно отобразить на сферу Римана с помощью тождественного отображения внутри каждой полуплоскости. Таким образом, детская одежда сформировалась из ж достаточно, чтобы описать ж сам до биголоморфизм. Однако эта конструкция идентифицирует риманову поверхность только как многообразие со сложной структурой; он не строит вложения этого многообразия как алгебраическая кривая в комплексная проективная плоскость, хотя такое вложение существует всегда.

Та же самая конструкция применяется в более общем случае, когда Икс - любая риманова поверхность и ж это Функция Белого; это голоморфная функция ж из Икс к сфере Римана, имеющей только 0, 1 и ∞ в качестве критических значений. Пара (Иксж) этого типа известен как Белый пара. От любой пары Белого (Иксж) можно составить детскую детскую одежду, нарисованную на поверхностиИкс, который имеет черные точки на прообразах ж−1(0) из 0, его белые точки указывают на прообразы ж−1(1) из 1, а его края размещены по прообразам ж−1([0, 1]) отрезка [0, 1]. И наоборот, любая детская одежда на любой поверхности Икс может использоваться для определения инструкций склейки для набора полупространств, которые вместе образуют риманову поверхность, гомеоморфную Икс; отображение каждого полупространства единицей на сферу Римана дает функцию Белого ж на Икс, а значит, приводит к паре Белого (Иксж). Любые две пары Белого (Иксж), приводящие к комбинаторно эквивалентным детским рисункам, биголоморфны, и Теорема Белого следует, что для любой компактной римановой поверхности Икс определены в алгебраические числа, есть функция Белого ж и детскую одежду, которая дает комбинаторное описание обоих Икс иж.

Карты и гиперкарты

Триангуляция сферы с группой треугольников (2,3,5), созданная с помощью правильного додекаэдра для построения чистого рисунка
Триангуляция гиперболической плоскости с треугольной группой (2,3,7), порожденной как универсальное покрытие Кляйн квартика

Вершина рисунка имеет теоретико-графовую степень, количество инцидентных ребер, равное ее степени как критической точки функции Белого. В приведенном выше примере все белые точки имеют степень два; рисунки со свойством, что каждая белая точка имеет два края, известны как чистый, а соответствующие им функции Белого называются чистый. Когда это происходит, рисунок можно описать более простым встроенным графом, который имеет только черные точки в качестве вершин и имеет ребро для каждой белой точки с концами на двух черных соседях белой точки. Например, рисунок, показанный на рисунке, можно было бы проще нарисовать таким образом, как пару черных точек с краем между ними и петля на одной из точек. Обычно рисуются только черные точки чистого рисунка, а белые точки оставляют неотмеченными; можно полностью восстановить рисунок, добавив белую точку в середине каждого края карты.

Таким образом, любое вложение графа в поверхность, каждая грань которой является диском (то есть топологической картой), дает начало рисунку, если рассматривать его вершины как черные точки рисунка и помещать белые точки в середину рисунка. каждое ребро вложенного графа.Если карта соответствует функции Белого ж, это двойная карта (рисунок, сформированный из прообразов отрезка [1, ∞]) соответствует мультипликативный обратный 1/ж.[5]

Не чистый рисунок можно превратить в чистый рисунок на той же поверхности, перекрасив все его точки в черный цвет и добавив новые белые точки на каждом из краев. Соответствующее преобразование пар Белого состоит в замене функции Белого β чистой функцией Белого γ = 4β(1 − β). Можно вычислить критические точки γ прямо из этой формулы: γ−1(0) = β−1(0) ∪ β−1(1), γ−1(∞) = β−1(∞), и γ−1(1) = β−1(1/2). Таким образом, γ−1(1) - прообраз под β середины отрезка [0,1], а края рисунка образованы γ подразделять края рисунка сформированы из β.

При интерпретации чистого рисунка как карты произвольный рисунок - это гиперкарта: то есть рисунок гиперграф в котором черные точки представляют вершины, а белые точки - гиперребра.

Регулярные карты и группы треугольников

Пятерка Платоновы тела - обычный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, и икосаэдр - рассматриваемые как двумерные поверхности, обладают тем свойством, что любой флаг (тройка вершины, ребра и грани, которые пересекаются друг с другом) может быть преобразован в любой другой флаг посредством симметрии поверхности. В более общем смысле карта, встроенная в поверхность с тем же свойством, что любой флаг может быть преобразован в любой другой флаг с помощью симметрии, называется обычная карта.

Если обычная карта используется для создания чистого рисунка, а полученный рисунок используется для создания триангулированной римановой поверхности, то края треугольников лежат вдоль линий симметрии поверхности, а отражения по этим линиям создают группу симметрии. называется группа треугольников, для которых треугольники образуют фундаментальные области. Например, на рисунке показан сгенерированный таким образом набор треугольников, начиная с правильного додекаэдра. Когда регулярное отображение лежит на поверхности, род больше единицы, универсальный чехол поверхности - это гиперболическая плоскость, а группа треугольников в гиперболической плоскости, образованная из поднятой триангуляции, является (кокомпактной) Фуксова группа представляющий дискретный набор изометрий гиперболической плоскости. В этом случае стартовая поверхность - это отношение гиперболической плоскости к конечной индекс подгруппа Γ в этой группе.

Наоборот, если дана риманова поверхность, которая является фактором a (2,3,п) замощение (замощение сферы, евклидовой плоскости или гиперболической плоскости треугольниками с углами π/2, π/3, и π/п), связанный рисунок - это Граф Кэли заданные порождающими группы второго и третьего порядков, или, что то же самое, замощением той же поверхности формулой п-угольников, встречающихся по три на вершину. Вершины этого тайлинга дают черные точки рисунка, центры краев дают белые точки, а центры граней дают точки над бесконечностью.

Деревья и многочлены Шабата

Детский рисунок, соответствующий секстическому одночлену п(Икс) = Икс6.
В Полиномы Чебышева и соответствующие детские рисунки, разноцветные поочередно графы путей.

Простейшие двудольные графы - это деревья. Любое вложение дерева имеет одну область, и поэтому по Формула Эйлера лежит на сферической поверхности. Соответствующая пара Белого образует преобразование сферы Римана, которое, если поместить полюс в ∞, можно представить в виде многочлен. И наоборот, любой многочлен с конечными критическими значениями 0 и 1 образует функцию Белого от сферы Римана к самой себе, имеющую единственную бесконечнозначную критическую точку и соответствующую детскому рисунку, который является деревом. Степень полинома равна количеству ребер в соответствующем дереве. Такая полиномиальная функция Белого известна как Полином Шабата,[6] после Георгия Шабата.

Например, возьмите п быть одночлен п(Икс) = Иксd имея только одну конечную критическую точку и критическое значение, оба нуль. Хотя 1 не является критическим значением для п, все еще можно интерпретировать п как функция Белого из сферы Римана в себя, поскольку все ее критические значения лежат в множестве {0,1, ∞}. Соответствующий детский рисунок звезда имеющий одну центральную черную вершину, соединенную с d белые листья (а полный двудольный граф K1,d).

В более общем смысле, полином п(Икс) с двумя критическими значениями у1 и у2 можно назвать полиномом Шабата. Такой многочлен может быть нормирован в функцию Белого с его критическими значениями в 0 и 1 по формуле

но может быть удобнее оставить п в ненормализованной форме.[7]

Важное семейство примеров полиномов Шабата дает Полиномы Чебышева первого рода, Тп(Икс), которые имеют критические значения −1 и 1. Соответствующие рисунки имеют вид графы путей, чередуя черные и белые вершины, с п края на пути. Из-за связи между многочленами Шабата и многочленами Чебышева сами многочлены Шабата иногда называют обобщенными многочленами Чебышева.[7][8]

Разные деревья, как правило, соответствуют разным полиномам Шабата, как и разные вложения или раскраски одного и того же дерева. Вплоть до нормализации и линейных преобразований аргумента полином Шабата однозначно определяется из раскраски вложенного дерева, но не всегда просто найти полином Шабата, имеющий данное вложенное дерево в качестве детского рисунка.

Абсолютная группа Галуа и ее инварианты

Две сопряженные детские рисунки

Полином

может быть превращен в Полином Шабата выбирая[9]

Два варианта а приводят к двум функциям Белого ж1 и ж2. Эти функции, хотя и тесно связаны друг с другом, не эквивалентны, поскольку описываются двумя неизоморфный деревья показаны на рисунке.

Однако, поскольку эти многочлены определены над поле алгебраических чисел Q(21), они могут быть преобразованы действие из абсолютная группа Галуа Γ рациональных чисел. Элемент Γ что трансформирует 21 к -21 преобразит ж1 в ж2 и наоборот, и, таким образом, также можно сказать, что каждое из двух деревьев, показанных на рисунке, преобразуется в другое дерево. В более общем плане, из-за того, что критические значения любой функции Белого являются чистыми рациональными числами 0, 1 и ∞, эти критические значения не изменяются действием Галуа, поэтому это действие переводит пары Белого в другие пары Белого. Можно определить действие Γ на любую детскую детскую одежду соответствующим действием на пары Белого; это действие, например, переставляет два дерева, показанные на рисунке.

По теореме Белого действие Γ на рисунках верный (то есть каждые два элемента Γ определить различные перестановки на множестве рисунков),[10] поэтому изучение детских рисунков может многое рассказать нам о Γ сам. В этом свете представляет большой интерес понять, какие рисунки могут быть преобразованы друг в друга под действием Γ а может и нет. Например, можно заметить, что два показанных дерева имеют одинаковые последовательности степеней для своих черных узлов и белых узлов: у обоих есть черный узел со степенью три, два черных узла со степенью два, два белых узла со степенью два и три белых узла со степенью один. Это равенство не случайно: всякий раз, когда Γ преобразует один рисунок в другой, оба будут иметь одинаковую последовательность степеней. Последовательность степеней известна инвариантный действия Галуа, но не единственный инвариант.

В стабилизатор рисунка является подгруппой Γ состоящий из групповых элементов, которые оставляют рисунок без изменений. Из-за соответствия Галуа между подгруппами Γ и поля алгебраических чисел стабилизатор соответствует полю, поле модулей рисунка. An орбита рисунка - это набор всех других рисунков, в которые он может быть преобразован; в силу инвариантности степени орбиты обязательно конечны, а стабилизаторы конечны. индекс. Аналогичным образом можно определить стабилизатор орбиты (подгруппу, фиксирующую все элементы орбиты) и соответствующее поле модулей орбиты, другой инвариант рисунка. Стабилизатор орбиты - максимальный нормальная подгруппа из Γ содержащегося в стабилизаторе рисунка, а поле модулей орбиты соответствует наименьшему нормальному продолжению Q который содержит поле модулей рисунка. Например, для двух сопряженных рисунков, рассмотренных в этом разделе, поле модулей орбиты равно Q(21). Две функции Белого ж1 и ж2 этого примера определены над полем модулей, но существуют рисунки, для которых поле определения функции Белого должно быть больше, чем поле модулей.[11]

Примечания

  1. ^ Гамильтон (1856). Смотрите также Джонс (1995).
  2. ^ Ле Брюйн (2008).
  3. ^ Гротендик (1984)
  4. ^ Этот пример был предложен Ландо и Звонкин (2004) С. 109–110.
  5. ^ Ландо и Звонкин (2004) С. 120–121.
  6. ^ Жирондо и Гонсалес-Диез (2012), стр.252
  7. ^ а б Ландо и Звонкин (2004), п. 82.
  8. ^ Джонс, Г. и Стрейт, М. "Группы Галуа, группы монодромии и картографические группы", стр. 43 в Schneps & Lochak (2007), стр. 25-66. Zbl  0898.14012
  9. ^ Ландо и Звонкин (2004) С. 90–91. В этом примере игнорируйте паразитарный раствор а = 25/21.
  10. ^ Γ действует добросовестно, даже если ограничивается рисунками деревьев; видеть Ландо и Звонкин (2004), Теорема 2.4.15, с. 125–126.
  11. ^ Ландо и Звонкин (2004) С. 122–123.

Рекомендации