Кривая Ферма - Fermat curve

Кубическая поверхность Ферма

{ displaystyle X ^ {3} + Y ^ {3} = Z ^ {3}}

В математика, то Кривая Ферма это алгебраическая кривая в комплексная проективная плоскость определено в однородные координаты (Икс:Y:Z) посредством Уравнение Ферма

{ displaystyle X ^ {n} + Y ^ {n} = Z ^ {n}. }

Поэтому с точки зрения аффинная плоскость его уравнение

{ Displaystyle х ^ {п} + у ^ {п} = 1. }

Целочисленное решение уравнения Ферма соответствовало бы ненулевой Рациональное число решение аффинного уравнения, и наоборот. Но по Последняя теорема Ферма теперь известно, что (для п > 2) нетривиальных целочисленных решений уравнения Ферма; следовательно, кривая Ферма не имеет нетривиальных рациональных точек.

Кривая Ферма имеет вид неособый и имеет род

{ Displaystyle (п-1) (п-2) / 2. }

Это означает род 0 для случая п = 2 (a конический ) и рода 1 только для п = 3 (an эллиптическая кривая ). В Якобиева многообразие кривой Ферма глубоко изучена. Он является родным продукту простых абелевых разновидностей с комплексное умножение.

Кривая Ферма также имеет гональность

{ Displaystyle п-1. }

Сорта Ферма

Уравнения типа Ферма с большим количеством переменных определяют как проективные многообразия в Сорта Ферма.

Связанные исследования

Бейкер, Мэтью; Гонсалес-Хименес, Энрике; Гонсалес, Хосеп; Пунен, Бьорн (2005), «Результаты о конечности для модулярных кривых рода не меньше 2», Американский журнал математики, 127 (6): 1325–1387, JSTOR 40068023
Gross, Benedict H .; Рорлих, Дэвид Э. (1978), "Некоторые результаты о группе Морделла-Вейля якобиана кривой Ферма" (PDF), Inventiones Mathematicae, 44 (3): 201–224, Дои:10.1007 / BF01403161, заархивировано из оригинал (PDF) на 2011-07-13
Классен, Мэтью Дж .; Дебарре, Оливье (1994), "Точки низкой степени на гладких плоских кривых", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 1994 (446), Дои:10.1515 / crll.1994.446.81</ref>
Цермиас, Павлос (2004), "Точки низкой степени на кривых Гурвица-Клейна", Труды Американского математического общества, 356 (3): 939–951, JSTOR 1195002