Комплексное умножение - Complex multiplication

Эта статья посвящена теме теории эллиптические кривые. Для получения информации об умножении комплексных чисел см. сложные числа.

В математика, комплексное умножение (СМ) - теория эллиптические кривые E которые имеют кольцо эндоморфизмов больше, чем целые числа; а также теория в высших измерениях абелевы разновидности А имея довольно эндоморфизмы в определенном точном смысле (это примерно означает, что действие на касательное пространство на элемент идентичности из А это прямая сумма одномерных модули ). Другими словами, он содержит теорию эллиптические функции с дополнительными симметриями, такими как видимые, когда решетка периодов это Целое гауссово решетка или же Целое число Эйзенштейна решетка.

В нем есть аспект, относящийся к теории специальные функции, потому что такие эллиптические функции, или абелевы функции из несколько сложных переменных, тогда являются «очень специальными» функциями, удовлетворяющими дополнительным тождествам и принимающими явно вычисляемые специальные значения в определенных точках. Это также оказалось центральной темой в алгебраическая теория чисел, позволяя некоторые особенности теории циклотомические поля переноситься на более широкие области применения.

Дэвид Гильберт как говорят, заметил, что теория комплексного умножения эллиптических кривых была не только самой красивой частью математики, но и всей науки.^[1]

Пример расширения мнимого квадратичного поля

Эллиптическая кривая над комплексными числами получается как фактор комплексной плоскости по решетке Λ, натянутой здесь на два основных периода ω₁ и ω₂. Показано также четырехкручение, соответствующее решетке 1/4 Λ, содержащей Λ.

Рассмотрим мнимое квадратичное поле ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})\ ,d\in \mathbb {Z} ,d>0}$.Эллиптическая функция ${\displaystyle f}$ говорят, что имеет комплексное умножение если существует алгебраическая связь между ${\displaystyle f(z)}$ и ${\displaystyle f(\lambda z)}$ для всех ${\displaystyle \lambda }$ в ${\displaystyle K}$ .

Наоборот, предположил Кронекер - в том, что стало известно как Kronecker Jugendtraum - что каждое абелево расширение ${\displaystyle K}$ можно получить уравнением (корнями) подходящей эллиптической кривой с комплексным умножением. По сей день это остается одним из немногих случаев Двенадцатая проблема Гильберта который был фактически решен.

Примером эллиптической кривой с комплексным умножением является

${\displaystyle \mathbb {C} /(\theta \mathbb {Z} [i])\ \ \;}$

куда Z[я] это Целое гауссово кольцо, а θ - любое ненулевое комплексное число. Любой такой комплекс тор имеет гауссовские целые числа как кольцо эндоморфизмов. Известно, что все соответствующие кривые можно записать как

${\displaystyle Y^{2}=4X^{3}-aX\ \,}$

для некоторых ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$, которая очевидно имеет два сопряженных порядка 4 автоморфизмы отправка

${\displaystyle Y\rightarrow \pm iY,\ \ \ \ X\rightarrow -X}$

в соответствии с действием я на Эллиптические функции Вейерштрасса.

В более общем смысле, рассмотрим решетку L, аддитивную группу в комплексной плоскости, порожденную ${\displaystyle \omega _{1},\omega _{2}}$ . Затем мы определяем функцию Вейерштрасса переменной ${\displaystyle z}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} }$ следующее:

${\displaystyle \wp (z;L)=\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}\left\{{\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\}}$

куда

${\displaystyle g_{2}=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-4}}$

${\displaystyle g_{3}=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-6}.}$

Позволять ${\displaystyle \wp '}$ быть производной от ${\displaystyle \wp }$. Тогда мы получаем изоморфизм:

${\displaystyle w\mapsto (\wp (w):\wp '(w):1)\in \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$

через соответствие 1 к 1 между комплексной группой торов ${\displaystyle \mathbb {C} /L}$ и проективная эллиптическая кривая, выраженная в однородных координатах

${\displaystyle E=\left\{(x:y:z)\in \mathbb {C} ^{3}\mid y^{2}z=4x^{3}-g_{2}xz^{2}-g_{3}z^{3}\;\right\}}$

и где бесконечно удаленная точка, нулевой элемент группового закона эллиптической кривой, по соглашению считается равной ${\displaystyle (0:1:0)}$. Если решетка, определяющая эллиптическую кривую, действительно сохраняется при умножении на (возможно, собственное подкольцо) кольца целых чисел ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{K}}$ из ${\displaystyle K}$, то кольцо аналитических автоморфизмов ${\displaystyle E=\mathbb {C} /L}$ оказывается изоморфным этому (под) кольцу.

Если мы перепишем ${\displaystyle \tau =\omega _{1}/\omega _{2}}$ куда ${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$ и ${\displaystyle \Delta (L)=g_{2}(L)^{3}-27g_{3}(L)^{3}}$, тогда

${\displaystyle j(\tau )=j(E)=j(L)=2^{6}3^{3}g_{2}(L)^{3}/\Delta (L)\ .}$

Это означает, что j-инвариантный из ${\displaystyle E}$ является алгебраическое число - лежа в ${\displaystyle K}$ - если ${\displaystyle E}$ имеет комплексное умножение.

Абстрактная теория эндоморфизмов

Кольцо эндоморфизмов эллиптической кривой может быть одной из трех форм: целые числа Z; ан порядок в поле мнимых квадратичных чисел; или заказ в определенном кватернионная алгебра над Q.^[2]

Когда поле определения - это конечное поле, всегда существуют нетривиальные эндоморфизмы эллиптической кривой, исходящие из Карта Фробениуса, Итак комплексное умножение случай в некотором смысле типичный (а терминология применяется нечасто). Но когда базовым полем является числовое поле, сложное умножение является исключением. Известно, что в общем случае сложнее всего разрешить случай комплексного умножения. Гипотеза Ходжа.

Кронекеровские и абелевы расширения

Кронекер первым постулировал, что ценности эллиптические функции в точках кручения должно хватить, чтобы сгенерировать все абелевы расширения для мнимых квадратичных полей идея, восходящая к Эйзенштейн в некоторых случаях и даже Гаусс. Это стало известно как Kronecker Jugendtraum; и именно это, безусловно, побудило Гильберта сделать вышеупомянутое замечание, поскольку оно явно указывает теория поля классов в пути корни единства do для абелевых расширений поле рациональных чисел, через Закон взаимности Шимуры.

Действительно, пусть K мнимое квадратичное поле с полем классов ЧАС. Позволять E - эллиптическая кривая с комплексным умножением на целые числа K, определенная на ЧАС. Тогда максимальное абелево расширение из K генерируется Икс-координаты точек конечного порядка на некоторой модели Вейерштрасса для E над ЧАС.^[3]

Было предпринято множество попыток обобщения идей Кронекера; они, однако, лежат несколько наклонно по отношению к главному толчку Философия Ленглендса, и окончательного утверждения в настоящее время нет.

Последствия выборки

Не случайно

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=262537412640768743.99999999999925007\dots \,}$

или эквивалентно,

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=640320^{3}+743.99999999999925007\dots \,}$

так близко к целому числу. Этот замечательный факт объясняется теорией комплексного умножения вместе с некоторыми знаниями о модульные формы, и тот факт, что

${\displaystyle \mathbf {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right]}$

это уникальная область факторизации.

Здесь ${\displaystyle (1+{\sqrt {-163}})/2}$ удовлетворяет α² = α − 41. В целом, S[α] обозначает множество всех многочлен выражения в α с коэффициентами в S, которое является наименьшим кольцом, содержащим α и S. Поскольку α удовлетворяет этому квадратному уравнению, требуемые многочлены могут быть ограничены до первой степени.

В качестве альтернативы,

${\displaystyle e^{\pi {\sqrt {163}}}=12^{3}(231^{2}-1)^{3}+743.99999999999925007\dots \,}$

внутренняя структура из-за определенных Серия Эйзенштейна, и аналогичными простыми выражениями для других Числа Хегнера.

Особые модули

Точки верхней полуплоскости τ которые соответствуют отношениям периодов эллиптических кривых над комплексными числами с комплексным умножением, являются в точности мнимыми квадратичными числами.^[4] Соответствующие модульные инварианты j(τ) являются особые модули, происходящий из старой терминологии, в которой «сингулярный» относился к свойству наличия нетривиальных эндоморфизмов, а не к особая кривая.^[5]

В модульная функция j(τ) алгебраичен на мнимых квадратичных числах τ:^[6] это единственные алгебраические числа в верхней полуплоскости, для которых j является алгебраическим.^[7]

Если Λ - решетка с отношением периодов τ затем мы пишем j(Λ) для j(τ). Если в дальнейшем Λ - идеал а в кольце целых чисел О_K квадратичного мнимого поля K затем мы пишем j(а) для соответствующего сингулярного модуля. Ценности j(а) являются действительными целыми алгебраическими числами и порождают Поле классов Гильберта ЧАС из K: the расширение поля степень [ЧАС:K] = час это номер класса K и ЧАС/K это Расширение Галуа с Группа Галуа изоморфен группа идеального класса из K. Группа классов действует на значения j(а) к [б] : j(а) → j(ab).

В частности, если K имеет класс номер один, тогда j(а) = j(О) является целым рациональным числом: например, j(Z[i]) = j(i) = 1728.

Смотрите также

• Абелево многообразие CM-типа, высшие измерения
• Алгебраический персонаж Гекке
• Точка Хегнера
• Двенадцатая проблема Гильберта
• Формальная группа Любина – Тейта, местные поля
• Дринфельд штука, поле глобальной функции дело

Примечания

1. Рид, Констанс (1996), Гильберта, Springer, стр.200, ISBN  978-0-387-94674-0
2. Сильверман (1989) стр. 102
3. Серр (1967) стр. 295
4. Сильверман (1986) стр. 339
5. Сильверман (1994) стр. 104
6. Серр (1967) стр. 293
7. Бейкер, Алан (1975). Теория трансцендентных чисел. Издательство Кембриджского университета. п. 56. ISBN  0-521-20461-5. Zbl  0297.10013.

Рекомендации

• Borel, A .; Chowla, S .; Herz, C. S .; Iwasawa, K .; Серр, Ж.-П. Семинар по комплексному умножению. Семинар проводился в Институте перспективных исследований, Принстон, штат Нью-Джерси, 1957–58. Конспект лекций по математике, № 21 Springer-Verlag, Берлин-Нью-Йорк, 1966 г.
• Хусемёллер, Дейл Х. (1987). Эллиптические кривые. Тексты для выпускников по математике. 111. С приложением Рут Лоуренс. Springer-Verlag. ISBN  0-387-96371-5. Zbl  0605.14032.
• Ланг, Серж (1983). Комплексное умножение. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук]. 255. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-90786-6. Zbl  0536.14029.
• Серр, Ж.-П. (1967). «XIII. Комплексное умножение». В Касселс, J.W.S.; Фрёлих, Альбрехт (ред.). Алгебраическая теория чисел. Академическая пресса. С. 292–296.
• Шимура, Горо (1971). Введение в арифметическую теорию автоморфных функций. Публикации Математического общества Японии. 11. Токио: Иванами Сётэн. Zbl  0221.10029.
• Шимура, Горо (1998). Абелевы многообразия с комплексным умножением и модулярными функциями. Принстонский математический ряд. 46. Принстон, штат Нью-Джерси: Princeton University Press. ISBN  0-691-01656-9. Zbl  0908.11023.
• Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметика эллиптических кривых. Тексты для выпускников по математике. 106. Springer-Verlag. ISBN  0-387-96203-4. Zbl  0585.14026.
• Сильверман, Джозеф Х. (1994). Дополнительные вопросы по арифметике эллиптических кривых. Тексты для выпускников по математике. 151. Springer-Verlag. ISBN  0-387-94328-5. Zbl  0911.14015.

внешняя ссылка

• Комплексное умножение из PlanetMath.org
• Примеры эллиптических кривых с комплексным умножением из PlanetMath.org
• Рибет, Кеннет А. (Октябрь 1995 г.). «Представления Галуа и модульные формы». Бюллетень Американского математического общества. 32 (4): 375–402. arXiv:математика / 9503219. CiteSeerX  10.1.1.125.6114. Дои:10.1090 / s0273-0979-1995-00616-6.