Местное поле - Local field

В математика, а местное поле это особый вид поле это локально компактный топологическое поле по отношению к недискретная топология.^[1]Учитывая такое поле, абсолютная величина можно по нему определить. Есть два основных типа локальных полей: те, в которых абсолютное значение равно Архимедов и те, в которых его нет. В первом случае локальное поле называют Архимедово локальное поле, во втором случае его называют неархимедово локальное поле. Локальные поля естественным образом возникают в теория чисел так как завершение из глобальные поля.

Хотя архимедовы локальные поля были довольно хорошо известны в математике уже не менее 250 лет, первые примеры неархимедовых локальных полей, поля p-адические числа для положительного простого целого числа п, были представлены Курт Хенсель в конце 19 века.

Каждое локальное поле изоморфный (как топологическое поле) к одному из следующих:^[2]

• Архимедовы локальные поля (характеристика ноль): действительные числа р, а сложные числа C.
• Неархимедовы локальные поля нулевой характеристики: конечные расширения из п-адические числа Q_п (где п есть ли простое число ).
• Неархимедовы локальные поля характеристики п (для п любое данное простое число): поле формальная серия Laurent F_q((Т)) через конечное поле F_q, где q это мощность из п.

Существует эквивалентное определение неархимедова локального поля: это поле, которое полная относительно дискретной оценки и чей поле вычетов конечно. В частности, что важно для теории чисел, классы локальных полей проявляются как пополнения поля алгебраических чисел относительно их дискретной оценки, соответствующей одному из их максимальных идеалов. В исследовательских работах по современной теории чисел часто рассматривается более общее понятие, требующее только того, чтобы поле вычетов было идеально положительной характеристики, не обязательно конечной.^[3] В этой статье используется первое определение.

Индуцированное абсолютное значение

Учитывая такое абсолютное значение в поле K, можно определить следующую топологию на K: для положительного действительного числа м, определим подмножество B_м из K от

${\displaystyle B_{m}:=\{a\in K:|a|\leq m\}.}$

Затем б + В_м составить основа соседства из б в K.

И наоборот, топологическое поле с недискретной локально компактной топологией имеет абсолютное значение, определяющее его топологию. Его можно построить с помощью Мера Хаара из аддитивная группа поля.

Основные характеристики неархимедовых локальных полей

Для неархимедова локального поля F (с абсолютным значением, обозначенным | · |) важны следующие объекты:

• его кольцо целых чисел ${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{a\in F:|a|\leq 1\}}$ который является кольцо дискретной оценки, это закрытый единичный мяч из F, и является компактный;
• то единицы в его кольце целых чисел ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }=\{a\in F:|a|=1\}}$ который образует группа и это единичная сфера из F;
• единственный ненулевой главный идеал ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ в его кольце целых чисел, которое является его открытым единичным шаром ${\displaystyle \{a\in F:|a|<1\}}$;
• а генератор ϖ из ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ называется униформизатор из F;
• его поле вычетов ${\displaystyle k={\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}}$ которая конечна (поскольку компактна и дискретный ).

Каждый ненулевой элемент а из F можно записать как а = ϖ^пты с участием ты единица, и п уникальное целое число. нормализованная оценка из F это сюръективная функция v : F → Z ∪ {∞} определяется отправкой ненулевого а к единственному целому числу п такой, что а = ϖ^пты с участием ты единицу и отправив 0 на ∞. Если q это мощность поля вычетов модуль на F индуцированный его структурой как локальное поле задается^[4]

${\displaystyle |a|=q^{-v(a)}.}$

Эквивалентное и очень важное определение неархимедова локального поля состоит в том, что это поле, которое полная относительно дискретной оценки и поле вычетов которого конечно.

Примеры

1. В п-адические числа: кольцо целых чисел Q_п кольцо п-адические целые числа Z_п. Его главный идеал пZ_п и его поле вычетов Z/пZ. Каждый ненулевой элемент Q_п можно записать как ты п^п где ты единица в Z_п и п целое число, тогда v(ты п^п) = п для нормированной оценки.
2. Формальный ряд Лорана над конечным полем: кольцо целых чисел F_q((Т)) - кольцо формальный степенной ряд F_q[[Т]]. Его максимальный идеал равен (Т) (т.е. степенной ряд, постоянный срок равно нулю) и его поле вычетов равно F_q. Его нормализованная оценка связана с (нижней) степенью формального ряда Лорана следующим образом:

   ${\displaystyle v\left(\sum _{i=-m}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)=-m}$ (где а_−м не равно нулю).

3. Формальный ряд Лорана по комплексным числам имеет вид не локальное поле. Например, его поле вычетов C[[Т]]/(Т) = C, что не является конечным.

Высшие группы единиц

В п^th высшая группа единиц неархимедова локального поля F является

${\displaystyle U^{(n)}=1+{\mathfrak {m}}^{n}=\left\{u\in {\mathcal {O}}^{\times }:u\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,{\mathfrak {m}}^{n})\right\}}$

для п ≥ 1. Группа U⁽¹⁾ называется группа основных единиц, и любой его элемент называется основная единица. Полная группа юнитов ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }}$ обозначается U⁽⁰⁾.

Высшие группы единиц образуют убывающую фильтрация группы единиц

${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }\supseteq U^{(1)}\supseteq U^{(2)}\supseteq \cdots }$

чья частные даны

${\displaystyle {\mathcal {O}}^{\times }/U^{(n)}\cong \left({\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}^{n}\right)^{\times }{\text{ and }}\,U^{(n)}/U^{(n+1)}\approx {\mathcal {O}}/{\mathfrak {m}}}$

для п ≥ 1.^[5] (Вот "${\displaystyle \approx }$"означает неканонический изоморфизм.)

Структура группы единиц

Мультипликативная группа ненулевых элементов неархимедова локального поля F изоморфен

${\displaystyle F^{\times }\cong (\varpi )\times \mu _{q-1}\times U^{(1)}}$

где q - порядок поля вычетов, а μ_q−1 группа (q−1) -й корень из единицы (в F). Ее структура как абелевой группы зависит от ее характеристика:

• Если F имеет положительную характеристику п, тогда

${\displaystyle F^{\times }\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /{(q-1)}\oplus \mathbf {Z} _{p}^{\mathbf {N} }}$

где N обозначает натуральные числа;

• Если F имеет нулевую характеристику (т.е. является конечным продолжением Q_п степени d), тогда

${\displaystyle F^{\times }\cong \mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /(q-1)\oplus \mathbf {Z} /p^{a}\oplus \mathbf {Z} _{p}^{d}}$

где а ≥ 0 определено так, что группа п-силовые корни единства в F является ${\displaystyle \mu _{p^{a}}}$.^[6]

Теория локальных полей

Эта теория включает изучение типов локальных полей, расширение локальных полей с помощью Лемма Гензеля, Расширения Галуа местных полей, группы ветвления фильтрации Группы Галуа локальных полей, поведение отображения нормы на локальных полях, локальный гомоморфизм взаимности и теорема существования в теория поля локальных классов, местная переписка Ленглендса, Теория Ходжа-Тейта (также называется p-адическая теория Ходжа ), явные формулы для Символ Гильберта в теории поля локальных классов, см., например,^[7]

Многомерные локальные поля

Основная статья: Высшее местное поле

Локальное поле иногда называют одномерное локальное поле.

Неархимедово локальное поле можно рассматривать как поле дробей пополнения локального кольца одномерной арифметической схемы ранга 1 в его неособой точке.

Для неотрицательное целое число п, п-мерное локальное поле - это полное поле дискретного нормирования, поле вычетов которого является (п - 1) -мерное локальное поле.^[8] В зависимости от определения локального поля нульмерное локальное поле тогда является либо конечным полем (с определением, используемым в этой статье), либо совершенным полем положительной характеристики.

С геометрической точки зрения, п-мерные локальные поля с последним конечным полем вычетов естественным образом связаны с полным флагом подсхем п-мерная арифметическая схема.

Смотрите также

• Лемма Гензеля
• Группа ветвления
• Теория поля локальных классов
• Высшее местное поле

Заметки

1. Страница 20 из Weil 1995
2. J.S. Милн. «Алгебраическая теория чисел» (PDF). п. 125-126.
3. См., Например, определение 1.4.6 Фесенко и Востоков 2002
4. Weil 1995, глава I, теорема 6
5. Нойкирх 1999, п. 122
6. Нойкирх 1999, теорема II.5.7
7. Главы 1-4, 7 из Фесенко и Востоков 2002
8. Определение 1.4.6 из Фесенко и Востоков 2002

использованная литература

• Вайль, Андре (1995), Основная теория чисел, Классика по математике, Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN  3-540-58655-5
• Фесенко, Иван Борисович; Востоков, Сергей В. (2002), Локальные поля и их расширения, Переводы математических монографий, 121 (Второе изд.), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-3259-2, Г-Н  1915966
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8. Г-Н  1697859. Zbl  0956.11021.

дальнейшее чтение

• А. Фрелих, «Локальные поля», в J.W.S. Cassels и А. Фрелих (ред.), Алгебраическая теория чисел, Академическая пресса, 1973. Глава I.
• Милн, Джеймс, Алгебраическая теория чисел.

внешние ссылки

• «Местное поле», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]