Формальный степенной ряд - Formal power series

В математика, а формальный степенной ряд является обобщением многочлен, где количество членов может быть бесконечным без требований сходимости. Таким образом, ряд может больше не представлять функцию своей переменной, а просто формальную последовательность коэффициентов, в отличие от степенной ряд, который определяет функцию, принимая числовые значения переменной в пределах радиуса сходимости. В формальных степенных рядах степени переменной используются только в качестве держателей позиций для коэффициентов, так что коэффициент при ${\displaystyle x^{5}}$ это пятый член в последовательности. В комбинаторика, метод производящие функции использует формальные степенные ряды для представления числовых последовательности и мультимножества, например, позволяя краткие выражения для рекурсивно определенные последовательности независимо от того, может ли рекурсия быть решена явно. В более общем смысле, формальные степенные ряды могут включать ряды с любым конечным (или счетным) числом переменных и с коэффициентами в произвольном кольцо.

В алгебраическая геометрия и коммутативная алгебра, кольца формального степенного ряда особенно податливы топологически полный местные кольца, позволяя исчисление -подобные аргументы в чисто алгебраических рамках. Они во многом аналогичны p-адические числа. Формальный степенной ряд может быть создан из Полиномы Тейлора с помощью формальные модули.

Введение

Формальный степенной ряд можно условно представить как объект, похожий на многочлен, но с бесконечно большим числом членов. В качестве альтернативы для тех, кто знаком с степенной ряд (или Серия Тейлор ), можно представить себе формальный степенной ряд как степенной ряд, в котором мы игнорируем вопросы конвергенция не предполагая, что переменная Икс обозначает любое числовое значение (даже не неизвестное значение). Например, рассмотрим серию

${\displaystyle A=1-3X+5X^{2}-7X^{3}+9X^{4}-11X^{5}+\cdots .}$

Если бы мы изучили это как степенной ряд, его свойства включали бы, например, то, что его радиус схождения равно 1. Однако, как формальный степенной ряд, мы можем полностью игнорировать это; все, что имеет значение, - это последовательность коэффициенты [1, −3, 5, −7, 9, −11, ...]. Другими словами, формальный степенной ряд - это объект, который просто записывает последовательность коэффициентов. Вполне допустимо рассматривать формальный степенной ряд с факториалы [1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ...] в качестве коэффициентов, даже если соответствующий степенной ряд расходится для любого ненулевого значения Икс.

Арифметика формальных степенных рядов выполняется просто при условии, что ряды являются многочленами. Например, если

${\displaystyle B=2X+4X^{3}+6X^{5}+\cdots ,}$

затем мы добавляем А и B посрочно:

${\displaystyle A+B=1-X+5X^{2}-3X^{3}+9X^{4}-5X^{5}+\cdots .}$

Мы можем умножать формальные степенные ряды, снова просто рассматривая их как многочлены (см., В частности, Продукт Коши ):

${\displaystyle AB=2X-6X^{2}+14X^{3}-26X^{4}+44X^{5}+\cdots .}$

Обратите внимание, что каждый коэффициент в продукте AB зависит только от конечный количество коэффициентов А и B. Например, Икс⁵ срок дается

${\displaystyle 44X^{5}=(1\times 6X^{5})+(5X^{2}\times 4X^{3})+(9X^{4}\times 2X).}$

По этой причине можно умножать формальные степенные ряды, не беспокоясь об обычных вопросах абсолютный, условный и равномерное схождение которые возникают при работе со степенными рядами в условиях анализ.

После того, как мы определили умножение для формальных степенных рядов, мы можем определить мультипликативные инверсии следующим образом. Мультипликативный обратный формального степенного ряда А это формальный степенной ряд C такой, что AC = 1, если такой формальный степенной ряд существует. Получается, что если А имеет мультипликативный обратный, он единственен, и мы обозначим его через А⁻¹. Теперь мы можем определить деление формального степенного ряда, определив B/А быть продуктом BA⁻¹, при условии, что обратное А существуют. Например, можно использовать определение умножения выше, чтобы проверить знакомую формулу

${\displaystyle {\frac {1}{1+X}}=1-X+X^{2}-X^{3}+X^{4}-X^{5}+\cdots .}$

Важной операцией над формальным степенным рядом является извлечение коэффициентов. В своей основной форме оператор извлечения коэффициентов ${\displaystyle [X^{n}]}$ применяется к формальному степенному ряду ${\displaystyle A}$ в одной переменной извлекает коэффициент ${\displaystyle n}$-я степень переменной, так что ${\displaystyle [X^{2}]A=5}$ и ${\displaystyle [X^{5}]A=-11}$. Другие примеры включают

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[X^{3}\right](B)&=4,\\\left[X^{2}\right](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})&=3Y^{3},\\\left[X^{2}Y^{3}\right](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})&=3,\\\left[X^{n}\right]\left({\frac {1}{1+X}}\right)&=(-1)^{n},\\\left[X^{n}\right]\left({\frac {X}{(1-X)^{2}}}\right)&=n.\end{aligned}}}$

Точно так же многие другие операции, выполняемые с многочленами, могут быть расширены до настройки формального степенного ряда, как описано ниже.

Кольцо формальных степенных рядов

Если рассматривать множество всех формальных степенных рядов в Икс с коэффициентами в коммутативное кольцо р, элементы этого набора вместе составляют другое кольцо, которое записывается ${\displaystyle R[[X]],}$ и назвал кольцо формального степенного ряда в переменнойИкс над р.

Определение кольца формальных степенных рядов

Можно охарактеризовать ${\displaystyle R[[X]]}$ абстрактно как завершение из многочлен кольцо ${\displaystyle R[X]}$ оснащен особым метрика. Это автоматически дает ${\displaystyle R[[X]]}$ структура топологическое кольцо (и даже полного метрического пространства). Но общая конструкция пополнения метрического пространства более сложна, чем то, что здесь требуется, и сделает формальные степенные ряды более сложными, чем они есть на самом деле. Можно описать ${\displaystyle R[[X]]}$ более явно и определим кольцевую структуру и топологическую структуру отдельно, как показано ниже.

Структура кольца

В комплекте, ${\displaystyle R[[X]]}$ можно построить как множество ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ всех бесконечных последовательностей элементов ${\displaystyle R}$, индексируется натуральные числа (принято включать 0). Обозначение последовательности, член которой по индексу ${\displaystyle n}$ является ${\displaystyle a_{n}}$ от ${\displaystyle (a_{n})}$, сложение двух таких последовательностей определяется как

${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

и умножение на

${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\times (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{\!n\in \mathbb {N} }.}$

Этот вид продукции называется Продукт Коши двух последовательностей коэффициентов и представляет собой своего рода дискретную свертка. С помощью этих операций ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ становится коммутативным кольцом с нулевым элементом ${\displaystyle (0,0,0,\ldots )}$ и мультипликативная идентичность ${\displaystyle (1,0,0,\ldots )}$.

Фактически, это произведение используется для определения произведения многочленов на одно неопределенное, что предполагает использование аналогичных обозначений. Один встраивает ${\displaystyle R}$ в ${\displaystyle R[[X]]}$ отправив любую (константу) ${\displaystyle a\in R}$ к последовательности ${\displaystyle (a,0,0,\ldots )}$ и обозначает последовательность ${\displaystyle (0,1,0,0,\ldots )}$ от ${\displaystyle X}$; тогда, используя приведенные выше определения, каждая последовательность только с конечным числом ненулевых членов может быть выражена в терминах этих специальных элементов как

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},0,0,\ldots )=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i};}$

это в точности многочлены от ${\displaystyle X}$. При этом вполне естественно и удобно обозначить общую последовательность ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ формальным выражением ${\displaystyle \textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}}$, хотя последний не является выражение, образованное операциями сложения и умножения, определенными выше (из которых могут быть построены только конечные суммы). Это условное обозначение позволяет переформулировать приведенные выше определения как

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }(a_{i}+b_{i})X^{i}}$

и

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)X^{n}.}$

что довольно удобно, но нужно помнить о различии между формальным суммированием (простое соглашение) и фактическим сложением.

Топологическая структура

Условно оговорив, что

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i},\qquad (1)}$

хотелось бы интерпретировать правую часть как четко определенное бесконечное суммирование. С этой целью понятие сходимости в ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ определен и топология на ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ построен. Есть несколько эквивалентных способов определения желаемой топологии.

• Мы можем дать ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ то топология продукта, где каждая копия ${\displaystyle R}$ дается дискретная топология.

• Мы можем дать ${\displaystyle R^{\mathbb {N} }}$ то I-адическая топология, где ${\displaystyle I=(X)}$ идеал, порожденный ${\displaystyle X}$, состоящий из всех последовательностей, первый член которых ${\displaystyle a_{0}}$ равно нулю.

• Желаемую топологию можно также получить из следующих метрика. Расстояние между отдельными последовательностями ${\displaystyle (a_{n}),(b_{n})\in R^{\mathbb {N} },}$ определяется как

${\displaystyle d((a_{n}),(b_{n}))=2^{-k},}$

где ${\displaystyle k}$ самый маленький натуральное число такой, что ${\displaystyle a_{k}\neq b_{k}}$; расстояние между двумя равными последовательностями, конечно, равно нулю.

Неформально две последовательности ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ и ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ становиться все ближе и ближе тогда и только тогда, когда все больше и больше их условий точно совпадают. Формально последовательность частичные суммы некоторого бесконечного суммирования сходится, если для каждой фиксированной степени ${\displaystyle X}$ коэффициент стабилизируется: есть точка, за которой все последующие частичные суммы имеют одинаковый коэффициент. Очевидно, что это верно для правой части (1), независимо от значений ${\displaystyle a_{n}}$, поскольку включение срока ${\displaystyle i=n}$ дает последнее (и фактически единственное) изменение коэффициента при ${\displaystyle X^{n}}$. Также очевидно, что предел последовательности частичных сумм равна левой части.

Эта топологическая структура вместе с описанными выше кольцевыми операциями образует топологическое кольцо. Это называется кольцо формального степенного ряда над ${\displaystyle R}$ и обозначается ${\displaystyle R[[X]]}$. Топология обладает тем полезным свойством, что бесконечное суммирование сходится тогда и только тогда, когда последовательность его членов сходится к 0, что просто означает, что любая фиксированная степень ${\displaystyle X}$ встречается только в конечном числе членов.

Топологическая структура позволяет гораздо более гибко использовать бесконечные суммирования. Например, правило умножения можно просто переформулировать как

${\displaystyle \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i,j\in \mathbb {N} }a_{i}b_{j}X^{i+j},}$

так как только конечное число членов справа влияет на любой фиксированный ${\displaystyle X^{n}}$. Бесконечные произведения также определяются топологической структурой; видно, что бесконечное произведение сходится тогда и только тогда, когда последовательность его множителей сходится к 1.

Альтернативные топологии

Приведенная выше топология - это лучшая топология для которого

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}}$

всегда сходится как суммирование к формальному степенному ряду, обозначенному тем же выражением, и часто бывает достаточно придать смысл бесконечным суммам и произведениям или другим видам ограничений, которые желают использовать для обозначения определенного формального степенного ряда. Однако иногда может случиться так, что кто-то захочет использовать более грубую топологию, так что некоторые выражения станут сходящимися, которые в противном случае расходились бы. Это особенно актуально, когда базовое кольцо ${\displaystyle R}$ уже идет с топологией, отличной от дискретной, например, если это также кольцо формальных степенных рядов.

Рассмотрим кольцо формальных степенных рядов: ${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]][[Y]]}$; то топология приведенной выше конструкции относится только к неопределенным ${\displaystyle Y}$, поскольку поставленная топология ${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]]}$ была заменена на дискретную топологию при определении топологии всего кольца. Так

${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {N} }XY^{i}}$

сходится к предложенному степенному ряду, который можно записать как ${\displaystyle {\tfrac {X}{1-Y}}}$; однако суммирование

${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {N} }X^{i}Y}$

будет считаться расходящимся, поскольку каждый член влияет на коэффициент ${\displaystyle Y}$ (этот коэффициент сам по себе является степенным рядом ${\displaystyle X}$). Эта асимметрия исчезает, если степенной ряд звенит в ${\displaystyle Y}$ дается топология продукта, где каждая копия ${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]]}$ дается его топология как кольцо формальных степенных рядов, а не дискретная топология. Как следствие, для сходимости последовательности элементов ${\displaystyle \mathbb {Z} [[X]][[Y]]}$ тогда достаточно, чтобы коэффициент при каждой степени ${\displaystyle Y}$ сходится к формальному степенному ряду по ${\displaystyle X}$, более слабое состояние, чем полная стабилизация; например, во втором примере, приведенном здесь, коэффициент ${\displaystyle Y}$сходится к ${\displaystyle {\tfrac {1}{1-X}}}$, поэтому все суммирование сходится к ${\displaystyle {\tfrac {Y}{1-X}}}$.

Этот способ определения топологии на самом деле является стандартным для повторяющихся построений колец формальных степенных рядов и дает ту же топологию, которую можно получить, взяв формальные степенные ряды сразу по всем неопределенным. В приведенном выше примере это означало бы создание ${\displaystyle \mathbb {Z} [[X,Y]],}$ причем здесь последовательность сходится тогда и только тогда, когда коэффициент при каждом мономе ${\displaystyle X^{i}Y^{j}}$ стабилизируется. Эта топология, которая также является ${\displaystyle I}$-адическая топология, где ${\displaystyle I=(X,Y)}$ идеал, порожденный ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$, по-прежнему обладает тем свойством, что суммирование сходится тогда и только тогда, когда его члены стремятся к 0.

Тот же принцип можно использовать для сближения других расходящихся пределов. Например, в ${\displaystyle \mathbb {R} [[X]]}$ предел

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {X}{n}}\right)^{\!n}}$

не существует, поэтому, в частности, он не сходится к

${\displaystyle \exp(X)\ =\ \sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {X^{n}}{n!}}.}$

Это потому, что для ${\displaystyle i\geq 2}$ коэффициент ${\displaystyle {\tbinom {n}{i}}/n^{i}}$ из ${\displaystyle X^{i}}$ не стабилизируется как ${\displaystyle n\to \infty }$. Однако он сходится в обычной топологии ${\displaystyle \mathbb {R} }$, а на самом деле коэффициенту ${\displaystyle {\tfrac {1}{i!}}}$ из ${\displaystyle \exp(X)}$. Следовательно, если дать ${\displaystyle \mathbb {R} [[X]]}$ топология продукта ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ где топология ${\displaystyle \mathbb {R} }$ - обычная топология, а не дискретная, то указанный предел сходился бы к ${\displaystyle \exp(X)}$. Однако этот более снисходительный подход не является стандартом при рассмотрении формальных степенных рядов, поскольку он привел бы к соображениям сходимости, столь же тонким, как и в анализ, в то время как философия формальных степенных рядов, напротив, делает вопросы сходимости настолько тривиальными, насколько это возможно. С этой топологией было бы не случай, когда суммирование сходится тогда и только тогда, когда его члены стремятся к 0.

Универсальная собственность

Кольцо ${\displaystyle R[[X]]}$ можно охарактеризовать следующим универсальная собственность. Если ${\displaystyle S}$ коммутативная ассоциативная алгебра над ${\displaystyle R}$, если ${\displaystyle I}$ это идеал ${\displaystyle S}$ так что ${\displaystyle I}$-адическая топология на ${\displaystyle S}$ завершено, и если ${\displaystyle x}$ является элементом ${\displaystyle I}$, то есть уникальный ${\displaystyle \Phi :R[[X]]\to S}$ со следующими свойствами:

• ${\displaystyle \Phi }$ является ${\displaystyle R}$-алгебр гомоморфизм

• ${\displaystyle \Phi }$ непрерывно

• ${\displaystyle \Phi (X)=x}$.

Операции над формальными степенными рядами

Можно выполнять алгебраические операции над степенными рядами для создания новых степенных рядов.^[1][2] Помимо операций с кольцевой структурой, определенных выше, мы имеем следующее.

Силовая серия поднята до власти

Для любого натуральное число п у нас есть

${\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}X^{k}\right)^{\!n}=\,\sum _{m=0}^{\infty }c_{m}X^{m},}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&=a_{0}^{n},\\c_{m}&={\frac {1}{ma_{0}}}\sum _{k=1}^{m}(kn-m+k)a_{k}c_{m-k},\ \ \ m\geq 1.\end{aligned}}}$

(Эта формула может использоваться, только если м и а₀ обратимы в кольце коэффициентов.)

В случае формальных степенных рядов с комплексными коэффициентами комплексные степени хорошо определены по крайней мере для рядов ж с постоянным членом, равным 1. В этом случае ${\displaystyle f^{\alpha }}$ может быть определен либо композицией с биномиальный ряд (1+Икс)^α, или по композиции с экспонентой и логарифмическим рядом, ${\displaystyle f^{\alpha }=\exp(\alpha \log(f)),}$ или как решение дифференциального уравнения ${\displaystyle f(f^{\alpha })'=\alpha f^{\alpha }f'}$ с постоянным членом 1, три определения эквивалентны. Правила исчисления ${\displaystyle (f^{\alpha })^{\beta }=f^{\alpha \beta }}$ и ${\displaystyle f^{\alpha }g^{\alpha }=(fg)^{\alpha }}$ легко следовать.

Мультипликативный обратный

Сериал

${\displaystyle A=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\in R[[X]]}$

обратима в ${\displaystyle R[[X]]}$ тогда и только тогда, когда его постоянный коэффициент ${\displaystyle a_{0}}$ обратима в ${\displaystyle R}$. Это условие необходимо по следующей причине: если мы предположим, что ${\displaystyle A}$ имеет обратный ${\displaystyle B=b_{0}+b_{1}x+\cdots }$ затем постоянный срок ${\displaystyle a_{0}b_{0}}$ из ${\displaystyle A\cdot B}$ - постоянный член тождественного ряда, т.е. он равен 1. Этого условия также достаточно; мы можем вычислить коэффициенты обратного ряда ${\displaystyle B}$ через явную рекурсивную формулу

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}},\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i},\ \ \ n\geq 1.\end{aligned}}}$

Важным частным случаем является то, что геометрическая серия формула действительна в ${\displaystyle R[[X]]}$:

${\displaystyle (1-X)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }X^{n}.}$

Если ${\displaystyle R=K}$ является полем, то ряд обратим тогда и только тогда, когда постоянный член не равен нулю, то есть тогда и только тогда, когда ряд не делится на ${\displaystyle X}$. Это значит, что ${\displaystyle K[[X]]}$ это кольцо дискретной оценки с униформизирующим параметром ${\displaystyle X}$.

Деление

Вычисление частного ${\displaystyle f/g=h}$

${\displaystyle {\frac {\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},}$

предполагая, что знаменатель обратим (то есть ${\displaystyle a_{0}}$ обратима в кольце скаляров), может быть выполнено как произведение ${\displaystyle f}$ и обратное ${\displaystyle g}$, или напрямую приравнивая коэффициенты в ${\displaystyle f=gh}$:

${\displaystyle c_{n}={\frac {1}{a_{0}}}\left(b_{n}-\sum _{k=1}^{n}a_{k}c_{n-k}\right).}$

Извлечение коэффициентов

Оператор извлечения коэффициентов применяется к формальному степенному ряду

${\displaystyle f(X)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}$

в Икс написано

${\displaystyle \left[X^{m}\right]f(X)}$

и извлекает коэффициент Икс^м, так что

${\displaystyle \left[X^{m}\right]f(X)=\left[X^{m}\right]\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{m}.}$

Сочинение

Учитывая формальный степенной ряд

${\displaystyle f(X)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots }$

${\displaystyle g(X)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}=b_{0}+b_{1}X+b_{2}X^{2}+\cdots ,}$

можно сформировать сочинение

${\displaystyle g(f(X))=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(f(X))^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},}$

где коэффициенты c_п определяются «расширением» полномочий ж(Икс):

${\displaystyle c_{n}:=\sum _{k\in \mathbb {N} ,|j|=n}b_{k}a_{j_{1}}a_{j_{2}}\cdots a_{j_{k}}.}$

Здесь сумма распространяется на все (k, j) с участием ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ и ${\displaystyle j\in \mathbb {N} _{+}^{k}}$ с участием ${\displaystyle |j|:=j_{1}+\cdots +j_{k}=n.}$

Более подробное описание этих коэффициентов дается в Формула Фаа ди Бруно, по крайней мере, в том случае, когда кольцо коэффициентов является полем характеристика 0.

Обратите внимание, что эта операция действительна только тогда, когда ${\displaystyle f(X)}$ имеет нет постоянного срока, так что каждый ${\displaystyle c_{n}}$ зависит только от конечного числа коэффициентов ${\displaystyle f(X)}$ и ${\displaystyle g(X)}$. Другими словами, серия для ${\displaystyle g(f(X))}$ сходится в топология из ${\displaystyle R[[X]]}$.

пример

Предположим, что кольцо ${\displaystyle R}$ имеет характеристику 0, и ненулевые целые числа обратимы в ${\displaystyle R}$. Если обозначить через ${\displaystyle \exp(X)}$ формальный степенной ряд

${\displaystyle \exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+{\frac {X^{4}}{4!}}+\cdots ,}$

тогда выражение

${\displaystyle \exp(\exp(X)-1)=1+X+X^{2}+{\frac {5X^{3}}{6}}+{\frac {5X^{4}}{8}}+\cdots }$

имеет смысл как формальный степенной ряд. Однако заявление

${\displaystyle \exp(\exp(X))\ {\stackrel {?}{=}}\ e\exp(\exp(X)-1)\ =\ e+eX+eX^{2}+{\frac {5eX^{3}}{6}}+\cdots }$

не является допустимым применением операции композиции для формальных степенных рядов. Скорее, это сбивает с толку понятия конвергенции в ${\displaystyle R[[X]]}$ и сближение в ${\displaystyle R}$; действительно, кольцо ${\displaystyle R}$ может даже не содержать числа ${\displaystyle e}$ с соответствующими свойствами.

Композиция инверсия

Всякий раз, когда формальная серия

${\displaystyle f(X)=\sum _{k}f_{k}X^{k}\in R[[X]]}$

имеет ж₀ = 0 и ж₁ быть обратимым элементом р, существует серия

${\displaystyle g(X)=\sum _{k}g_{k}X^{k}}$

это состав обратный из ${\displaystyle f}$, то есть составление ${\displaystyle f}$ с участием ${\displaystyle g}$ дает ряд, представляющий функция идентичности ${\displaystyle x=0+1x+0x^{2}+0x^{3}+\cdots }$. Коэффициенты при ${\displaystyle g}$ могут быть найдены рекурсивно, используя приведенную выше формулу для коэффициентов композиции, приравнивая их к коэффициентам композиции идентичности Икс (то есть 1 на степени 1 и 0 на каждой степени больше 1). В случае, когда кольцо коэффициентов представляет собой поле характеристики 0, Формула обращения Лагранжа (обсуждается ниже) предоставляет мощный инструмент для вычисления коэффициентов г, а также коэффициенты при (мультипликативных) степенях г.

Формальная дифференциация

Учитывая формальный степенной ряд

${\displaystyle f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}\in R[[X]],}$

мы определяем его формальная производная, обозначенный Df или ж ', от

${\displaystyle Df=f'=\sum _{n\geq 1}a_{n}nX^{n-1}.}$

Символ D называется оператор формального дифференцирования. Это определение просто имитирует почленное дифференцирование многочлена.

Эта операция р-линейный:

${\displaystyle D(af+bg)=a\cdot Df+b\cdot Dg}$

для любого а, б в р и любой ж, г в ${\displaystyle R[[X]].}$ Кроме того, формальная производная обладает многими свойствами обычного производная исчисления. Например, правило продукта действует:

${\displaystyle D(fg)\ =\ f\cdot (Dg)+(Df)\cdot g,}$

и Правило цепи тоже работает:

${\displaystyle D(f\circ g)=(Df\circ g)\cdot Dg,}$

всякий раз, когда определены соответствующие составы серий (см. выше в состав серии ).

Таким образом, в этом отношении формальные степенные ряды ведут себя как Серия Тейлор. Действительно, для ж определено выше, мы находим, что

${\displaystyle (D^{k}f)(0)=k!a_{k},}$

где D^k обозначает k-я формальная производная (то есть результат формального дифференцирования k раз).

Свойства

Алгебраические свойства кольца формальных степенных рядов

${\displaystyle R[[X]]}$ является ассоциативная алгебра над ${\displaystyle R}$ который содержит кольцо ${\displaystyle R[X]}$ многочленов над ${\displaystyle R}$; полиномы соответствуют последовательностям, заканчивающимся нулями.

В Радикал Якобсона из ${\displaystyle R[[X]]}$ это идеальный Сгенерированно с помощью ${\displaystyle X}$ и радикал Якобсона ${\displaystyle R}$; это подразумевается критерием обратимости элемента, рассмотренным выше.

В максимальные идеалы из ${\displaystyle R[[X]]}$ все возникают из тех, кто в ${\displaystyle R}$ следующим образом: идеальный ${\displaystyle M}$ из ${\displaystyle R[[X]]}$ максимальна тогда и только тогда, когда ${\displaystyle M\cap R}$ является максимальным идеалом ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle M}$ порождается как идеал ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle M\cap R}$.

Некоторые алгебраические свойства ${\displaystyle R}$ наследуются ${\displaystyle R[[X]]}$:

• если ${\displaystyle R}$ это местное кольцо, то так ${\displaystyle R[[X]]}$,

• если ${\displaystyle R}$ является Нётерян, то так ${\displaystyle R[[X]]}$. Это версия Теорема Гильберта о базисе,

• если ${\displaystyle R}$ является область целостности, то так ${\displaystyle R[[X]]}$,

• если ${\displaystyle K}$ это поле, тогда ${\displaystyle K[[X]]}$ это кольцо дискретной оценки.

Топологические свойства кольца формальных степенных рядов

Метрическое пространство ${\displaystyle (R[[X]],d)}$ является полный.

Кольцо ${\displaystyle R[[X]]}$ является компактный если и только если р является конечный. Это следует из Теорема Тихонова и характеризация топологии на ${\displaystyle R[[X]]}$ как топологию продукта.

Подготовка Вейерштрасса

Основная статья: Подготовительная теорема Вейерштрасса § Формальные степенные ряды в полных локальных кольцах

Кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами в полное местное кольцо удовлетворяет Подготовительная теорема Вейерштрасса.

Приложения

Формальные степенные ряды могут использоваться для решения повторяющихся задач, встречающихся в теории чисел и комбинаторике. Например, поиск выражения закрытой формы для Числа Фибоначчи см. статью о Примеры производящих функций.

Можно использовать формальные степенные ряды для доказательства некоторых соотношений, знакомых из анализа в чисто алгебраической обстановке. Рассмотрим, например, следующие элементы ${\displaystyle \mathbb {Q} [[X]]}$:

${\displaystyle \sin(X):=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}X^{2n+1}}$

${\displaystyle \cos(X):=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}X^{2n}}$

Тогда можно показать, что

${\displaystyle \sin ^{2}(X)+\cos ^{2}(X)=1,}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial X}}\sin(X)=\cos(X),}$

${\displaystyle \sin(X+Y)=\sin(X)\cos(Y)+\cos(X)\sin(Y).}$

Последний действующий на ринге ${\displaystyle \mathbb {Q} [[X,Y]].}$

Для K поле, кольцо ${\displaystyle K[[X_{1},\ldots ,X_{r}]]}$ часто используется как «стандартное, наиболее общее» полное локальное кольцо над K по алгебре.

Интерпретация формальных степенных рядов как функций

В математический анализ, каждый сходящийся степенной ряд определяет функция со значениями в настоящий или сложный числа. Формальные степенные ряды по некоторым специальным кольцам также можно интерпретировать как функции, но нужно быть осторожным с домен и codomain. Позволять

${\displaystyle f=\sum a_{n}X^{n}\in R[[X]],}$

и предположим S коммутативная ассоциативная алгебра над р, я идеал в S так что I-адическая топология на S завершено, и Икс является элементом я. Определите:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n\geq 0}a_{n}x^{n}.}$

Этот ряд гарантированно сходится в S учитывая сделанные выше предположения о Икс. Кроме того, у нас есть

${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$

и

${\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x).}$

В отличие от добросовестных функций, эти формулы не являются определениями, но должны быть доказаны.

Поскольку топология на ${\displaystyle R[[X]]}$ это (Икс) -адическая топология и ${\displaystyle R[[X]]}$ является полным, мы можем, в частности, применить степенной ряд к другим степенным рядам, при условии, что аргументы не имеют постоянные коэффициенты (чтобы они принадлежали идеалу (Икс)): ж(0), ж(Икс²−Икс) и ж((1−Икс)⁻¹ - 1) все хорошо определены для любого формального степенного ряда ${\displaystyle f\in R[[X]].}$

С помощью этого формализма мы можем дать явную формулу для мультипликативного обратного степенного ряда ж постоянный коэффициент которой а = ж(0) обратима в р:

${\displaystyle f^{-1}=\sum _{n\geq 0}a^{-n-1}(a-f)^{n}.}$

Если формальный степенной ряд г с участием г(0) = 0 неявно задается уравнением

${\displaystyle f(g)=X}$

где ж известный степенной ряд с ж(0) = 0, то коэффициенты при г можно явно вычислить с помощью Формула обращения Лагранжа.

Обобщения

Формальная серия Laurent

А формальная серия Laurent над кольцом ${\displaystyle R}$ определяется аналогично формальному степенному ряду, за исключением того, что мы также допускаем конечное число членов отрицательной степени (это отличается от классического Серия Laurent ), то есть ряд вида

${\displaystyle f=\sum _{n\in \mathbb {Z} }a_{n}X^{n}}$

где ${\displaystyle a_{n}=0}$ для всех, кроме конечного числа отрицательных индексов ${\displaystyle n}$. Можно определить умножение таких серий. Действительно, аналогично определению для формального степенного ряда коэффициент при Икс^k двух серий с соответствующими последовательностями коэффициентов ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ и ${\displaystyle \{b_{n}\}}$ является

${\displaystyle \sum _{i\in \mathbb {Z} }a_{i}b_{k-i},}$

сумма которых фактически конечна из-за предполагаемого обращения в нуль коэффициентов при достаточно отрицательных индексах, а сумма которых равна нулю для достаточно отрицательных ${\displaystyle k}$ по той же причине.

Для ненулевого формального ряда Лорана минимальное целое число ${\displaystyle n}$ такой, что ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$ называется порядком ${\displaystyle f}$, обозначенный ${\displaystyle \operatorname {ord} (f).}$ (Порядок нулевой серии равен ${\displaystyle +\infty }$.) Формальные ряды Лорана образуют кольцо формальной серии Laurent над ${\displaystyle R}$, обозначаемый ${\displaystyle R((X))}$. Он равен локализация из ${\displaystyle R[[X]]}$ относительно множества положительных степеней ${\displaystyle X}$. Это топологическое кольцо с метрикой:

${\displaystyle d(f,g)=2^{-\operatorname {ord} (f-g)}.}$

Если ${\displaystyle R=K}$ это поле, тогда ${\displaystyle K((X))}$ фактически является полем, которое в качестве альтернативы можно получить как поле дробей из область целостности ${\displaystyle K[[X]]}$.

Формальное дифференцирование формальных рядов Лорана можно определить естественным образом (почленно). А именно, формальная производная от формального ряда Лорана ${\displaystyle f}$ выше

${\displaystyle f'=Df=\sum _{n\in \mathbb {Z} }na_{n}X^{n-1}}$

который снова является элементом ${\displaystyle K((X))}$. Обратите внимание, что если ${\displaystyle f}$ - непостоянный формальный ряд Лорана, а K - поле характеристики 0, то

${\displaystyle \operatorname {ord} (f')=\operatorname {ord} (f)-1.}$

Однако в целом это не так, поскольку фактор п для члена самого низкого порядка может быть равно 0 в р.

Формальный остаток

Предположим, что ${\displaystyle K}$ это область характеристика 0. Тогда карта

${\displaystyle D\colon K((X))\to K((X))}$

это ${\displaystyle K}$-происхождение это удовлетворяет

${\displaystyle \ker D=K}$

${\displaystyle \operatorname {im} D=\left\{f\in K((X)):[X^{-1}]f=0\right\}.}$

Последнее показывает, что коэффициент ${\displaystyle X^{-1}}$ в ${\displaystyle f}$ представляет особый интерес; это называется формальный остаток ${\displaystyle f}$ и обозначен ${\displaystyle \operatorname {Res} (f)}$. Карта

${\displaystyle \operatorname {Res} :K((X))\to K}$

является ${\displaystyle K}$-линейный, и по отмеченному выше наблюдению точная последовательность

${\displaystyle 0\to K\to K((X)){\xrightarrow {D}}K((X))\;{\xrightarrow {\operatorname {Res} }}\;K\to 0.}$

Некоторые правила исчисления. Как вполне прямое следствие приведенного выше определения и правил формального вывода, для любого ${\displaystyle f,g\in K((X))}$

я. ${\displaystyle \operatorname {Res} (f')=0;}$

II. ${\displaystyle \operatorname {Res} (fg')=-\operatorname {Res} (f'g);}$

iii. ${\displaystyle \operatorname {Res} (f'/f)=\operatorname {ord} (f),\qquad \forall f\neq 0;}$

iv. ${\displaystyle \operatorname {Res} \left((g\circ f)f'\right)=\operatorname {ord} (f)\operatorname {Res} (g),}$ если ${\displaystyle \operatorname {ord} (g)>0;}$

v. ${\displaystyle [X^{n}]f(X)=\operatorname {Res} \left(X^{-n-1}f(X)\right).}$

Свойство (i) является частью точной последовательности, указанной выше. Свойство (ii) следует из (i) применительно к ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$. Свойство (iii): любое ${\displaystyle f}$ можно записать в виде ${\displaystyle f=X^{m}g}$, с участием ${\displaystyle m=\operatorname {ord} (f)}$ и ${\displaystyle \operatorname {ord} (g)=0}$: тогда ${\displaystyle f'/f=mX^{-1}+g'/g.}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} (g)=0}$ подразумевает ${\displaystyle g}$ обратима в ${\displaystyle K[[X]]\subset \operatorname {im} (D)=\ker(\operatorname {Res} ),}$ откуда ${\displaystyle \operatorname {Res} (f'/f)=m.}$ Свойство (iv): Поскольку ${\displaystyle \operatorname {im} (D)=\ker(\operatorname {Res} ),}$ мы можем написать ${\displaystyle f=f_{-1}X^{-1}+F',}$ с участием ${\displaystyle F\in K((X))}$. Вследствие этого, ${\displaystyle (f\circ g)g'=f_{-1}g^{-1}g'+(F'\circ g)g'=f_{-1}g'/g+(F\circ g)'}$ и (iv) следует из (i) и (iii). Свойство (v) ясно из определения.

Формула обращения Лагранжа

Основная статья: Теорема обращения Лагранжа

Как было сказано выше, любой формальный ряд ${\displaystyle f\in K[[X]]}$ с участием ж₀ = 0 и ж₁ ≠ 0 имеет композицию, обратную ${\displaystyle g\in K[[X]].}$ Следующее соотношение между коэффициентами г^п и ж^−k держит ("Формула обращения Лагранжа"):

${\displaystyle k[X^{k}]g^{n}=n[X^{-n}]f^{-k}.}$

В частности, для п = 1 и все k ≥ 1,

${\displaystyle [X^{k}]g={\frac {1}{k}}\operatorname {Res} \left(f^{-k}\right).}$

Поскольку доказательство формулы обращения Лагранжа представляет собой очень короткое вычисление, стоит сообщить об этом здесь. Отмечая ${\displaystyle \operatorname {ord} (f)=1}$, мы можем применить приведенные выше правила исчисления, в решающей степени Правило (iv) заменяя ${\displaystyle X\rightsquigarrow f(X)}$, получить:

${\displaystyle {\begin{aligned}k[X^{k}]g^{n}&\ {\stackrel {\mathrm {(v)} }{=}}\ k\operatorname {Res} \left(g^{n}X^{-k-1}\right)\ {\stackrel {\mathrm {(iv)} }{=}}\ k\operatorname {Res} \left(X^{n}f^{-k-1}f\,'\right)\ {\stackrel {\mathrm {chain} }{=}}\ -\operatorname {Res} \left(X^{n}(f^{-k})^{'}\right)\\&\ {\stackrel {\mathrm {(ii)} }{=}}\ \operatorname {Res} \left(\left(X^{n}\right)'f^{-k}\right)\ {\stackrel {\mathrm {chain} }{=}}\ n\operatorname {Res} \left(X^{n-1}f^{-k}\right)\ {\stackrel {\mathrm {(v)} }{=}}\ n[X^{-n}]f^{-k}.\end{aligned}}}$

Обобщения. Можно заметить, что вышеприведенное вычисление может быть просто повторено в более общих настройках, чем K((Икс)): обобщение формулы обращения Лагранжа уже доступно, работающее в ${\displaystyle \mathbb {C} ((X))}$-модули ${\displaystyle X^{\alpha }\mathbb {C} ((X)),}$ где α - комплексный показатель степени. Как следствие, если ж и г такие же, как указано выше, с ${\displaystyle f_{1}=g_{1}=1}$, мы можем связать сложные степени ж / Икс и г / Икс: точно, если α и β ненулевые комплексные числа с отрицательной целой суммой, ${\displaystyle m=-\alpha -\beta \in \mathbb {N} ,}$ тогда

${\displaystyle {\frac {1}{\alpha }}[X^{m}]\left({\frac {f}{X}}\right)^{\alpha }=-{\frac {1}{\beta }}[X^{m}]\left({\frac {g}{X}}\right)^{\beta }.}$

Например, таким образом можно найти степенной ряд для комплексные степени функции Ламберта.

Ряд степеней в нескольких переменных

Формальный степенной ряд от любого числа неопределенных (даже бесконечного) может быть определен. Если я является индексным набором и Икс_я это набор неопределенных Икс_я для я∈я, потом одночлен Икс^α - любое конечное произведение элементов Икс_я (повторения разрешены); формальный степенной ряд в Икс_я с коэффициентами в кольце р определяется любым отображением из множества одночленов Икс^α к соответствующему коэффициенту c_α, и обозначается ${\displaystyle \textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }}$. Множество всех таких формальных степенных рядов обозначается ${\displaystyle R[[X_{I}]],}$ и ему придается кольцевая структура, определяя

${\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)+\left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right)=\sum _{\alpha }(c_{\alpha }+d_{\alpha })X^{\alpha }}$

и

${\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)\times \left(\sum _{\beta }d_{\beta }X^{\beta }\right)=\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }d_{\beta }X^{\alpha +\beta }}$

Топология

Топология на ${\displaystyle R[[X_{I}]]}$ такова, что последовательность его элементов сходится, только если для каждого монома Икс^α соответствующий коэффициент стабилизируется. Если я конечно, то это J-адическая топология, где J это идеал ${\displaystyle R[[X_{I}]]}$ генерируется всеми неопределенными в Икс_я. Это не выполняется, если я бесконечно. Например, если ${\displaystyle I=\mathbb {N} ,}$ тогда последовательность ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ с участием ${\displaystyle f_{n}=X_{n}+X_{n+1}+X_{n+2}+\cdots }$ не сходится ни по одному J-адическая топология на р, но очевидно, что для каждого монома соответствующий коэффициент стабилизируется.

Как отмечалось выше, топология на повторяющемся кольце формальных степенных рядов типа ${\displaystyle R[[X]][[Y]]}$ обычно выбирается таким образом, чтобы он стал изоморфным как топологическое кольцо к ${\displaystyle R[[X,Y]].}$

Операции

Все операции, определенные для ряда с одной переменной, могут быть расширены до случая нескольких переменных.

• Ряд обратим тогда и только тогда, когда его постоянный член обратим в р.

• Сочинение ж(г(Икс)) из двух серий ж и г определяется, если ж представляет собой серию с одним неопределенным, а постоянный член г равно нулю. Для серии ж в нескольких неопределенностях форма "композиции" может быть определена аналогичным образом, с таким же количеством отдельных серий вместо г как есть неопределенные.

В случае формальной производной теперь есть отдельные частная производная операторы, дифференцирующие по каждой из неопределенностей. Все они ездят друг с другом на работу.

Универсальная собственность

В случае нескольких переменных универсальное свойство, характеризующее ${\displaystyle R[[X_{1},\ldots ,X_{r}]]}$ становится следующим. Если S коммутативная ассоциативная алгебра над р, если я это идеал S так что я-адическая топология на S завершено, и если Икс₁, ..., Икс_р являются элементами я, то есть уникальный карта ${\displaystyle \Phi :R[[X_{1},\ldots ,X_{r}]]\to S}$ со следующими свойствами:

• Φ - это р-алгебр гомоморфизм

• Φ непрерывна

• Φ (Икс_я) = Икс_я для я = 1, ..., р.

Некоммутирующие переменные

Случай нескольких переменных можно обобщить, взяв некоммутирующие переменные Икс_я для я ∈ я, где я является индексным набором, а затем одночлен Икс^α есть ли слово в Икс_я; формальный степенной ряд в Икс_я с коэффициентами в кольце р определяется любым отображением из множества одночленов Икс^α к соответствующему коэффициенту c_α, и обозначается ${\displaystyle \textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }}$. Множество всех таких формальных степенных рядов обозначается р«Икс_я», И ему придается кольцевая структура путем определения сложения поточечно

${\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)+\left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right)=\sum _{\alpha }(c_{\alpha }+d_{\alpha })X^{\alpha }}$

и умножение на

${\displaystyle \left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)\times \left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right)=\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }d_{\beta }X^{\alpha }\cdot X^{\beta }}$

где · обозначает объединение слов. Эти формальные силовые ряды р сформировать Кольцо Магнуса над р.^[3][4]

На полукольце

Учитывая алфавит ${\displaystyle \Sigma }$ и полукольцо ${\displaystyle S}$. Формальный степенной ряд над ${\displaystyle S}$ поддерживается на языке ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ обозначается ${\displaystyle S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$. Он состоит из всех отображений ${\displaystyle r:\Sigma ^{*}\to S}$, где ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$ это свободный моноид генерируется непустым множеством ${\displaystyle \Sigma }$.

Элементы ${\displaystyle S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$ можно записать в виде формальных сумм

${\displaystyle r=\sum _{w\in \Sigma ^{*}}(r,w)w.}$

где ${\displaystyle (r,w)}$ обозначает значение ${\displaystyle r}$ на слово ${\displaystyle w\in \Sigma ^{*}}$. Элементы ${\displaystyle (r,w)\in S}$ называются коэффициентами при ${\displaystyle r}$.

Для ${\displaystyle r\in S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$ поддержка ${\displaystyle r}$ это набор

${\displaystyle \operatorname {supp} (r)=\{w\in \Sigma ^{*}|\ (r,w)\neq 0\}}$

Серия, в которой каждый коэффициент либо ${\displaystyle 0}$ или ${\displaystyle 1}$ называется характеристическим рядом его носителя.

Подмножество ${\displaystyle S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$ состоящий из всех серий с конечным носителем, обозначается ${\displaystyle S\langle \Sigma ^{*}\rangle }$ и называется многочленами.

Для ${\displaystyle r_{1},r_{2}\in S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle }$ и ${\displaystyle s\in S}$, сумма ${\displaystyle r_{1}+r_{2}}$ определяется

${\displaystyle (r_{1}+r_{2},w)=(r_{1},w)+(r_{2},w)}$

Произведение (Коши) ${\displaystyle r_{1}\cdot r_{2}}$ определяется

${\displaystyle (r_{1}\cdot r_{2},w)=\sum _{w_{1}w_{2}=w}(r_{1},w_{1})(r_{2},w_{2})}$

Произведение Адамара ${\displaystyle r_{1}\odot r_{2}}$ определяется

${\displaystyle (r_{1}\odot r_{2},w)=(r_{1},w)(r_{2},w)}$

И произведения скаляром ${\displaystyle sr_{1}}$ и ${\displaystyle r_{1}s}$ от

${\displaystyle (sr_{1},w)=s(r_{1},w)}$ и ${\displaystyle (r_{1}s,w)=(r_{1},w)s}$соответственно.

С помощью этих операций ${\displaystyle (S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle ,+,\cdot ,0,\varepsilon )}$ и ${\displaystyle (S\langle \Sigma ^{*}\rangle ,+,\cdot ,0,\varepsilon )}$ полукольца, где ${\displaystyle \varepsilon }$ это пустое слово в ${\displaystyle \Sigma ^{*}}$.

Эти формальные степенные ряды используются для моделирования поведения взвешенные автоматы, в теоретическая информатика, когда коэффициенты ${\displaystyle (r,w)}$ серии принимают вес пути с меткой ${\displaystyle w}$ в автоматах.^[5]

Замена индекса, установленного упорядоченной абелевой группой

Основная статья: Серия Hahn

Предположим ${\displaystyle G}$ упорядоченная абелева группа, то есть абелева группа с полным порядком ${\displaystyle <}$ уважая добавление группы, так что ${\displaystyle a<b}$ если и только если ${\displaystyle a+c<b+c}$ для всех ${\displaystyle c}$. Позволять я быть хорошо организованный подмножество ${\displaystyle G}$, смысл я не содержит бесконечной нисходящей цепочки. Рассмотрим множество, состоящее из

${\displaystyle \sum _{i\in I}a_{i}X^{i}}$

для всех таких я, с участием ${\displaystyle a_{i}}$ в коммутативном кольце ${\displaystyle R}$, где мы предполагаем, что для любого набора индексов, если все ${\displaystyle a_{i}}$ равны нулю, то сумма равна нулю. потом ${\displaystyle R((G))}$ кольцо формальных степенных рядов на ${\displaystyle G}$; из-за того, что набор индексирования должен быть хорошо упорядочен, продукт четко определен, и мы, конечно, предполагаем, что два элемента, которые отличаются на ноль, являются одинаковыми. Иногда обозначения ${\displaystyle [[R^{G}]]}$ используется для обозначения ${\displaystyle R((G))}$.^[6]

Различные свойства ${\displaystyle R}$ перевести ${\displaystyle R((G))}$. Если ${\displaystyle R}$ это поле, значит, тоже ${\displaystyle R((G))}$. Если ${\displaystyle R}$ это упорядоченное поле, мы можем заказать ${\displaystyle R((G))}$ установив для любого элемента тот же знак, что и его старший коэффициент, определенный как наименьший элемент набора индексов я связанный с ненулевым коэффициентом. Наконец, если ${\displaystyle G}$ это делимая группа и ${\displaystyle R}$ это настоящее закрытое поле, тогда ${\displaystyle R((G))}$ - настоящее замкнутое поле, а если ${\displaystyle R}$ является алгебраически замкнутый, то так ${\displaystyle R((G))}$.

Эта теория связана с Ганс Хан, который также показал, что подполя получаются, когда количество (ненулевых) членов ограничено некоторой фиксированной бесконечной мощностью.

Примеры и связанные темы

• Белл серии используются для изучения свойств мультипликативные арифметические функции
• Формальные группы используются для определения абстрактного группового закона с использованием формальных степенных рядов
• Серия Puiseux являются расширением формального ряда Лорана, допускающим дробные показатели
• Рациональная серия

Смотрите также

• Кольцо ограниченного степенного ряда

Заметки

1. Градштейн Израиль Соломонович; Рыжик Иосиф Моисеевич; Геронимус Юрий Вениаминович; Цейтлин Михаил Юльевич; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014]. «0,313». В Цвиллингере, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов. Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. п. 18. ISBN  978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276. (Также несколько предыдущих выпусков.)
2. Нивен, Иван (Октябрь 1969 г.). «Формальная силовая серия». Американский математический ежемесячный журнал. 76 (8): 871–889. Дои:10.1080/00029890.1969.12000359.
3. Кох, Гельмут (1997). Алгебраическая теория чисел. Энцикл. Математика. Sci. 62 (2-е издание 1-го изд.). Springer-Verlag. п. 167. ISBN  978-3-540-63003-6. Zbl  0819.11044.
4. Моран, Зигфрид (1983). Математическая теория узлов и кос: введение. Математические исследования Северной Голландии. 82. Эльзевир. п. 211. ISBN  978-0-444-86714-8. Zbl  0528.57001.
5. Дросте, М., и Куич, В. (2009). Полукольца и формальные степенные ряды. Справочник по взвешенным автоматам, 3–28. Дои:10.1007/978-3-642-01492-5_1, п. 12
6. Шамседдин, Ходр; Берц, Мартин (2010). «Анализ поля Леви-Чивита: краткий обзор» (PDF). Современная математика. 508: 215–237.

использованная литература

• Берстель, Жан; Ройтенауэр, Кристоф (2011). Некоммутативные рациональные ряды с приложениями. Энциклопедия математики и ее приложений. 137. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-19022-0. Zbl  1250.68007.
• Николя Бурбаки: Алгебра, IV, §4. Springer-Verlag 1988.

дальнейшее чтение

• В. Куич. Полукольца и формальные степенные ряды: их отношение к формальным языкам и теории автоматов. В Дж. Розенберге и А. Саломаа, редакторах, Справочник по формальным языкам, том 1, глава 9, страницы 609–677. Спрингер, Берлин, 1997 г., ISBN  3-540-60420-0
• Дросте, М., и Куич, В. (2009). Полукольца и формальные степенные ряды. Справочник по взвешенным автоматам, 3–28. Дои:10.1007/978-3-642-01492-5_1