Арифметическая прогрессия - Arithmetic progression

Визуальное доказательство вывода формул арифметической прогрессии - выцветшие блоки представляют собой повернутую копию арифметической прогрессии

В математика, арифметическая прогрессия (AP) или арифметическая последовательность это последовательность из числа таким образом, чтобы разница между последовательными членами была постоянной. Например, последовательность 5, 7, 9, 11, 13, 15,. . . представляет собой арифметическую прогрессию с общей разностью 2.

Если начальный член арифметической прогрессии равен ${\displaystyle a_{1}}$ и общая разница последовательных членов d, то п-й член последовательности (${\displaystyle a_{n}}$) дан кем-то:

${\displaystyle \ a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$,

и вообще

${\displaystyle \ a_{n}=a_{m}+(n-m)d}$.

Конечная часть арифметической прогрессии называется конечная арифметическая прогрессия а иногда просто называется арифметической прогрессией. В сумма конечной арифметической прогрессии называется арифметический ряд.

Сумма

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40
16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

Вычисление суммы 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Когда последовательность переворачивается и добавляется к самой себе член за членом, результирующая последовательность имеет одно повторяющееся значение в нем, равное сумме первого и последнего чисел (2 + 14 = 16). Таким образом, 16 × 5 = 80 - это удвоенная сумма.

В сумма членов конечной арифметической прогрессии называется арифметический ряд. Например, рассмотрим сумму:

${\displaystyle 2+5+8+11+14}$

Эту сумму можно быстро найти, взяв число п складываемых членов (здесь 5), умножения на сумму первого и последнего числа в прогрессии (здесь 2 + 14 = 16) и деления на 2:

${\displaystyle {\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}}$

В приведенном выше случае это дает уравнение:

${\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.}$

Эта формула работает для любых действительных чисел ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{n}}$. Например:

${\displaystyle \left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.}$

Вывод

Анимированное доказательство формулы, дающей сумму первых целых чисел 1 + 2 + ... + n.

Чтобы вывести приведенную выше формулу, начните с выражения арифметического ряда двумя разными способами:

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)}$

${\displaystyle S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.}$

Сложив обе части двух уравнений, все члены, содержащие d Отмена:

${\displaystyle \ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).}$

Разделив обе части на 2, мы получим уравнение общей формы:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}(a_{1}+a_{n}).}$

Альтернативная форма является результатом повторной вставки подстановки: ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n}{2}}[2a_{1}+(n-1)d].}$

Кроме того, среднее значение ряда можно рассчитать с помощью: ${\displaystyle S_{n}/n}$:

${\displaystyle {\overline {a}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.}$

Формула очень похожа на среднее значение дискретное равномерное распределение.

В 499 г. Арьябхата видный математик -астроном с классической эпохи Индийская математика и Индийская астрономия, дал этот метод в Арьябхатия (раздел 2.19).

Согласно анекдоту сомнительной надежности,^[1] молодой Карл Фридрих Гаусс в начальной школе заново изобрели этот метод для вычисления суммы целых чисел от 1 до 100.

Товар

В товар членов конечной арифметической прогрессии с начальным элементом а₁, общие отличия d, и п элементов в сумме определяется в замкнутом выражении

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)...(a_{1}+(n-1)d)=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$

где ${\displaystyle \Gamma }$ обозначает Гамма-функция. Формула недействительна, если ${\displaystyle a_{1}/d}$ отрицательное значение или ноль.

Это обобщение того факта, что продукт прогрессии ${\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n}$ дается факториал ${\displaystyle n!}$ и что продукт

${\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n}$

за положительные целые числа ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ дан кем-то

${\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}$

Вывод

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)\\&=\prod _{k=0}^{n-1}d\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a_{1}}{d}}+(n-1)\right)\\&=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle x^{\overline {n}}}$ обозначает возрастающий факториал.

По формуле рекуррентности ${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$, действительно для комплексного числа ${\displaystyle z>0}$,

${\displaystyle \Gamma (z+2)=(z+1)\Gamma (z+1)=(z+1)z\Gamma (z)}$,

${\displaystyle \Gamma (z+3)=(z+2)\Gamma (z+2)=(z+2)(z+1)z\Gamma (z)}$,

так что

${\displaystyle {\frac {\Gamma (z+m)}{\Gamma (z)}}=\prod _{k=0}^{m-1}(z+k)}$

за ${\displaystyle m}$ положительное целое число и ${\displaystyle z}$ положительное комплексное число.

Таким образом, если ${\displaystyle a_{1}/d>0}$,

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$,

и наконец,

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}}$

Примеры

Пример 1

Взяв пример ${\displaystyle 3,8,13,18,23,28,\ldots }$, произведение членов арифметической прогрессии по формуле ${\displaystyle a_{n}=3+5(n-1)}$ до 50^th срок

${\displaystyle P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.}$

Пример 2

Произведение первых 10 нечетных чисел ${\displaystyle (1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)}$ дан кем-то

${\displaystyle 1.3.5\cdots 19=\prod _{k=0}^{9}(1+2k)=2^{10}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+10\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}}$ = 654,729,075

Среднеквадратичное отклонение

Стандартное отклонение любой арифметической прогрессии можно рассчитать как

${\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}$

где ${\displaystyle n}$ - количество членов в прогрессии и${\displaystyle d}$ это общая разница между терминами. Формула очень похожа на стандартное отклонение дискретное равномерное распределение.

Перекрестки

В пересечение любых двух дважды бесконечных арифметических прогрессий либо пуста, либо другая арифметическая прогрессия, которую можно найти с помощью Китайская теорема об остатках. Если каждая пара прогрессий в семействе дважды бесконечных арифметических прогрессий имеет непустое пересечение, то существует общее для всех них число; то есть бесконечные арифметические прогрессии образуют Семья Хелли.^[2] Однако пересечение бесконечного множества бесконечных арифметических прогрессий может быть одним числом, а не бесконечной прогрессией.

Смотрите также

• Геометрическая прогрессия
• Гармоническая прогрессия
• Арифметико-геометрическая последовательность
• Неравенство средних арифметических и геометрических
• Простые числа в арифметической прогрессии
• Линейное разностное уравнение
• Обобщенная арифметическая прогрессия, набор целых чисел построен в виде арифметической прогрессии, но допускает несколько возможных различий
• Треугольники Герона со сторонами в арифметической прогрессии
• Задачи, связанные с арифметическими прогрессиями
• Утональность

использованная литература

1. Хейс, Брайан (2006). "День расплаты Гаусса". Американский ученый. 94 (3): 200. Дои:10.1511/2006.59.200. В архиве из оригинала 12 января 2012 г.. Получено 16 октября 2020.
2. Duchet, Pierre (1995), «Hypergraphs», в Graham, R.L .; Грётшель, М.; Ловас, Л. (ред.), Справочник по комбинаторике, Vol. 1, 2, Амстердам: Elsevier, стр. 381–432, Г-Н  1373663. См., В частности, Раздел 2.5 «Собственность Helly», стр. 393–394.

• Сиглер, Лоуренс Э. (пер.) (2002). Liber Abaci Фибоначчи. Springer-Verlag. стр.259 –260. ISBN  0-387-95419-8.

внешняя ссылка

• «Арифметический ряд», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Арифметическая прогрессия». MathWorld.
• Вайсштейн, Эрик В. «Арифметический ряд». MathWorld.