Фигурное число - Figurate number

Период, термин фигуральное число используется разными авторами для членов различных наборов чисел, обобщая из треугольные числа разной формы (многоугольные числа) и разных размеров (многогранные числа). Термин может означать

многоугольное число
число, представленное как дискретное $р$ -мерная регулярная геометрический образец $р$ -размерный мячи например, многоугольное число (за $р = 2$ ) или многогранное число (за $р = 3$ ).
член подмножества вышеперечисленных наборов, содержащий только треугольные числа, пирамидальные числа и их аналоги в других измерениях.^[1]

Терминология

Некоторые виды фигурных чисел обсуждались в XVI и XVII веках под названием «фигуральные числа».^[2]

В исторических произведениях о Греческая математика предпочтительный термин раньше был фигурное число.^[3]^[4]

В использовании, возвращающемся к Якоб Бернулли с Ars Conjectandi,^[1] период, термин фигуральное число используется для треугольный числа, составленные из последовательных целых чисел, тетраэдрические числа состоящий из последовательных треугольных чисел и т. д. Они оказываются биномиальные коэффициенты. В этом использовании квадратные числа (4, 9, 16, 25, ...) не будут считаться фигуральными числами, если рассматривать их как расположенные в квадрате.

В ряде других источников используется термин фигуральное число как синоним многоугольные числа, либо просто обычные, либо и те, и центрированные многоугольные числа.^[5]

История

Считается, что математическое изучение фигурных чисел началось с Пифагор, возможно, на основе вавилонских или египетских предшественников. Генерация любого класса фигуральных чисел, изучаемых пифагорейцами, с использованием гномоны также приписывается Пифагору. К сожалению, для этих утверждений нет заслуживающего доверия источника, потому что все сохранившиеся сочинения о пифагорейцах^[6] из столетий спустя.^[7] Кажется очевидным, что четвертое треугольное число из десяти предметов, называемое тетрактис по-гречески была центральной частью Пифагорейская религия, наряду с несколькими другими фигурами, также называемыми тетрактисами.^{[нужна цитата ]} Фигурные числа были предметом заботы пифагорейской геометрии.

Современное изучение фигуральных чисел восходит к Пьер де Ферма в частности Теорема Ферма о многоугольных числах. Позже это стало важной темой для Эйлер, который дал явную формулу для всех треугольные числа, которые также являются идеальными квадратами, среди многих других открытий, касающихся фигурных чисел.

Фигурные числа сыграли значительную роль в современной развлекательной математике.^[8] В исследовательской математике фигуральные числа изучаются с помощью Многочлены Эрхарта, многочлены которые подсчитывают количество целых точек в многоугольнике или многограннике при его расширении с заданным коэффициентом.^[9]

Треугольные числа

В треугольные числа за $п = 1, 2, 3, ...$ являются результатом сопоставления линейных чисел (линейных гномонов) для $п = 1, 2, 3, ...$ :

Это биномиальные коэффициенты ${ displaystyle textstyle { binom {п + 1} {2}}}$ . В этом случае $р = 2$ о том, что $р$ -я диагональ Треугольник Паскаля за $р \geq 0$ состоит из фигурных цифр для $р$ -мерные аналоги треугольников ( $р$ -размерный симплексы ).

Простые многогранные числа для $р = 1, 2, 3, 4, ...$ находятся:

${ displaystyle P_ {1} (n) = { frac {n} {1}} = { binom {n + 0} {1}} = { binom {n} {1}}}$ (линейные числа),
${ Displaystyle P_ {2} (n) = { frac {n (n + 1)} {2}} = { binom {n + 1} {2}}}$ (треугольные числа ),
${ Displaystyle P_ {3} (п) = { гидроразрыва {п (п + 1) (п + 2)} {6}} = { binom {п + 2} {3}}}$ (тетраэдрические числа ),
${ Displaystyle P_ {4} (n) = { гидроразрыва {n (n + 1) (n + 2) (n + 3)} {24}} = { binom {n + 3} {4}}}$ (пентахорические числа, пентатопические числа, 4-симплексные числа),

${ Displaystyle qquad vdots}$

${ displaystyle P_ {r} (n) = { frac {n (n + 1) (n + 2) cdots (n + r-1)} {r!}} = { binom {n + (r- 1)} {r}}}$ ( $р$ -темные номера, $р$ -симплекс числа).

Условия квадратный номер и кубическое число вытекают из их геометрического представления в виде квадрат или же куб. Разница двух положительных треугольных чисел равна трапециевидное число.

Гномон

В гномон - это кусок, добавленный к фигуральному числу, чтобы преобразовать его в следующее большее число.

Например, гномон квадратного числа - это нечетное число, общего вида $2 п + 1$ , $п = 0, 1, 2, 3, ...$ . Квадрат 8 размера, составленный из гномонов, выглядит так:

8 8 8 8 8 8 8 8
8 7 7 7 7 7 7 7
8 7 6 6 6 6 6 6
8 7 6 5 5 5 5 5
8 7 6 5 4 4 4 4
8 7 6 5 4 3 3 3
8 7 6 5 4 3 2 2
8 7 6 5 4 3 2 1

Преобразовать из $п$ -квадрат (квадрат размера $п$ ) к $(п + 1)$ -квадрат, одна примыкает $2 п + 1$ элементы: по одному до конца каждой строки ( $п$ элементов), по одному до конца каждого столбца ( $п$ элементов), и один в угол. Например, преобразовывая квадрат 7 в квадрат 8, мы добавляем 15 элементов; эти дополнения - это восьмерки на рисунке выше.

Эта гномоническая техника также обеспечивает математическое доказательство что сумма первых $п$ нечетные числа $п 2$ ; рисунок иллюстрирует 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 64 = 8².

Примечания

^ ^а ^б Диксон, Л.Э., История теории чисел
^ Simpson, J. A .; Weiner, E. S. C., eds. (1992). Компактный оксфордский словарь английского языка (2-е изд.). Оксфорд, Англия: Clarendon Press. п. 587. Отсутствует или пусто | название = (помощь)
^ Хит, Т., История греческой математики.
^ Мазиарц, Э.А., Греческая математическая философия
^ «Фигурные числа». Матигон. Получено 2019-02-06.
^ Тейлор, Томас, Теоретическая арифметика пифагорейцев
^ Бойер, Карл Б .; Мерцбах, Ута К., История математики (Второе изд.), Стр. 48
^ Крайчик, Морис (2006), Математические развлечения (2-е изд. Перераб.), Dover Книги, ISBN 978-0-486-45358-3
^ Бек, М .; Де Лоэра, Дж. А.; Девелин, М .; Pfeifle, J .; Стэнли, Р. П. (2005), «Коэффициенты и корни многочленов Эрхарта», Целочисленные точки в многогранниках - геометрия, теория чисел, алгебра, оптимизация., Contemp. Математика, 374, Провиденс, Род-Айленд: амер. Математика. Soc., Стр. 15–36, МИСТЕР 2134759.