Высокоточный номер - Highly totient number

А очень аккуратный номер ${\displaystyle k}$ целое число, которое имеет больше решений уравнения ${\displaystyle \phi (x)=k}$, куда ${\displaystyle \phi }$ является Функция Эйлера, чем любое целое число под ним. Первые несколько очень важных цифр:

1, 2, 4, 8, 12, 24, 48, 72, 144, 240, 432, 480, 576, 720, 1152, 1440 (последовательность A097942 в OEIS ), с 1, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 17, 21, 31, 34, 37, 38, 49, 54 и 72 растворами соответственно. Последовательность высокоточных чисел - это подмножество последовательности наименьших чисел. ${\displaystyle k}$ с точно ${\displaystyle n}$ решения для ${\displaystyle \phi (x)=k}$.^[1]

Точность числа ${\displaystyle x}$, с факторизацией на простые множители ${\displaystyle x=\prod _{i}p_{i}^{e_{i}}}$, это продукт:

${\displaystyle \phi (x)=\prod _{i}(p_{i}-1)p_{i}^{e_{i}-1}.}$

Таким образом, однозначное число - это число, которое может быть выражено как произведение этой формы чаще, чем любое меньшее число.

Эта концепция в некоторой степени аналогична концепции очень сложные числа, и точно так же, как 1 - единственное нечетное очень сложное число, это также единственное нечетное высокоточное число (действительно, единственное нечетное число, которое не может быть неуловимый ). И точно так же, как существует бесконечно много очень сложных чисел, существует также бесконечно много очень общих чисел, хотя высокоточные числа труднее найти более высокое, поскольку вычисление общей функции включает в себя факторизация в простые числа, то, что становится чрезвычайно трудным по мере увеличения числа.

Пример

Всего существует пять чисел (15, 16, 20, 24 и 30), общее число которых равно 8. Никакое положительное целое число, меньшее 8, не имеет такого количества таких чисел, поэтому число 8 очень однозначно.

Стол

п	Ценности k такой, что ${\displaystyle \phi (k)=n}$ (последовательность A032447 в OEIS )	Количество значений k такой, что ${\displaystyle \phi (k)=n}$ (последовательность A014197 в OEIS )
0		0
1	1, 2	2
2	3, 4, 6	3
3		0
4	5, 8, 10, 12	4
5		0
6	7, 9, 14, 18	4
7		0
8	15, 16, 20, 24, 30	5
9		0
10	11, 22	2
11		0
12	13, 21, 26, 28, 36, 42	6
13		0
14		0
15		0
16	17, 32, 34, 40, 48, 60	6
17		0
18	19, 27, 38, 54	4
19		0
20	25, 33, 44, 50, 66	5
21		0
22	23, 46	2
23		0
24	35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78, 84, 90	10
25		0
26		0
27		0
28	29, 58	2
29		0
30	31, 62	2
31		0
32	51, 64, 68, 80, 96, 102, 120	7
33		0
34		0
35		0
36	37, 57, 63, 74, 76, 108, 114, 126	8
37		0
38		0
39		0
40	41, 55, 75, 82, 88, 100, 110, 132, 150	9
41		0
42	43, 49, 86, 98	4
43		0
44	69, 92, 138	3
45		0
46	47, 94	2
47		0
48	65, 104, 105, 112, 130, 140, 144, 156, 168, 180, 210	11
49		0
50		0

Смотрите также

• Чрезвычайно точное число

Рекомендации

1. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A097942 (высокоточные числа: каждое число k в этом списке имеет больше решений уравнения phi (x) = k, чем любое предыдущее k (где phi - это функция Эйлера, A000010))». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS.

• Л. Хэвлок, Несколько замечаний относительно тотентной и кототентной валентности из PlanetMath