Строго непалиндромное число - Strictly non-palindromic number

А строго непалиндромное число это целое число п это не палиндромный в любом позиционная система счисления с основание б в диапазоне 2 ≤б ≤ п - 2. Например, число 6 пишется как "110" в база 2, «20» дюйм база 3 и «12» в база 4, ни один из которых не является палиндромом, поэтому 6 строго непалиндромный.

Определение

Представление числа п в основание б, куда б > 1 и п > 0, представляет собой последовательность k+1 цифры ая (0 ≤ я ≤ k) такие, что

и 0 ≤ая < б для всех я и аk ≠ 0.

Такое представление определяется как палиндромный если ая = аk−я для всех я.

Число п определяется как строго непалиндромный если представление п не является палиндромом любая база б где 2 ≤б ≤ п-2.

Последовательность строго непалиндромных чисел (последовательность A016038 в OEIS ) начинается:

0, 1, 2, 3, 4, 6, 11, 19, 47, 53, 79, 103, 137, 139, 149, 163, 167, 179, 223, 263, 269, 283, 293, 311, 317, 347, 359, 367, 389, 439, 491, 563, 569, 593, 607, 659, 739, 827, 853, 877, 977, 983, 997, ...

Например, число 19 написано с основанием 2 до 17:

б234567891011121314151617
19 в базе б1001120110334312523211918171615141312

Ни один из них не является палиндромом, поэтому 19 - строго непалиндромное число.

Причина верхнего предела п - 2 на основании состоит в том, что все числа тривиально палиндромны в больших основаниях:

  • В базе б = п − 1, п ≥ 3 пишется как «11».
  • В любой базе б > п, п представляет собой однозначную цифру, поэтому во всех таких базах является палиндромом.

Таким образом, видно, что верхний предел п - 2 необходимо для получения математически "интересного" определения.

За п <4 диапазон баз пуст, поэтому эти числа тривиально строго непалиндромны.

Характеристики

Все строго непалиндромные числа больше 6 считаются основной. Можно доказать, что составной п > 6 не может быть строго непалиндромным следующим образом. Для каждого такого п показано, что существует база, в которой п палиндромный.

  1. Если п является четное и больше 6, то п написано "22" (палиндром) в базе п/ 2 - 1. (Обратите внимание, что если п меньше или равно 6, основание п/ 2 - 1 будет меньше 3, поэтому цифра "2" не может встречаться в представлении п.)
  2. Если п является странный и больше 1 напишите п = п · м, куда п наименьший простой делитель п. Четко п ≤ м (поскольку п составной).
    1. Если п = м (то есть, п = p2), есть два случая:
      1. Если п = 3, тогда п = 9 записывается "1001" (палиндром) в основании 2.
      2. Если п > 3, тогда п в базе написано «121» (палиндром) п − 1.
    2. п не может равняться м - 1, потому что оба п и м странные, поэтому п < м - 1. Тогда п можно записать как двузначное число pp в базе м − 1.

Рекомендации