Номер Харшада - Harshad number

В математика, а число суровых (или Номер Niven) в данном база чисел является целое число что делится на сумма цифр когда написано в этой базе. п также известны как п-харшад (или п-Нивен) числа. Номера Харшада были определены Д. Р. Капрекар, а математик от Индия. Слово «харшад» происходит от санскрит Hara (радость) + да (давать), что означает дающий радость. Термин «число Нивена» возник из статьи, представленной Иван М. Нивен на конференции по теория чисел в 1977 г. Все целые числа между нуль и п находятся п-аршад числа.

Определение

Выражаясь математически, пусть Икс быть положительным целым числом с м цифры при записи в базе п, и пусть цифры будут ${\displaystyle a_{i}}$ (${\displaystyle i=0,1,\cdots ,m-1}$). (Это следует из того ${\displaystyle a_{i}}$ должен быть либо нулем, либо положительным целым числом до ${\displaystyle n-1}$.) Икс можно выразить как

${\displaystyle X=\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}n^{i}.}$

Икс это число резкости в базе п если:

${\displaystyle X\equiv 0{\bmod {\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}}}.}$

Число, которое является числом харшада в каждой системе счисления, называется беспощадный номер, или Все-Нивен номер. Всего четыре полностью харшадных числа: 1, 2, 4, и 6 (Число 12 - число сурового во всех базах, кроме восьмеричный ).

Примеры

• Число 18 является числом харшад по основанию 10, потому что сумма цифр 1 и 8 равна 9 (1 + 8 = 9), а 18 - это делимый на 9.
• В Число Харди – Рамануджана (1729 г.) - это число харшад по основанию 10, так как оно делится на 19, сумму его цифр (1729 = 19 × 91).
• Число 19 не является числом резкости по основанию 10, потому что сумма цифр 1 и 9 равна 10 (1 + 9 = 10), а 19 не делится на 10.
• Номера Харшад в база 10 образуют последовательность:

  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, ... (последовательность A005349 в OEIS ).

Свойства

Учитывая проверка делимости для 9, может возникнуть соблазн обобщить, что все числа, делящиеся на 9, также являются числами резкости. Но для определения жестокости п, цифры п можно сложить только один раз и п должно быть кратно этой сумме; в остальном это не суровое число. Например, 99 не является жестким числом, поскольку 9 + 9 = 18, а 99 не делится на 18.

Основное число (и, более того, его степени) всегда будет числом харшад в своей собственной основе, так как оно будет представлено как «10» и 1 + 0 = 1.

Все числа, основание которых б цифра сумма делит б−1 - числа резкости в основании б.

Для простое число чтобы также быть жестким числом, оно должно быть меньше или равно основному числу, в противном случае цифры простого числа будут складываться в число, которое больше 1, но меньше простого, и не будет делиться. Например: 11 не является харшадом по основанию 10, потому что сумма его цифр «11» равна 1 + 1 = 2, а 11 не делится на 2; пока в база 12 число 11 может быть представлено как «Ɛ», сумма цифр которого также равна Ɛ. Поскольку Ɛ делится само на себя, по основанию 12 оно является жестким.

Хотя последовательность факториалы начинается с чисел резкости в базе 10, не все факториалы являются числами резкости. 432! это первое, чего нет. (432! Имеет сумму цифр = 3897 = 3²× 433 в базе 10, таким образом, 432 не делятся!)

Самый маленький k такой, что ${\displaystyle k\cdot n}$ это суровое число

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 10, 1, 9, 3, 2, 3, 6, 1, 6, 1, 1, 5, 9, 1, 2, 6, 1, 3, 9, 1, 12, 6, 4, 3, 2, 1, 3, 3, 3, 1, 10, 1, 12, 3, 1, 5, 9, 1, 8, 1, 2, 3, 18, 1, 2, 2, 2, 9, 9, 1, 12, 6, 1, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 1, 18, 1, 7, 3, 2, 2, 4, 2, 9, 1, ... (последовательность A144261 в OEIS ).

Самый маленький k такой, что ${\displaystyle k\cdot n}$ не суровое число

11, 7, 5, 4, 3, 11, 2, 2, 11, 13, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 161, 1, 8, 5, 1, 1, 4, 1, 1, 7, 1, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 11, 1, 1, 2, 1, 5, 1, 1, 1, 537, 1, 1, 1, 1, 1, 83, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 68, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, ... (последовательность A144262 в OEIS ).

Другие базы

Жесткие числа в база 12 находятся:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ᘔ, Ɛ, 10, 1 ᘔ, 20, 29, 30, 38, 40, 47, 50, 56, 60, 65, 70, 74, 80, 83, 90, 92, 0, ᘔ 1, Ɛ0, 100, 10 ᘔ, 110, 115, 119, 120, 122, 128, 130, 134, 137, 146, 150, 153, 155, 164, 172, 173, 182, 191, 1 ᘔ 0, 1Ɛ0, 1Ɛᘔ, 200, ...

где ᘔ представляет десять, а Ɛ представляет одиннадцать.

Самый маленький k такой, что ${\displaystyle k\cdot n}$ является числом харшада по основанию 12 (записано по основанию 10):

1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 12, 6, 4, 3, 10, 2, 11, 3, 4, 1, 7, 1, 12, 6, 4, 3, 11, 2, 11, 3, 1, 5, 9, 1, 12, 11, 4, 3, 11, 2, 11, 1, 4, 4, 11, 1, 16, 6, 4, 3, 11, 2, 1, 3, 11, 11, 11, 1, 12, 11, 5, 7, 9, 1, 7, 3, 3, 9, 11, 1, ...

Самый маленький k такой, что ${\displaystyle k\cdot n}$ не является числом харшада по основанию 12 (записано по основанию 10):

13, 7, 5, 4, 3, 3, 2, 2, 2, 2, 13, 16, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 8, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 13, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 157, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1885, 1, 1, 1, 1, 1, 3, ...

Как и в случае с основанием 10, не все факториалы являются числами резкости с основанием 12. После 7! (= 5040 = 2Ɛ00 по основанию 12, сумма цифр 13 по основанию 12, а 13 не делит 7!), 1276! следующее, чего нет. (1276! Имеет сумму цифр = 14201 = 11 × 1291 по основанию 12, поэтому 1276 не делится!)

Последовательные номера харшада

Максимальные серии последовательных номеров харшада

Купер и Кеннеди доказали в 1993 году, что никакое 21 последовательное целое число не является целым числом с основанием 10.^[1][2] Они также построили бесконечное множество наборов из 20 последовательных целых чисел, которые являются 10-харшадными числами, наименьшее из которых превышает 10.^44363342786.

Х. Г. Грундман  (1994 ) расширил результат Купера и Кеннеди, чтобы показать, что существует 2б но не 2б + 1 подряд б-харшад числа.^[2][3] Этот результат был усилен, чтобы показать, что существует бесконечно много серий из 2б последовательный б-значения аршада для б = 2 или 3 по Т. Цай  (1996 )^[2] и для произвольных б от Брэд Уилсон в 1997 г.^[4]

В двоичный, таким образом, существует бесконечно много серий четырех последовательных номеров харшада, и в тройной бесконечно много прогонов по шесть штук.

В общем, такие максимальные последовательности бегут от N·б^k − б к N·б^k + (б - 1), где б это база, k относительно большая мощность, и N является константой. Для одной такой подходящим образом выбранной последовательности мы можем преобразовать ее в более крупную следующим образом:

• Вставка нулей в N не изменит последовательность цифровых сумм (точно так же, как 21, 201 и 2001 - все 10-значные числа).
• Если мы вставим п нули после первой цифры, α (ценность αb^я), увеличиваем значение N от αb^я(б^п − 1).
• Если мы сможем гарантировать, что б^п - 1 делится на все суммы цифр в последовательности, тогда делимость на эти суммы сохраняется.
• Если наша начальная последовательность выбрана так, что суммы цифр равны совмещать к б, мы можем решить б^п = 1 по модулю всех этих сумм.
• Если это не так, но часть суммы каждой цифры не взаимно проста с б разделяет αb^я, то делимость сохраняется.
• (Не доказано) Так выбрана начальная последовательность.

Таким образом, наша исходная последовательность дает бесконечный набор решений.

Первые запуски ровно п последовательные 10-значные числа

Самые маленькие натуральные стартовые пробеги именно так п последовательные 10-значные числа харшада (т. е. наименьшее Икс такой, что ${\displaystyle x,x+1,\cdots ,x+n-1}$ суровые цифры, но ${\displaystyle x-1}$ и ${\displaystyle x+n}$ не являются) следующие (последовательность A060159 в OEIS ):

п	1	2	3	4	5
Икс	12	20	110	510	131052
п	6	7	8	9	10
Икс	12751220	10000095	2162049150	124324220	1
п	11	12	13	14	15
Икс	920067411130599	43494229746440272890	121003242000074550107423034×10^20 − 10	420142032871116091607294×10^40 − 4	неизвестно
п	16	17	18	19	20
Икс	50757686696033684694106416498959861492×10^280 − 9	14107593985876801556467795907102490773681×10^280 − 10	неизвестно	неизвестно	неизвестно

Согласно предыдущему разделу, таких Икс существует для ${\displaystyle n>20}$.

Оценка плотности чисел харшада

Если мы позволим ${\displaystyle N(X)}$ обозначают количество чисел харшада ${\displaystyle \leq x}$, то для любого заданного ${\displaystyle \epsilon >0}$,

${\displaystyle x^{1-\varepsilon }\ll N(x)\ll {\frac {x\log \log x}{\log x}}}$

как показано Жан-Мари Де Конинк и Николас Дойон;^[5] кроме того, Де Конинк, Дойон и Катаи^[6] доказал, что

${\displaystyle N(x)=(c+o(1)){\frac {x}{\log x}},}$

где ${\displaystyle c=(14/27)\log 10\approx 1.1939}$ и ${\displaystyle o(1)}$ термин использует небольшое обозначение.

Нивенморфные числа

А Нивенморфное число или суровое число для данной числовой базы является целым числом т так что существует какое-то число сурового N чья цифра сумма является т, и т, записанный в этой базе, завершается N написано в той же базе.

Например, 18 - это нивенморфное число для основания 10:

 16218 - это число харшад, 16218 имеет 18, так как сумма цифр 18 завершает 16218

Сандро Боскаро определил, что для основания 10 все положительные целые числа являются нивенморфными числами, кроме 11.^[7] Фактически, для четного целого числа п > 1, все положительные целые числа, кроме п+1 - нивенморфные числа для основания п, а для нечетного целого п > 1, все положительные целые числа являются нивенморфными числами с основанием п. например числа Нивенморф в база 12 находятся OEIS: A011760 (все положительные целые числа, кроме 13).

Наименьшее число с десятичной базой суммы п и прекращает п записанные в базе 10: (0, если такого числа не существует)

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 910, 0, 912, 11713, 6314, 915, 3616, 15317, 918, 17119, 9920, 18921, 9922, 82823, 19824, 9925, 46826, 18927, 18928, 78329, 99930, 585931, 388832, 1098933, 198934, 289835, 99936, 99937, 478838, 198939, 1999840, 2988941, 2979942, 2979943, 999944, 999945, 4698946, 4779947, 29950988 ... (последовательность A187924 в OEIS )

Несколько номеров харшада

Блум (2005) определяет многократный номер харшада как число харшад, которое при делении на сумму его цифр дает другое число харшад.^[8] Он заявляет, что номер 6804 - "MHN-4" на том основании, что

${\displaystyle {\begin{aligned}6804/18&=378\\378/18&=21\\21/3&=7\\7/7&=1\end{aligned}}}$

(это не MHN-5, так как ${\displaystyle 1/1=1}$, но 1 не является "другим" числом харшада)

и показал, что 2016502858579884466176 - это MHN-12. Число 10080000000000 = 1008 · 10¹⁰, который меньше, тоже MHN-12. В целом 1008 · 10^п это MHN- (п+2).

использованная литература

1. Купер, Кертис; Кеннеди, Роберт Э. (1993), «По последовательным номерам Нивен» (PDF), Ежеквартальный отчет Фибоначчи, 31 (2): 146–151, ISSN  0015-0517, Zbl  0776.11003
2. Шандор, Йожеф; Crstici, Борислав (2004). Справочник по теории чисел II. Дордрехт: Kluwer Academic. п.382. ISBN  1-4020-2546-7. Zbl  1079.11001.
3. Грундман, Х. (1994), "Последовательности последовательных п-Нивен номера » (PDF), Ежеквартальный отчет Фибоначчи, 32 (2): 174–175, ISSN  0015-0517, Zbl  0796.11002
4. Уилсон, Брэд (1997), «Строительство 2п последовательный п-Нивен номеров » (PDF), Ежеквартальный отчет Фибоначчи, 35: 122–128, ISSN  0015-0517
5. Де Конинк, Жан-Мари; Дойон, Николас (ноябрь 2003 г.), «О количестве номеров Нивена до Икс", Ежеквартальный отчет Фибоначчи, 41 (5): 431–440.
6. Де Конинк, Жан-Мари; Дойон, Николас; Катай, И. (2003), "О счетной функции для чисел Нивена", Acta Arithmetica, 106: 265–275, Дои:10.4064 / aa106-3-5.
7. Боскаро, Сандро (1996–1997), «Нивенморфные целые числа», Журнал развлекательной математики, 28 (3): 201–205.
8. Блум, Э. (2005), «Числа Харшада», Журнал развлекательной математики, 34 (2): 128.

внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Номер Харшада». MathWorld.