Восьмиугольное число - Octagonal number

An восьмиугольное число это фигуральное число что представляет собой восьмиугольник. Восьмиугольное число для п дается формулой 3п² - 2п, с п > 0. Первые несколько восьмиугольных чисел:

1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408, 481, 560, 645, 736, 833, 936 (последовательность A000567 в OEIS )

Восьмиугольные числа могут быть образованы размещением треугольных чисел на четырех сторонах квадрата. Выражаясь алгебраически, п-я восьмиугольное число

${\displaystyle x_{n}=n^{2}+4\sum _{k=1}^{n-1}k=3n^{2}-2n.}$

Восьмиугольное число для п также можно рассчитать, добавив квадрат п вдвое больше (п - 1) th проническое число.

Восьмиугольные числа последовательно чередуются паритет.

Восьмиугольные числа иногда называют "звездные числа, "хотя этот термин чаще используется для обозначения центрированных додекагональных чисел.^[1]

Сумма обратных

Формула для сумма взаимных восьмиугольных чисел определяется как:^[2]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(3n-2)}}={\frac {9\ln(3)+{\sqrt {3}}\pi }{12}}}$

Тест на восьмиугольные числа

Решение формулы для п-я восьмиугольное число, ${\displaystyle x_{n},}$ за п дает

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {3x_{n}+1}}+1}{3}}.}$

Произвольное число Икс можно проверить на восьмиугольность, поместив его в это уравнение. Если п целое число, тогда Икс это п-я восьмиугольное число. Если п не является целым числом, тогда Икс не восьмиугольный.

Смотрите также

• Восьмиугольное число по центру

Рекомендации

1. Деза, Елена; Деза, Мишель (2012), Фигурные числа, World Scientific, стр. 57, ISBN  9789814355483.
2. За пределами проблемы Базеля: суммы обратных величин фигуральных чисел