Цифра сумма - Digit sum

В математика, то цифра сумма из натуральное число в данном база чисел это сумма всего его цифры. Например, сумма цифр десятичное число ${ displaystyle 9045}$ было бы ${ displaystyle 9 + 0 + 4 + 5 = 18}$ .

Определение

Позволять ${ displaystyle n}$ быть натуральным числом. Мы определяем цифра сумма для базы ${ displaystyle b> 1}$ ${ displaystyle F_ {b}: mathbb {N} rightarrow mathbb {N}}$ быть следующим:

{ Displaystyle F_ {b} (п) = сумма _ {я = 0} ^ {k-1} d_ {я}}

где ${ Displaystyle к = lfloor log _ {b} {n} rfloor +1}$ это количество цифр в числе в базе ${ displaystyle b}$ , и

{ displaystyle d_ {i} = { frac {n { bmod {b ^ {i + 1}}} - n { bmod {b}} ^ {i}} {b ^ {i}}}}

- значение каждой цифры числа.

Например, в базе 10 сумма цифр 84001 равна ${ displaystyle F_ {10} (84001) = 8 + 4 + 0 + 0 + 1 = 13}$ .

Для любых двух баз ${ Displaystyle 2 leq b_ {1}$ и для достаточно больших натуральных чисел ${ displaystyle n}$ ,

{ displaystyle sum _ {k = 0} ^ {n} F_ {b_ {1}} (k) < sum _ {k = 0} ^ {n} F_ {b_ {2}} (k)}

.^[1]

Сумма база 10 цифры целых чисел 0, 1, 2, ... задаются OEIS: A007953 в Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Борвейн и Борвейн (1992) использовать производящая функция этой целочисленной последовательности (и аналогичной последовательности для двоичных сумм), чтобы получить несколько быстро сходящихся серии с участием рациональный и трансцендентный суммы.^[2]

Расширение до отрицательных целых чисел

Сумма цифр может быть расширена до отрицательных целых чисел с помощью представление цифр со знаком для представления каждого целого числа.

Приложения

Концепция суммы десятичных цифр тесно связана, но не одинакова с цифровой корень, который является результатом многократного применения операции цифрового суммирования до тех пор, пока оставшееся значение не станет только одной цифрой. Цифровой корень любого ненулевого целого числа будет числом от 1 до 9, тогда как сумма цифр может принимать любое значение. Цифровые суммы и цифровые корни могут использоваться для быстрого проверка делимости: натуральное число делится на 3 или 9 тогда и только тогда, когда его цифровая сумма (или цифровой корень) делится на 3 или 9 соответственно. На делимость на 9 этот тест называется правило девяток и является основой выбросить девятки Методика проверочных расчетов.

Цифровые суммы также являются частым ингредиентом в контрольная сумма алгоритмы для проверки арифметических операций ранних компьютеров.^[3] Раньше, в эпоху ручного расчета, Эджворт (1888) предложил использовать суммы из 50 цифр, взятых из математических таблиц логарифмы как форма генерация случайных чисел; если предположить, что каждая цифра случайна, то по Центральная предельная теорема, эти цифровые суммы будут иметь случайное распределение, близкое к Гауссово распределение.^[4]

Сумма цифр двоичный представление числа известно как его Вес Хэмминга или подсчет населения; Алгоритмы выполнения этой операции были изучены, и она была включена как встроенная операция в некоторые компьютерные архитектуры и некоторые языки программирования. Эти операции используются в вычислительных приложениях, включая криптография, теория кодирования, и компьютерные шахматы.

Числа харшада определяются в терминах делимости на их числовые суммы, а Числа Смита определяются равенством их числовых сумм с числовыми суммами их простые факторизации.

Смотрите также

использованная литература

^ Буш, Л. Э. (1940), «Асимптотическая формула для средней суммы цифр целых чисел», Американский математический ежемесячный журнал, Математическая ассоциация Америки, 47 (3): 154–156, Дои:10.2307/2304217, JSTOR 2304217.
^ Борвейн, Дж. М.; Борвейн, П. (1992), «Странные серии и высокоточное мошенничество» (PDF), Американский математический ежемесячный журнал, 99 (7): 622–640, Дои:10.2307/2324993, JSTOR 2324993.
^ Bloch, R.M .; Кэмпбелл, Р. В. Д .; Эллис, М. (1948), "Логический дизайн компьютера Raytheon", Математические таблицы и другие вспомогательные средства для вычислений, Американское математическое общество, 3 (24): 286–295, Дои:10.2307/2002859, JSTOR 2002859.
^ Эджворт, Ф. (1888), «Математическая теория банковского дела» (PDF), Журнал Королевского статистического общества, 51 (1): 113–127, архивировано с оригинал (PDF) на 2006-09-13.

внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Цифровая сумма». MathWorld.
[1] Простые приложения цифровой суммы

[lebush-1] Буш, Л. Э. (1940), «Асимптотическая формула для средней суммы цифр целых чисел», Американский математический ежемесячный журнал, Математическая ассоциация Америки, 47 (3): 154–156, Дои:10.2307/2304217, JSTOR 2304217.

[2] Борвейн, Дж. М.; Борвейн, П. (1992), «Странные серии и высокоточное мошенничество» (PDF), Американский математический ежемесячный журнал, 99 (7): 622–640, Дои:10.2307/2324993, JSTOR 2324993.

[3] Bloch, R.M .; Кэмпбелл, Р. В. Д .; Эллис, М. (1948), "Логический дизайн компьютера Raytheon", Математические таблицы и другие вспомогательные средства для вычислений, Американское математическое общество, 3 (24): 286–295, Дои:10.2307/2002859, JSTOR 2002859.

[4] Эджворт, Ф. (1888), «Математическая теория банковского дела» (PDF), Журнал Королевского статистического общества, 51 (1): 113–127, архивировано с оригинал (PDF) на 2006-09-13.

[1]

[2]

[3]

[4]