Изгнание девяток - Casting out nines

Изгнание девяток представляет собой любую из трех арифметических процедур:^[1]

• Добавление десятичных цифр числа положительное целое число, при желании игнорируя любые 9 или цифры, сумма которых кратна 9. Результатом этой процедуры является число, которое меньше оригинала, если оригинал имеет более одной цифры, оставляет тот же остаток, что и оригинал после деления на девять , и может быть получен из оригинала путем вычитания из него числа, кратного 9. Название процедуры происходит от этого последнего свойства.
• Повторное применение этой процедуры к результатам, полученным из предыдущих заявок, до получения однозначного числа. Это однозначное число называется "цифровой корень "оригинала. Если число делится на 9, его цифровой корень равен 9. В противном случае его цифровой корень - это остаток, который он оставляет после деления на 9.
• А тест на вменяемость в котором вышеупомянутые процедуры используются для проверки ошибок в арифметических вычислениях. Проверка выполняется путем применения той же последовательности арифметических операций к цифровым корням операндов, что и к самим операндам. Если в расчетах не было ошибок, цифровые корни двух результирующих должны быть одинаковыми. Если они разные, значит, в расчетах должна быть сделана одна или несколько ошибок.

Цифры суммы

Основная статья: Цифра сумма

Чтобы "исключить девятки" из одного числа, его десятичные цифры можно просто сложить вместе, чтобы получить его так называемое цифра сумма. Сумма цифр 2946, например, равна 2 + 9 + 4 + 6 = 21. Так как 21 = 2946 - 325 × 9, результат взятия суммы цифр 2946 заключается в «отбрасывании» из нее 325 лотов по 9. Если цифра 9 игнорируется при суммировании цифр, в результате получается «отбрасывание» еще одной 9, чтобы получить результат 12.

В более общем смысле, при отбрасывании девяток путем суммирования цифр любой набор цифр, который в сумме составляет 9 или кратен 9, может быть проигнорирован. В числе 3264, например, сумма цифр 3 и 6 равна 9. Таким образом, игнорируя эти две цифры и суммируя две другие, мы получаем 2 + 4 = 6. Поскольку 6 = 3264 - 362 × 9, это вычисление имеет В результате было выброшено 362 лота по 9 из 3264.

Для произвольного числа ${\displaystyle 10^{n}d_{n}+10^{n-1}d_{n-1}+\cdots +d_{0}}$, обычно представленный последовательностью десятичных цифр, ${\displaystyle d_{n}d_{n-1}\dots d_{0}}$, сумма цифр равна ${\displaystyle d_{n}+d_{n-1}+\cdots +d_{0}}$. Разница между исходным числом и его цифрой составляет

${\displaystyle {\begin{aligned}&10^{n}d_{n}+10^{n-1}d_{n-1}+\cdots +d_{0}-\left(d_{n}+d_{n-1}+\cdots +d_{0}\right)\\={}&\left(10^{n}-1\right)d_{n}+\left(10^{n-1}-1\right)d_{n-1}+\cdots +9d_{1}.\end{aligned}}}$

Потому что числа вида ${\displaystyle 10^{i}-1}$ всегда делятся на 9 (так как ${\displaystyle 10^{i}-1=9\times \left(10^{i-1}+10^{i-2}+\cdots +1\right)}$), замена исходного числа его цифровой суммой приводит к исключению

${\displaystyle {\frac {10^{n}-1}{9}}d_{n}+{\frac {10^{n-1}-1}{9}}d_{n-1}+\cdots +d_{1}}$

партии из 9.

Цифровые корни

Основная статья: Цифровой корень

Если процедура, описанная в предыдущем параграфе, многократно применяется к результату каждого предыдущего приложения, конечным результатом будет однозначное число, из которого все Девятки, за возможным исключением одного, были «изгнаны». Получившееся однозначное число называется цифровой корень оригинала. Исключение возникает, когда исходное число имеет цифровой корень из 9, сумма цифр которого равна самой себе, и, следовательно, не будет выбрано путем взятия дополнительных сумм цифр.

Число 12565, например, имеет сумму цифр 1 + 2 + 5 + 6 + 5 = 19, которая, в свою очередь, имеет сумму цифр 1 + 9 = 10, которая, в свою очередь, имеет сумму цифр 1 + 0 = 1, однозначное число. Таким образом, цифровой корень 12565 равен 1, и его вычисление приводит к выбрасыванию (12565 - 1) / 9 = 1396 лотов из 9 из 12565.

Проверка расчетов выбрасыванием девяток

Чтобы проверить результат арифметического вычисления путем отбрасывания девяток, каждое число в вычислении заменяется его цифровым корнем, и те же вычисления применяются к этим цифровым корням. Затем цифровой корень результата этого вычисления сравнивается с результатом первоначального вычисления. Если в расчетах не было ошибок, эти два цифровых корня должны быть одинаковыми. Примеры использования исключения девяток для проверки добавление, вычитание, умножение, и разделение приведены ниже.

Примеры

Добавление

В каждом добавить, вычеркните все девятки и пары цифр, которые в сумме составляют 9, а затем сложите оставшееся. Эти новые значения называются эксцессы. Сложите оставшиеся цифры для каждого слагаемого, пока не будет достигнута одна цифра. Теперь обработайте сумма а также излишества, чтобы получить окончательный избыток.

${\displaystyle {\bcancel {3}}\ \ 2\ {\bcancel {6}}\ 4\ }$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle {\bcancel {6}}}$	2 и 4 в сумме дают 6.
${\displaystyle {\bcancel {8}}{\bcancel {4}}{\bcancel {1}}{\bcancel {5}}}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle \ 0}$	8 + 1 = 9 и 4 + 5 = 9; не осталось цифр.
${\displaystyle 2\ {\bcancel {9}}\ 4\ \ 6\ }$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle {\bcancel {3}}}$	2, 4 и 6 составляют 12; 1 и 2 составляют 3.
${\displaystyle {\underline {+{\bcancel {3}}\ 2\ \ 0\ {\bcancel {6}}}}}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle \ 2}$	2 и 0 равны 2.
${\displaystyle {\bcancel {1}}\ 7\ {\bcancel {8}}\ 3\ \ 1\ }$		${\displaystyle {\bigg \Downarrow }}$	6, 0, 3 и 2 составляют 11; 1 и 1 в сумме дают 2.
${\displaystyle \Downarrow }$
${\displaystyle {2}}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle 2}$	Превышение суммы должно равняться окончательному превышению суммы добавлений.

Вычитание

${\displaystyle {\bcancel {5}}{\bcancel {6}}{\bcancel {4}}{\bcancel {3}}}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle 0(9)}$	Сначала вычеркните все 9 и цифры, которые в сумме составляют 9 в обоих уменьшаемое и вычитаемое (выделено курсивом).
${\displaystyle {\underline {-\ 2\ {\bcancel {8}}{\bcancel {9}}{\bcancel {1}}}}}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle -2}$	Сложите оставшиеся цифры для каждого значения, пока не будет достигнута одна цифра.
${\displaystyle {\bcancel {2}}\ 7\ {\bcancel {5}}{\bcancel {2}}}$		${\displaystyle {\bigg \Downarrow }}$	Теперь выполните ту же процедуру с разницей, приведя к одной цифре.
${\displaystyle \Downarrow }$			Поскольку вычитание 2 из нуля дает отрицательное число, позаимствуйте 9 из уменьшаемого.
${\displaystyle {7}}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle 7}$	Разница между уменьшаемым и вычитаемым превышениями должна равняться превышению разницы.

Умножение

${\displaystyle {\bcancel {5}}{\bcancel {4}}\ 8\ }$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle 8}$	Сначала вычеркните все 9 и цифры, которые в сумме составляют 9 в каждой. фактор (выделено курсивом).
${\displaystyle {\underline {\ \ \ \ \ \ \times \ 6\ \ 2\ {\bcancel {9}}}}}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle 8}$	Сложите оставшиеся цифры для каждого множимого, пока не будет достигнута одна цифра.
${\displaystyle {{\bcancel {3}}\ 4\ \ 4\ {\bcancel {6}}{\bcancel {9}}\ 2\ }}$		${\displaystyle {\bigg \Downarrow }}$	Умножьте два превышения, а затем складывайте, пока не будет достигнута одна цифра.
${\displaystyle \Downarrow }$			Сделайте то же самое с товар, вычеркивая 9 и получая одну цифру.
${\displaystyle {1}}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle 1}$^*	Превышение продукта должно равняться окончательному превышению факторов.

^*8 умножить на 8 будет 64; 6 и 4 равны 10; 1 и 0 равны 1.

Разделение

${\displaystyle {\bcancel {27}}{\bcancel {54}}62}$	${\displaystyle \div }$	${\displaystyle 877}$	${\displaystyle =}$	${\displaystyle 314}$	${\displaystyle r.}$	${\displaystyle 84}$	Вычеркните все 9 и цифры, которые в сумме составляют 9 в делитель, частное, и остаток.
${\displaystyle \Downarrow }$		${\displaystyle \Downarrow }$		${\displaystyle \Downarrow }$		${\displaystyle \Downarrow }$	Сложите все неперечеркнутые цифры каждого значения, пока для каждого значения не будет достигнута одна цифра.
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle (4}$	${\displaystyle \times }$	${\displaystyle 8)}$	${\displaystyle +}$	${\displaystyle 3}$	Превышение дивиденда должно равняться окончательному превышению других значений. Другими словами, вы выполняете ту же процедуру, что и при умножении, только в обратном порядке. 8x4 = 32, что равно 5, 5 + 3 = 8. И 8 = 8.

Как это устроено

Метод работает, потому что исходные числа являются «десятичными» (с основанием 10), модуль выбирается таким, чтобы отличаться на 1, а выбрасывание эквивалентно взятию цифра сумма. Как правило, любые два «больших» целых числа, Икс и у, выражается в любых меньших модуль в качестве Икс' и y ' (например, по модулю 7) всегда будут иметь ту же сумму, разницу или продукт, что и их оригиналы. Это свойство также сохраняется для «суммы цифр», где основание и модуль отличаются на 1.

Если расчет был правильным до заброса, заброс с обеих сторон сохранит правильность. Однако возможно, что два ранее неравных целых числа будут идентичны по модулю 9 (в среднем в девятой части времени).

Операция не работает с дробями, поскольку данное дробное число не имеет уникального представления.

Вариант объяснения

Хороший трюк для самых маленьких детей, чтобы научиться складывать девять, - это прибавить десять к цифре и отсчитать единицу. Поскольку мы добавляем 1 к разряду десятков и вычитаем единицу из цифры единицы, сумма цифр должна оставаться неизменной. Например, 9 + 2 = 11 с 1 + 1 = 2. При добавлении 9 к самому себе, мы ожидаем, что сумма цифр будет равна 9 следующим образом: 9 + 9 = 18, (1 + 8 = 9) и 9 + 9 + 9 = 27, (2 + 7 = 9). Давайте посмотрим на простое умножение: 5 × 7 = 35, (3 + 5 = 8). Теперь рассмотрим (7 + 9) × 5 = 16 × 5 = 80, (8 + 0 = 8) или 7 × (9 + 5) = 7 × 14 = 98, (9 + 8 = 17, (1 + 7 = 8).

Любое неотрицательное целое число можно записать как 9 × n + a, где 'a' - это одна цифра от 0 до 8, а 'n' - некоторое неотрицательное целое число. Таким образом, используя правило распределения, (9 × n + a) × (9 × m + b) = 9 × 9 × n × m + 9 (am + bn) + ab. Поскольку первые два множителя умножаются на 9, их сумма будет равна 9 или 0, в результате чего мы получим «ab». В нашем примере «a» было 7, а «b» было 5. Мы ожидаем, что в любой базовой системе число перед этой базой будет вести себя так же, как девять.

Ограничение на выброс девяток

Хотя исключение девяток чрезвычайно полезно, оно не позволяет выявить все ошибки, сделанные при выполнении вычислений. Например, метод исключения девяток не распознал бы ошибку в вычислении 5 × 7, которое дало какой-либо из ошибочных результатов 8, 17, 26 и т. Д. (То есть любой результат, конгруэнтный 8 по модулю 9). Другими словами, этот метод выявляет только ошибочные результаты, цифровой корень которых является одной из 8 цифр, которые отличаются от правильного результата.

История

Известная древнегреческим математикам форма выброса девяток была описана римским епископом. Ипполит (170–235) в Опровержение всех ересей, и короче сирийского философа-неоплатоника Ямблих (c.245 – c.325) в своем комментарии к Введение в арифметику из Никомах из Герасы.^[2] Однако описания Ипполита и Ямвлиха ограничивались объяснением того, как повторяющиеся цифровые суммы Греческие цифры были использованы для вычисления уникального "корня"^[3] между 1 и 9. Ни один из них не проявил никакого понимания того, как можно использовать эту процедуру для проверки результатов арифметических вычислений.

Самая ранняя из известных сохранившихся работ, описывающих, как отбрасывание девяток может быть использовано для проверки результатов арифметических вычислений, - это Махасиддханта, написанный около 950 года индийским математиком и астрономом, Арьябхата II (ок. 920–1000).^[4]Написав около 1020 г., персидский эрудит Ибн Сина (Авиценна ) (ок. 980–1037), также дал полную информацию о том, что он назвал «индуистским методом» проверки арифметических вычислений путем отбрасывания девяток.^[5]

В Синергетика, Р. Бакминстер Фуллер утверждает, что использовал отбитые девятки «до Первой мировой войны».^[6] Фуллер объясняет, как отбрасывать девятки, и делает другие утверждения о результирующих «индигах», но не отмечает, что выбрасывание девяток может привести к ложным срабатываниям.

Метод поразительно похож на стандартный обработка сигналов и вычислительные обнаружение ошибок и исправление ошибки методы, обычно использующие аналогичную модульную арифметику в контрольные суммы и проще проверить цифры.

Обобщение

Этот метод можно обобщить для определения остатков от деления на некоторые простые числа.

Поскольку 3 · 3 = 9,

${\displaystyle n{\bmod {3}}=(n{\bmod {9}}){\bmod {3}}.}$

Таким образом, мы можем использовать остаток от отбрасывания девяток, чтобы получить остаток от деления на три.

Исключение девяноста девяток выполняется путем добавления групп из двух цифр вместо одной цифры.

Поскольку 11,9 = 99,

${\displaystyle n{\bmod {1}}1=(n{\bmod {9}}9){\bmod {1}}1.}$

Таким образом, мы можем использовать остаток от исключения девяноста девяток, чтобы получить остаток от деления на одиннадцать. Это называется изгнание одиннадцати.

Вычисление девятисот девяноста девяток выполняется сложением групп из трех цифр.

Поскольку 37 · 27 = 999,

${\displaystyle n{\bmod {3}}7=(n{\bmod {9}}99){\bmod {3}}7.}$

Таким образом, мы можем использовать остаток от отбрасывания девятисот девяноста девяти, чтобы получить остаток от деления на тридцать семь.

Примечания

1. Кранц (2010, стр.67–70 )
2. Хит (1921), стр.113–117 ), Ипполит Римский (1919 г., стр.30–32 ).
3. Греческий термин, использованный Ипполитом, был "πυθμήν" ("питмен").
4. Датта и Сингх (1962, стр.180–184 )
5. Датта и Сингх (1962, п.184 )
6. Фуллер (1982, п. 765)

Рекомендации

• Датта, Бибхатибхусан; Сингх, Авадхеш Нараян (1962) [1935], История индуистской математики: справочник, Бомбей: издательство Asia Publishing House
• Фуллер, Р. Бакминстер (Апрель 1982 г.), Синергетика: исследования геометрии мышления (Новый ред.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: издательство Macmillan Publishing Company, ISBN  0-02-065320-4
• Хит, сэр Томас (1921), История греческой математики, Я: От Фалеса до Евклида, Оксфорд: Издательство Оксфордского университета.
• Ипполит Римский (1919) [c.230], Опровержение всех ересей, перевод Мак-Магона, преподобного Дж. Х., In Робертс и Дональдсон (1919, стр. 9–153).
• Кранц, Стивен Г. (2010), Эпизодическая история математики - математическая культура через решение задач, Математическая ассоциация Америки, ISBN  978-0-88385-766-3, LCCN  2010921168
• Робертс, преподобный Александр, Д.Д.; Дональдсон, Джеймс, доктор юридических наук., ред. (1919), Анте-никейские отцы. Переводы писаний отцов до 325 г., Vol. V, американское переиздание Эдинбургского издания, Нью-Йорк, Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Изгнание девяток". MathWorld.
• «Нумерология» Р. Бакминстер Фуллер
• «Паранормальные числа» Пол Никетт
• Грайм, Джеймс. "Изгнание девяток" (видео). YouTube. Брэди Харан. Получено 13 сентября 2017.