Суммирование - Summation

Эта статья посвящена сумме нескольких элементов. Для более элементарных аспектов см. Добавление. Для бесконечных сумм см. Серия (математика). Для использования в других целях см. Суммирование (значения).

В математика, суммирование это добавление из последовательность любого вида числа, называется добавляет или же слагаемые; результат их сумма или же общий. Помимо чисел, можно суммировать и другие типы значений: функции, векторов, матрицы, многочлены и вообще элементы любого типа математические объекты на котором операция обозначенный "+" определен.

Обобщения бесконечные последовательности называются серии. Они включают концепцию предел, и не рассматриваются в этой статье.

Суммирование явной последовательности обозначается как последовательность сложений. Например, суммирование [1, 2, 4, 2] обозначается 1 + 2 + 4 + 2, и приводит к 9, то есть 1 + 2 + 4 + 2 = 9. Поскольку сложение ассоциативный и коммутативный, скобки не нужны, и результат будет одинаковым независимо от порядка слагаемых. Суммирование последовательности только одного элемента приводит к получению самого этого элемента. Суммирование пустой последовательности (последовательности с нулевым элементом) по соглашению приводит к 0.

Очень часто элементы последовательности определяются с помощью регулярного шаблона как функция их места в последовательности. Для простых шаблонов суммирование длинных последовательностей может быть представлено с заменой большинства слагаемых на эллипсы. Например, суммирование первых 100 натуральных чисел может быть записано как 1 + 2 + 3 + 4 + ⋅⋅⋅ + 99 + 100. В противном случае суммирование обозначается с помощью Σ обозначение, куда ${\displaystyle \textstyle \sum }$ это увеличенная столица Греческая буква сигма. Например, сумма первых п натуральные числа можно обозначить как ${\displaystyle \textstyle \sum _{i=1}^{n}i.}$

Для длинных суммирований и суммирований переменной длины (определяемых с помощью эллипсов или обозначений Σ) общая проблема - найти выражения в закрытой форме за результат. Например,^[а]

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}.}$

Хотя такие формулы не всегда существуют, было обнаружено множество формул суммирования, при этом некоторые из наиболее распространенных и элементарных из них перечислены в оставшейся части этой статьи.

Обозначение

Обозначение заглавной буквы

Символ суммирования

В математической нотации используется символ, который компактно представляет собой суммирование многих похожих терминов: символ суммирования, ${\displaystyle \textstyle \sum }$, увеличенная форма прямой заглавной греческой буквы Сигма. Это определяется как

${\displaystyle \sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$

куда я это индекс суммирования; а_я индексированная переменная, представляющая каждый член суммы; м это нижняя граница суммирования, и п это верхняя граница суммирования. "я = м"под символом суммирования означает, что индекс я начинается равным м. Индекс, я, увеличивается на единицу для каждого последующего члена, останавливаясь, когда я = п.^[b]

Это читается как "сумма а_я, из я = м к п".

Вот пример, показывающий суммирование квадратов:

${\displaystyle \sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.}$

В общем, в то время как любая переменная может использоваться в качестве индекса суммирования (при условии, что не возникает двусмысленности), некоторые из наиболее распространенных включают буквы, такие как ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle j}$ и ${\displaystyle k}$.^[1]

В качестве альтернативы, индекс и границы суммирования иногда не включаются в определение суммирования, если контекст достаточно ясен. Это особенно актуально, когда индекс работает от 1 до n.^[2] Например, можно написать так:

${\displaystyle \sum a_{i}^{2}=\sum _{i\mathop {=} 1}^{n}a_{i}^{2}.}$

Часто встречаются обобщения этой нотации, в которых предоставляется произвольное логическое условие, а сумма предназначена для взятия всех значений, удовлетворяющих условию. Например:

${\displaystyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}$

это сумма ${\displaystyle f(k)}$ по всем (целые числа) ${\displaystyle k}$ в указанном диапазоне,

${\displaystyle \sum _{x\mathop {\in } S}f(x)}$

это сумма ${\displaystyle f(x)}$ по всем элементам ${\displaystyle x}$ в наборе ${\displaystyle S}$, и

${\displaystyle \sum _{d|n}\;\mu (d)}$

это сумма ${\displaystyle \mu (d)}$ по всем положительным целым числам ${\displaystyle d}$ разделение ${\displaystyle n}$.^[c]

Есть также способы обобщить использование многих сигма-знаков. Например,

${\displaystyle \sum _{i,j}}$

такой же как

${\displaystyle \sum _{i}\sum _{j}.}$

Аналогичное обозначение применяется при обозначении товар последовательности, которая аналогична ее суммированию, но использует операцию умножения вместо сложения (и дает 1 для пустой последовательности вместо 0). Используется такая же базовая структура с ${\displaystyle \textstyle \prod }$, увеличенная форма греческой заглавной буквы число Пи, заменив ${\displaystyle \textstyle \sum }$.

Особые случаи

Можно суммировать менее 2 чисел:

• Если в суммировании одно слагаемое ${\displaystyle x}$, то оценочная сумма равна ${\displaystyle x}$.
• Если в суммировании нет слагаемых, то вычисленная сумма равна нуль, потому что ноль - это личность для дополнения. Это известно как пустая сумма.

Эти вырожденные случаи обычно используются только тогда, когда запись суммирования дает вырожденный результат в частном случае, например, если ${\displaystyle n=m}$ в приведенном выше определении в сумме есть только один член; если ${\displaystyle n=m-1}$, то его нет.

Формальное определение

Суммирование может быть определено рекурсивно следующим образом

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=0}$, за б < а.

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+\sum _{i=a}^{b-1}g(i)}$, за б ≥ а.

Обозначения теории меры

В обозначениях мера и интеграция теории, сумма может быть выражена как определенный интеграл,

${\displaystyle \sum _{k\mathop {=} a}^{b}f(k)=\int _{[a,b]}f\,d\mu }$

куда ${\displaystyle [a,b]}$ это подмножество целые числа из ${\displaystyle a}$ к ${\displaystyle b}$, и где ${\displaystyle \mu }$ это счетная мера.

Исчисление конечных разностей

Учитывая функцию ж который определен над целыми числами в интервал [м, п], выполняется следующее уравнение:

${\displaystyle f(n)-f(m)=\sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)).}$

Это аналог основная теорема исчисления в исчисление конечных разностей, в котором говорится, что:

${\displaystyle f(n)-f(m)=\int _{m}^{n}f'(x)\,dx,}$

куда

${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

это производная из ж.

Пример применения приведенного выше уравнения следующий:

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left((i+1)^{k}-i^{k}\right).}$

С помощью биномиальная теорема, это можно переписать как:

${\displaystyle n^{k}=\sum _{i=0}^{n-1}\left(\sum _{j=0}^{i-1}{\binom {k}{j}}i^{j}\right).}$

Приведенная выше формула чаще используется для инвертирования оператор разницы ${\displaystyle \Delta }$, определяется:

${\displaystyle \Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n),}$

куда ж - функция, определенная на неотрицательных целых числах. Таким образом, для такой функции ж, проблема состоит в том, чтобы вычислить антиразличие из ж, функция ${\displaystyle F=\Delta ^{-1}f}$ такой, что ${\displaystyle \Delta F=f}$. То есть,${\displaystyle F(n+1)-F(n)=f(n).}$Эта функция определена с точностью до константы и может быть выбрана как^[3]

${\displaystyle F(n)=\sum _{i=0}^{n-1}f(i).}$

Не всегда есть выражение в закрытой форме для такого суммирования, но Формула Фаульхабера предоставляет закрытую форму в случае, когда ${\displaystyle f(n)=n^{k}}$ и, по линейность, для каждого полиномиальная функция из п.

Аппроксимация определенными интегралами

Многие такие приближения могут быть получены следующей связью между суммами и интегралы, что справедливо для любого увеличение функция ж:

${\displaystyle \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds.}$

и для любого уменьшение функция ж:

${\displaystyle \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds.}$

Для более общих приближений см. Формула Эйлера – Маклорена.

Для суммирования, в котором слагаемое задается (или может быть интерполировано) интегрируемый функции индекса, суммирование можно интерпретировать как Сумма Римана входящие в определение соответствующего определенного интеграла. Поэтому можно ожидать, например, что

${\displaystyle {\frac {b-a}{n}}\sum _{i=0}^{n-1}f\left(a+i{\frac {b-a}{n}}\right)\approx \int _{a}^{b}f(x)\ dx,}$

так как правая часть по определению является пределом для ${\displaystyle n\to \infty }$ левой стороны. Однако при заданном суммировании п фиксировано, и мало что можно сказать об ошибке в приведенном выше приближении без дополнительных предположений о ж: ясно, что для сильно осциллирующих функций сумма Римана может быть сколь угодно далека от интеграла Римана.

Идентичности

В приведенных ниже формулах используются конечные суммы; для бесконечного суммирования или конечного суммирования выражений, содержащих тригонометрические функции или другой трансцендентные функции, видеть список математических рядов.

Общая идентичность

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)\quad }$ (распределенность )^[4]

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)\pm \sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left(f(n)\pm g(n)\right)\quad }$ (коммутативность и ассоциативность )^[4]

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)\quad }$ (сдвиг индекса)

${\displaystyle \sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m)),\quad }$ для биекция σ из конечного множества А на набор B (изменение индекса); это обобщает предыдущую формулу.

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)\quad }$ (разбивая сумму, используя ассоциативность )

${\displaystyle \sum _{n=a}^{b}f(n)=\sum _{n=0}^{b}f(n)-\sum _{n=0}^{a-1}f(n)\quad }$ (вариант предыдущей формулы)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)\quad }$ (сумма от первого члена до последнего равна сумме от последнего до первого)

${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(n)=\sum _{n=0}^{t}f(t-n)\quad }$ (частный случай формулы выше)

${\displaystyle \sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}\quad }$ (снова коммутативность и ассоциативность)

${\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=\sum _{j=0}^{n-k}\sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}\quad }$ (еще одно приложение коммутативности и ассоциативности)

${\displaystyle \sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(2n)+\sum _{n=s}^{t}f(2n+1)\quad }$ (разбиение суммы на нечетную и четную части для четных индексов)

${\displaystyle \sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=\sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+\sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)\quad }$ (разбиение суммы на нечетные и четные части, для нечетных индексов)

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{n}b_{j}\right)=\sum _{i=0}^{n}\sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}\quad }$ (распределенность )

${\displaystyle \sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}=\left(\sum _{i=s}^{m}a_{i}\right)\left(\sum _{j=t}^{n}c_{j}\right)\quad }$ (дистрибутивность допускает факторизацию)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\log _{b}f(n)=\log _{b}\prod _{n=s}^{t}f(n)\quad }$ (в логарифм продукта - это сумма логарифмов факторов)

${\displaystyle C^{\sum \limits _{n=s}^{t}f(n)}=\prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}\quad }$ (в экспоненциальный суммы - произведение экспоненты слагаемых)

Степени и логарифм арифметических прогрессий

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c=nc\quad }$ для каждого c это не зависит от я

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i=\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}\qquad }$ (Сумма простейшего арифметическая прогрессия, состоящий из n первых натуральные числа.)^[3]:52

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}\qquad }$ (Сумма первых нечетных натуральных чисел)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)\qquad }$ (Сумма первых четных натуральных чисел)

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log i=\log n!\qquad }$ (Сумма логарифмы логарифм произведения)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}\qquad }$ (Сумма первого квадраты, видеть квадратно-пирамидальное число.) ^[3]:52

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i^{3}=\left(\sum _{i=0}^{n}i\right)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}\qquad }$ (Теорема Никомаха ) ^[3]:52

В более общем смысле Формула Фаульхабера

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{p}={\frac {n^{p+1}}{p+1}}+{\frac {1}{2}}n^{p}+\sum _{k=2}^{p}{\binom {p}{k}}{\frac {B_{k}}{p-k+1}}\,n^{p-k+1},}$

куда ${\displaystyle B_{k}}$ обозначает Число Бернулли, и ${\displaystyle {\binom {p}{k}}}$ это биномиальный коэффициент.

Индекс суммирования в показателях

В следующих итогах а предполагается отличным от 1.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={\frac {1-a^{n}}{1-a}}}$ (сумма геометрическая прогрессия )

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{2^{i}}}=2-{\frac {1}{2^{n-1}}}}$ (особый случай для а = 1/2)

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}$ (а умноженное на производную по а геометрической прогрессии)

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=0}^{n-1}\left(b+id\right)a^{i}&=b\sum _{i=0}^{n-1}a^{i}+d\sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\\&=b\left({\frac {1-a^{n}}{1-a}}\right)+d\left({\frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}\right)\\&={\frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{\frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}\end{aligned}}}$

(сумма арифметико-геометрическая последовательность )

Биномиальные коэффициенты и факториалы

Основная статья: Биномиальный коэффициент § Сумма биномиальных коэффициентов

Существует очень много тождеств суммирования с биномиальными коэффициентами (целая глава Конкретная математика посвящен только основным техникам). Вот некоторые из самых основных из них.

Используя биномиальную теорему

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n},}$ в биномиальная теорема

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}=2^{n},}$ особый случай, когда а = б = 1

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1}$, частный случай, когда п = а = 1 – б, что для ${\displaystyle 0\leq p\leq 1,}$ выражает сумму биномиальное распределение

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i{n \choose i}=n(2^{n-1}),}$ стоимость в а = б = 1 из производная относительно а биномиальной теоремы

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {n \choose i}{i+1}}={\frac {2^{n+1}-1}{n+1}},}$ стоимость в а = б = 1 из первообразный относительно а биномиальной теоремы

Вовлечение чисел перестановки

В следующих итогах ${\displaystyle {}_{n}P_{k}}$ это количество k-перестановки п.

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n \choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=0}^{k}(i+j)={\frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i!\cdot {n \choose i}=\sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=\lfloor n!\cdot e\rfloor ,\quad n\in \mathbb {Z} ^{+}}$, где и ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ обозначает функция пола.

Другие

${\displaystyle \sum _{k=0}^{m}\left({\begin{array}{c}n+k\\n\\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}n+m+1\\n+1\\\end{array}}\right)}$

${\displaystyle \sum _{i=k}^{n}{i \choose k}={n+1 \choose k+1}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}i\cdot i!=(n+1)!-1}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{m+i-1 \choose i}={m+n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{n \choose i}^{2}={2n \choose n}}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}{\frac {1}{i!}}={\frac {\lfloor n!\;e\rfloor }{n!}}}$

Гармонические числа

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}=H_{n}}$ (это пth номер гармоники )

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}}$ (это обобщенный номер гармоники )

Темпы роста

Следующие полезные приближения (с помощью тета-запись ):

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})}$ серьезно c больше чем -1

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log _{e}n)}$ (Видеть Номер гармоники )

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})}$ серьезно c больше 1

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})}$ за неотрицательный настоящий c

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})}$ для неотрицательного реального c, d

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})}$ для неотрицательного реального б > 1, c, d

Смотрите также

• Обозначения Эйнштейна
• Кронштейн Айверсона
• Итерированная двоичная операция
• Алгоритм суммирования Кахана
• Продукты последовательностей
• Продукт (математика)
• Суммирование по частям
• ∑ единичный глиф суммирования (U + 2211 СУММИРОВАНИЕ N-ARY)
• ⎲ начало парного глифа (U + 23B2 СУММАЦИЯ ТОП)
• ⎳ конец парного глифа (U + 23B3 СУММИРОВАНИЕ ВНИЗ)

Примечания

1. Подробнее см. Треугольное число.
2. Подробное описание обозначений суммирования и арифметики с суммами см. Грэм, Рональд Л .; Knuth, Donald E .; Паташник, Орен (1994). «Глава 2: Итоги». Конкретная математика: основа компьютерных наук (PDF) (2-е изд.). Эддисон-Уэсли Профессионал. ISBN  978-0201558029.^{[постоянная мертвая ссылка ]}
3. Хотя название фиктивная переменная не имеет значения (по определению), обычно используются буквы из середины алфавита (${\displaystyle i}$ через ${\displaystyle q}$) для обозначения целых чисел, если есть риск путаницы. Например, даже если не должно быть никаких сомнений в интерпретации, многим математикам может показаться, что ${\displaystyle x}$ вместо ${\displaystyle k}$ в приведенных выше формулах с участием ${\displaystyle k}$. Смотрите также типографские соглашения в математических формулах.

Источники

1. «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-16.
2. «Обозначение суммирования». www.columbia.edu. Получено 2020-08-16.
3. Справочник по дискретной и комбинаторной математике, Кеннет Х. Розен, Джон Г. Майклс, CRC Press, 1999, ISBN  0-8493-0149-1.
4. «Исчисление I - обозначение суммирования». tutorial.math.lamar.edu. Получено 2020-08-16.

внешняя ссылка

• СМИ, связанные с Суммирование в Wikimedia Commons
• «Суммирование». PlanetMath.